一類矩陣的行列式及應(yīng)用

劉碧鐸 　　　　　　　　　　 胡永建

(北京大學數(shù)學科學學院　100871)　　(北京師范大學數(shù)學科學學院　100875)

本文研究n階矩陣：

(1)

假定zi,wj≠0 (i,j=1,…,n)，并記

則Δ(x)為次數(shù)不超過n-1的多項式，且Δ(zi)=0 (i=1,…,n-1).因此，Δ(x)=c(x-z1)…(x-zn-1)，其中c為常數(shù).令x=0，則c=(-1)n-1·(z1…zn-1)-1Δ(0). 注意到，

(2)

根據(jù)遞推式(2)，我們可證明如下結(jié)論：

定理1設(shè)矩陣Pn由(1)式給出.則Pn的行列式為

(3)

證明由定理1前面的分析知，當zi,wj≠0 (i,j=1,…,n)時，遞推式(2)成立，由此不難得到(3)式成立. 當某兩個zi或某兩個wj等于0時，則Pn的兩行或兩列相同，從而|Pn|=0，此時(3)式仍然成立. 當某個zi或wj等于0時，(3)式等號左右兩邊的表達式關(guān)于zi,wj在zi=0或wj=0處連續(xù).那么,令zi→0或wj→0，可以推出當zi=0或wj=0時(3)式也成立.證畢.

由定理1知，矩陣Pn總是非奇異的. 特別地，如果zi(i=1,…,n)是復平面單位開圓盤內(nèi)互異的點，則Pick矩陣

為Hermite正定矩陣.

k,l=1,…,n.

于是，我們有下面的結(jié)論：

plk=(-1)n-1·

l,k=1,…,n.

利用定理1的結(jié)論，可以得到美國數(shù)學月刊第11969號問題的一個簡單解答．

(4)

由定理1知，

眾所周知，Cauchy矩陣是如下形式的矩陣：

(5)

其中x1,…,xn與y1,…,yn分別互異，且xi≠-yj(i,j=1,…,n). 由定理1還可以得到Cauchy矩陣Cn的行列式表達式、可逆性的證明和逆矩陣的表示[3].

推論1設(shè)Cn由(5)式給出，則Cn的行列式為

(6)

證明首先假定x1,…,xn≠0,則

由定理1的結(jié)論可知，

當某兩個xi=0時，Cn中出現(xiàn)兩行相同，則|Cn|=0，(6)式成立. 當某個xi=0時，注意到(6)式等號兩邊的表達式在xi=0處有定義且連續(xù)，令xi→0，則(6)式仍然成立. 證畢.

由定理3知，Cauchy矩陣Cn總是可逆的. 容易發(fā)現(xiàn)，Cn中每個元素的余子陣是n-1階Cauchy矩陣.據(jù)此可以得到Cn的逆矩陣的如下表示.

clk=

l,k=1,…,n.

例2設(shè)矩陣

證明：A為可逆矩陣且A-1為整數(shù)矩陣.

=(-1)k+l·

故結(jié)論成立. 證畢.