淺談數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

摘 要：數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)內(nèi)容中占有重要地位，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)有著自身的特點，在教學(xué)中應(yīng)該根據(jù)這些特點開展教學(xué)。本文分析了數(shù)學(xué)概念的定義，數(shù)學(xué)概念的獲得以及數(shù)學(xué)概念的教學(xué)這三方面的特點，其中，介紹了定義的五種方法，概念獲得的兩種方式，概念教學(xué)的注意事項等。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；概念獲得；概念形成；概念同化

中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識包括概念，命題及命題的證明等，其中數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)家智慧的結(jié)晶。數(shù)學(xué)是用概念思維的，在概念學(xué)習(xí)的過程中培養(yǎng)出來的方法遷移能力及思維方式最強悍。數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義，一方面讓學(xué)生掌握書本知識，另一方面使學(xué)生學(xué)會用概念思維，以此提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教師們應(yīng)該重視概念教學(xué)，特別是核心概念的教學(xué)。

一、 數(shù)學(xué)概念的定義

概念反映了客觀事物的本質(zhì)屬性，數(shù)學(xué)概念則反映了客觀事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性。掌握一個概念，將是要掌握這個概念的定義，定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法。

有如下幾種定義方法：1. 內(nèi)涵式定義，即屬概念加種差定義。例如，在定義“有一組對邊相等的平行四邊形叫菱形”中，“平行四邊形”是臨近的屬，“有一組對邊相等”是種差。

2. 發(fā)生定義。以被定義概念所反映的對象產(chǎn)生或形成的情況作為種差作出的定義，稱為發(fā)生定義。例如“一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的圖形叫做角”，就是一個發(fā)生性定義。

3. 關(guān)系定義。以被定義概念所反映的對象與其他對象之間的關(guān)系作為種差而作出的定義叫作關(guān)系定義。例如“如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，就稱這條直線和這個平面垂直”。

4. 外延定義，某些概念內(nèi)涵不易描述，但外延明確，可通過表示外延的方法來作定義，例如，“有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)”。

5. 詞語定義，例如“形如y=kx+b（k≠0）的函數(shù)稱為一次函數(shù)”。

說到概念，不能不提原始概念。在概念的序列中有一些概念是用來定義其他概念的，但又不能用別的概念給它下定義，這些概念稱為原始概念或不加定義的概念。例如，數(shù)、點、直線、平面等都是原始概念。原始概念一般用描述的方法來揭示它們的本質(zhì)屬性。

二、 數(shù)學(xué)概念的獲得

一般地，人們通過概念形成與概念同化兩種方式獲得概念。概念形成是指人們從大量例子出發(fā)，抽象概括出一類事物的本質(zhì)屬性。教學(xué)操作如下：（1）教師拿出一組例子，與同學(xué)們一起分析它們的共同屬性。（2）通過已有認知結(jié)構(gòu)，概括抽象出對象共同的本質(zhì)屬性。（3）給出概念的定義。（4）通過正例和反例進行強化訓(xùn)練。

概念同化是學(xué)習(xí)者利用已有概念去理解新概念。教學(xué)操作如下：（1）辨認階段，回顧已有知識，比較分析新舊知識。（2）同化階段，把新概念納入已有概念體系中，同化新概念，形成一個整體。（3）強化階段，通過正，反例，加深加強學(xué)生對新概念的理解。

概念的同化有下面三種基本模式：

1. 下位學(xué)習(xí)。下位學(xué)習(xí)是由大到小，由一般到特殊，通過學(xué)習(xí)將新概念納入舊概念之下，或者說新概念是舊概念的子集。例如，已有函數(shù)的概念，納入正比例函數(shù)，反比例函數(shù)；已有平行四邊形，納入矩形，菱形。

雖然人們對客觀事物的認識是從特殊到一般的，但目前的數(shù)學(xué)教材編排是采用下位學(xué)習(xí)方式，如先學(xué)習(xí)函數(shù)概念，再學(xué)習(xí)一次函數(shù)，二次函數(shù)。下位學(xué)習(xí)是一種演繹學(xué)習(xí)的過程。

2. 上位學(xué)習(xí)。上位學(xué)習(xí)是指新概念包含了原有認知結(jié)構(gòu)中的概念。例如，已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓，拋物線，雙曲線，再學(xué)習(xí)圓錐曲線。上位學(xué)習(xí)是一種歸納學(xué)習(xí)的過程。

3. 組合學(xué)習(xí)，也叫并列學(xué)習(xí)。組合學(xué)習(xí)是指新概念與原有概念在內(nèi)涵和外延上是并列的，既無上位關(guān)系，也無下位關(guān)系，例如，三角形的三線，高，角平分線，中線，它們是并列關(guān)系。

概念同化是依靠新舊概念之間的相互作用來理解新概念，需要學(xué)生依托原有認知結(jié)構(gòu)，是一種主動的，有意義的學(xué)習(xí)，更利于成績好的學(xué)生學(xué)習(xí)。

概念形成與概念同化兩者不是孤立的，概念形成包含了同化的因素，需要用具體的材料去同化新概念。概念形成的教學(xué)形式比較費時，但有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力。概念同化也包含有概念形成的因素，因為同化不能脫離分析，抽象和概括。概念同化的教學(xué)形式省略了概念產(chǎn)生過程中的觀察，分析共性，抽象概括，節(jié)約了教學(xué)時間，但有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。在概念教學(xué)中，經(jīng)常要結(jié)合兩種方式，根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容選用不同的教學(xué)形式，以培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)。

三、 概念教學(xué)

教師要把基本概念放在中心地位，使其成為相關(guān)知識的紐帶，要把基本概念的教學(xué)作為重點，狠下功夫，訓(xùn)練學(xué)生能對一類具體例子的屬性進行分析，綜合，比較而抽象出本質(zhì)屬性，把新概念納入概念系統(tǒng)中去，這是概括的高級階段。同時要注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達能力，這是學(xué)生的弱項，也是長期被數(shù)學(xué)老師所忽視的。語言表達是概念教學(xué)的難點，經(jīng)常性的，老師和學(xué)生都知難而退。學(xué)生能用自己的語言敘述概念，這說明學(xué)生能夠深刻正確地理解概念。數(shù)學(xué)語言是符號語言，是世界通用語言，因此，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)語言具有重要意義。

“人教A版”的主編寄語中說：數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的。如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會發(fā)現(xiàn)它實際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味。

概念教學(xué)應(yīng)該自然，水到渠成。這包括知識邏輯順序的自然和學(xué)生心理邏輯，主要是思維過程的自然。概念教學(xué)中，一方面要突出由實際背景抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)抽象的過程，學(xué)會用數(shù)學(xué)思考問題；另一方面，要突出建模方法的使用，讓學(xué)生認識到數(shù)學(xué)反映客觀事物的方法是通過數(shù)學(xué)模型實現(xiàn)的，從而學(xué)會用數(shù)學(xué)解決問題。

作者簡介：

王衛(wèi)華，湖北省武漢市，湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院；應(yīng)用數(shù)學(xué)湖北省重點實驗室。