參數(shù)范圍迷人眼　充分必要常相宜

王芝平

(北京宏志中學　100013)

函數(shù)導數(shù)及其應用是高中數(shù)學的重要內容，是學習高等數(shù)學的重要基礎知識．它覆蓋面廣、綜合性強，極易與其它知識建立聯(lián)系，通過相互滲透和交融形成新穎靚麗、解法靈活的試題，從而有效全面地考查學生的數(shù)學核心素養(yǎng)．

當含有參數(shù)的不等式恒成立時，求其參數(shù)的取值范圍是一類較為復雜的數(shù)學綜合問題．一個基本的想法就是將其上升為含有參數(shù)的函數(shù)問題，借助函數(shù)的導數(shù)研究該函數(shù)的單調性，在此基礎上通過確定函數(shù)極(最)值點予以解決．在這個過程中若能恰當、靈活地運用充分條件與必要條件的邏輯關系將會使問題的解決有效簡化．

例1(2010高考年國標卷理科第21題)設函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2．

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的單調區(qū)間；

(Ⅱ)若當x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍．

這是試卷中必作題目的最后一題，由文獻[1]知，該題難度為0.317，屬于較難的試題．

利用導數(shù)方法研究函數(shù)的單調性是學習導數(shù)這部分內容的基本要求．數(shù)學課標教材涉及到了與函數(shù)相關的不等式的證明問題，如人教A版選修2-2第32頁B組第一題：利用函數(shù)的單調性，證明下列不等式，并通過函數(shù)圖像直觀驗證：(1)sinx0，x∈(0，1)；(3)ex≥1+x(x≠0)；(4)lnx0．這些問題的解決一般需要通過變形轉化為研究函數(shù)的最值來處理．

例1可以認為是上述第(3)小題的變式拓展，表現(xiàn)在對函數(shù)表達式的設計上，其中第(Ⅰ)問既考查學生對函數(shù)單調性與導數(shù)關系的理解，又為問題(Ⅱ)的解決做了鋪墊；另一方面在運算過程中，考查學生對基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)運算法則的掌握和運算求解能力以及推理論證能力．

方法1[1]：

(Ⅰ)當a=0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，+∞)，單調遞減區(qū)間為(-∞，0)．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知ex≥1+x，

當且僅當x=0時等號成立，

故f′(x)=ex-1-2ax≥x-2ax=(1-2a)x，

而f(0)=0，于是當x≥0時，f(x)≥0．

由ex>1+x(x≠0)，可得e-x≥1-x(x≠0)，

f′(x)

故當x∈(0，ln2a)時，f′(x)<0，

而f(0)=0，于是當x∈(0，ln2a)時，f(x)<0．

對于第(Ⅱ)問，上述方法靈活利用第(Ⅰ)問中的結論和不等式的不同方向的放縮，不僅利用ex≥1+x，還要利用換元法巧妙地轉化出e-x≥1-x．這既要學習新知識，又要靈活應用新知識，對學生能力要求較高．那么能否有簡單、自然、水到渠成的解題途徑呢？

“鴛鴦繡出憑君看，愿把金針度與人”，下面介紹我們解決這類問題的一些基本想法，請讀者體會并積累其中蘊含的數(shù)學思維活動經(jīng)驗．

1　謀定思路有方向

第(Ⅱ)問的條件是“x≥ 0時，f(x)≥0”．這是真的嗎？(敢于質疑一個結論是優(yōu)秀數(shù)學思維品質的表現(xiàn))我們不妨利用特殊值試一試．從簡單情形開始，無疑x=0是值得試一試的特殊值：f(0)=0．這個結果對我們有什么啟發(fā)嗎？顯然，如果能證明當x≥ 0時，f(x)是單調增函數(shù)，那么f(0)=0是f(x)的最小值，那么此時a的取值范圍A0應該是答案A的子集．也就是說，我們找到了使“x≥ 0時，f(x)≥0”成立的一個充分條件．接下來應該再對a∈RA0時進行討論，即便是無功而返，從“功利性”(高考)的角度講，也會得到本題的絕大部分分數(shù)．若能繼續(xù)證明此時f(x)≥0不恒成立，那么就間接得到使f(x)≥0成立的必要條件是a∈A0.進而知a的取值范圍是集合A0.

討論f(x)的單調性，實際上是考察函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)=ex-1-2ax的值是正還是負？這是容易想到的、也是能做到的．

讓我們重新表述下一階段的目標：

若當x≥ 0時，f′(x)=ex-1-2ax≥0，求a的取值范圍．

下面，我們將這些想法整理成一個符合邏輯的有序解題過程：

2　規(guī)范解答不失分

(Ⅱ)方法2——先找充分條件，再證明這個條件也是必要條件．

注意到f(0)=0，考察f(x)在區(qū)間[0，+∞)上的單調性．

3　解后反思收獲大

另外方法2避開了第(Ⅰ)問獲得的結論，更沒有不等式的兩次不同方向的放縮，幾乎沒有什么靈活的技巧，是值得大家品味的．

解題的價值不僅在于答案本身，而在于弄清楚解題思路是怎樣想到的？優(yōu)化解題過程也并不依賴于神秘的技巧．但需要指出的是，要讓學生養(yǎng)成用數(shù)學基本概念分析問題、解決問題的習慣，要有優(yōu)化解題途徑的求簡意識．

例2(2017年高考全國Ⅱ卷文科第21題)設函數(shù)f(x)=(1-x2)ex．

(Ⅰ) 略；

(Ⅱ)當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍．

解析：當x≥0時，f(x)≤ax+1等價于g(x)=ax+1-f(x)≥0恒成立．

注意到g(0)=0，則結論成立的一個充分條件是g(x)為增函數(shù)，這只需要g(x)的導數(shù)非負即可．

令g′(x)=a-f′(x)=a+(x2+2x-1)ex≥0，得a≥f′(x)=(1-x2-2x)ex．

下面求f′(x)的最大值．

f″(x)=-(x2+4x+1)ex=-[(x+2)2-3]·ex<0，所以f′(x)是減函數(shù)，所以f′(x)的最大值為f′(0)=1．所以，當a≥1時，g′(x)≥0，所以g(x)是區(qū)間[0，+∞)上的增函數(shù)，所以當x≥0時，g(x)≥g(0)=0，即x≥0時，f(x)≤ax+1恒成立．所以a≥1是f(x)≤ax+1(x≥0) 恒成立的一個充分條件．

下面再證明a<1不合題意．注意到g(0)=0，這只需證明g(x)在(0，δ)(δ>0)上是減函數(shù)，也就是證明g′(x)在(0，δ)上是非正即可．

因為g′(x)=a-f′(x)=a+(x2+2x-1)·ex，所以當a<1時，g′(0)=a-1<0．

由于函數(shù)g′(x)的圖像是“連續(xù)不斷的”，所以可以猜測到在0的“附近”g′(x)<0，但這是需要證明的，這里要用到函數(shù)零點存在性定理．

綜上，a的取值范圍為[1，+∞)．

例3(2013年高考遼寧數(shù)學試卷理科第21題)

(Ⅱ)若f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

(Ⅰ)略.

(Ⅱ)解析：待證不等式集基本初等函數(shù)之大成，直接證明困難較大，不妨先尋找使其成立的充分條件，再證明這個充分條件也是必要條件．

注意到(Ⅰ)的結果：f(x)≥1-x，那么使1-x≥g(x)成立的a一定也使f(x)≥g(x)成立，即找到了一個使f(x)≥g(x)成立的充分條件．下面求當1-x≥g(x)恒成立時a的取值范圍．

至此，我們得到了f(x)≥g(x)恒成立的一個充分條件：a≤-3．

如果我們再能證明a>-3不合題意，那么就得到了原不等式成立的必要條件：a≤-3．從而原不等式成立時，實數(shù)a的取值范圍為(-∞，-3]．

所謂a>-3不合題意，就是此時f(x)≥g(x)不恒成立，即f(x)

綜上，實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-3]．

“沒有最好，只有更好！”一個問題可以有不止一種解法，而且也不存在一種解法是絕對最好的．文[5]曾針對近幾年的若干高考函數(shù)導數(shù)問題的解法指出，“它們還有更自然、更簡單的解法” ．事實上，2010年高考課標卷文科第21題、2015年高考北京卷理科第18題、2016年高考全國Ⅱ卷文科第20題與Ⅲ卷文科第21題、2017年高考全國三套試卷的理科第21題等都可以借助充分條件與必要條件的邏輯關系得到簡單、自然的解法．真可謂：充分與必要解題總需要!

題目千千萬，解法萬萬千；年年都考試，今年似不同．在解貌似陌生的高考“新題”時，要相信一個基本的道理：很多同類試題只是對以前的問題稍加“變式”，以一個嶄新的面目出現(xiàn)在我們面前，如果能揭開題目的“面紗”就可看穿題目的“真面目”，使問題獲得解決．

回顧上述問題的解決，我們深刻地感受到：“數(shù)學推理表其外，理性思維蘊其中”，只有充分暴露解題思維過程的教學，才有可能使學生的數(shù)學核心素養(yǎng)真正落地生根，只有多想，方能少算．

“大道至簡”，數(shù)學的目的之一在于揭示被千變萬化的表象所掩飾的本質，還數(shù)學以本源．