繩球模型與桿球模型

摘要：繩球模型與桿球模型作為豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的典型，在高中物理分析綜合能力考查中屬于重點(diǎn)內(nèi)容，也是難點(diǎn)內(nèi)容。本文就帶大家一起來(lái)從根本上認(rèn)識(shí)它們。

關(guān)鍵詞：高中物理；繩球模型；桿球模型

繩球模型與桿球模型作為豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的典型，在高中物理分析綜合能力考查中屬于重點(diǎn)內(nèi)容，也是難點(diǎn)內(nèi)容。它常常與能量觀點(diǎn)綜合運(yùn)用，用于解決實(shí)際生活中的諸如過(guò)山車、水流星等運(yùn)動(dòng)。因此正確認(rèn)識(shí)、區(qū)分、理解這兩種模型十分重要，本文就帶大家一起來(lái)從根本上認(rèn)識(shí)它們。

首先來(lái)看看它們的相似之處。

兩種模型“外貌相似”：如下圖（1）輕繩L一端栓結(jié)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球m，另一端繞水平轉(zhuǎn)軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)即為繩球模型；將輕繩換作輕桿即為桿球模型圖（2）?！跋蛐牧Φ膩?lái)源相似”。討論小球向心力的來(lái)源，都是輕繩（或輕桿）的作用力與小球重力的合力沿半徑方向的分量來(lái)提供。

繩球模型與桿球模型如此相似，難道就是一個(gè)字的差別？它們究竟有哪些區(qū)別呢？

首先從根本上講，輕繩與輕桿提供的力不一樣：輕繩只能給小球提供沿著繩并指向繩收縮方向的拉力，而輕桿既可以給小球提供向圓周內(nèi)的拉力，也可以提供向圓周外的推力，甚至它提供的力可以不沿著輕桿自身。其次約束情況不一樣：輕繩對(duì)球產(chǎn)生了單面約束，即小球不能跑到半徑為L(zhǎng)的圓周以外，但可以跑到半徑為L(zhǎng)的圓周之內(nèi)，輕桿對(duì)球產(chǎn)生了雙面約束，小球既不能跑到半徑為L(zhǎng)的圓周以外，也不能跑到半徑為L(zhǎng)的圓周之內(nèi)，只能在半徑為L(zhǎng)的圓周上運(yùn)動(dòng)。其三小球運(yùn)動(dòng)情況不一樣：繩球模型中小球不能實(shí)現(xiàn)豎直面內(nèi)勻速圓周運(yùn)動(dòng)，只能是一般圓周運(yùn)動(dòng)，桿球模型中小球能夠?qū)崿F(xiàn)在豎直面內(nèi)勻速圓周運(yùn)動(dòng)。第四做功情況不一樣：輕繩對(duì)小球不做功，小球機(jī)械能守恒，而輕桿可以對(duì)小球做功改變其機(jī)械能。

最后，小球在最高點(diǎn)的臨界條件不同，這點(diǎn)是?？键c(diǎn)。（默認(rèn)向下為正方向）繩球模型小球在最高點(diǎn)時(shí)：mg+T=mv2L，其中T≥0，因此mg≤mv2L，即有v≥gL，故繩球模型中小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為gL。而對(duì)于桿球模型小球在最高點(diǎn)時(shí)：mg+F=mv2L，其中F>0，F(xiàn)=0，F(xiàn)<0都可出現(xiàn)。當(dāng)F>0（即輕桿提供向下拉力）時(shí)有mggL；當(dāng)F=0（即輕桿恰不提供力）時(shí)有mg=mv2L，即有v=gL；當(dāng)F<0（即輕桿提供向上推力）時(shí)有mg>mv2L，即有v

下面我們通過(guò)一典型例題加以理解：如圖所示，質(zhì)量為m小球從斜面AB上的A點(diǎn)由靜止下滑，通過(guò)水平軌道BC后進(jìn)入半徑為R的半圓軌道CD，恰好通過(guò)圓弧最高點(diǎn)D，斜面AB與水平軌道BC在B處通過(guò)一小段光滑圓弧軌道連接。一切摩擦不計(jì)。求：（1）小球從靜止開(kāi)始下落時(shí)的高度h。（2）小球經(jīng)過(guò)半圓軌道的最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力。（3）其他條件不變，僅將CD段改成粗糙圓管道。小球從高度h=52R靜止釋放恰好通過(guò)最高點(diǎn)D。求粗糙圓管道對(duì)小球做的功。

分析與解答：豎直面內(nèi)圓弧對(duì)小球的作用力只能是沿著半徑指向圓心的，因此屬于繩球模型，故

（1） 在D點(diǎn)，設(shè)小球的速度為vD，則有mg=mvD2L∴vD=gL

小球由A運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒得：mg（h-2R）=12mv2D∴h=52R

（2） 小球由A運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒得：mgh=12mv2C

通過(guò)C點(diǎn)時(shí)，有N-mg=mv2CR聯(lián)立上兩式解得，N=6 mg

則根據(jù)牛頓第三定律得：小球經(jīng)過(guò)半圓軌道的最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為6 mg，方向豎直向下.

豎直面內(nèi)圓管道對(duì)小球的彈力既可以指向圓心也可以背向圓心，因此屬于桿球模型，故

（3） 在D點(diǎn)，小球的速度為0。小球由A運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：

mg（h-2R）+Wf=0-0∴Wf=-12mgR

即粗糙圓管道對(duì)小球做了12mgR的負(fù)功。

通過(guò)題例我們可以看到，處理繩球模型和桿球模型的切入點(diǎn)是認(rèn)真對(duì)小球進(jìn)行受力分析，然后分清屬于哪一個(gè)模型，找準(zhǔn)小球向心力的來(lái)源，列出牛頓第二定律式，注意結(jié)合能量觀點(diǎn)解決問(wèn)題。

作者簡(jiǎn)介：

葉巧英，江蘇省南京市，江蘇省六合高級(jí)中學(xué)。