關(guān)于循環(huán)和與循環(huán)積不等式

蔣　迅

談到不等式，有兩個(gè)著名的不等式是我們都非常熟悉的：一個(gè)是算術(shù)平均-幾何平均不等式，另一個(gè)是柯西-施瓦茨不等式．給定2n個(gè)實(shí)數(shù)a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn我們分別有：

和

≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，

如果用求和符號(hào)∑和求積符號(hào)∏來(lái)表達(dá)的話，那么它們分別可以寫(xiě)成：

和

這兩個(gè)不等式都有一個(gè)共性，那就是在求和以及求積時(shí)每個(gè)單項(xiàng)具有循環(huán)性．所以我們可以用∑和∏來(lái)簡(jiǎn)化．我們還可以用另一種方式來(lái)表達(dá)， 即明確地指出求和是對(duì)每一個(gè)單項(xiàng)循環(huán)求和，求積是循環(huán)對(duì)每一個(gè)單項(xiàng)求積．

f(a1,a2,…,an)+f(a2,a3,a4,…,an,a1)+…+f(an,a1,a2,…,an-1).

f(a1,a2,…,an)·f(a2,a3,a4,…,an,a1)·…·f(an,a1,a2,…,an-1).

其中“cyc” 是英文“cyclic”的縮寫(xiě)，意為“循環(huán)的”．

按照這個(gè)定義，算術(shù)平均-幾何平均不等式和柯西-施瓦茨不等式也可以記作：

和

甚至可以簡(jiǎn)化成

和

引入循環(huán)和及循環(huán)積的概念后，我們可以討論更為廣泛的不等式．這類(lèi)不等式表達(dá)簡(jiǎn)潔，而且在奧數(shù)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)．讓我們來(lái)看幾個(gè)例子．限于篇幅，我們只考慮n=3的情形，并給定三個(gè)實(shí)數(shù)a,b和c．我們將限制到上述兩個(gè)經(jīng)典不等式的應(yīng)用上，順便介紹一些國(guó)外的數(shù)學(xué)競(jìng)賽和網(wǎng)站．下面所有的例子均取自Alexander Bogomolny博士建立的網(wǎng)站https://www.cut-the-knot.org. 這個(gè)網(wǎng)站內(nèi)容及其豐富，特向數(shù)學(xué)愛(ài)好者和數(shù)學(xué)老師強(qiáng)烈推薦．

例1[1](2017年加拿大奧數(shù))設(shè)a,b和c非負(fù)并兩兩不同．則

證明注意循環(huán)性質(zhì)，我們可以假定a>b>c.令x=a-b,y=b-c，則x>0,y>0. 由算術(shù)平均-幾何平均不等式，我們有

例2[2](羅馬尼亞數(shù)學(xué)雜志) 設(shè)a,b,c>0. 則

證明這個(gè)不等式可以用循環(huán)不等式來(lái)表示．讓我們用這種表達(dá)形式來(lái)給予證明．事實(shí)上，由算術(shù)平均-幾何平均不等式，我們有

例3[3](1967年國(guó)際奧數(shù)備選試題)設(shè)a,b,c>0. 則

說(shuō)明這道題目是國(guó)際奧數(shù)(IMO)在1967年的備選題，由波蘭提供．從這道題，我們可以清楚地看到，具有簡(jiǎn)約之美的題目受人喜愛(ài)．2016年國(guó)際奧數(shù)備選題中也有一道是(帶限制條件的)循環(huán)和與循環(huán)積的不等式[4]．國(guó)際奧數(shù)委員會(huì)在每一屆競(jìng)賽過(guò)后都會(huì)有備選題及解答．這些試題可以在其官網(wǎng)https://www.imo-official.org/上找到．

證明記

再記

g=a8+b8+c8-a3b3c2-a3b2c3-a2b3c3.

則顯然只須證明g≥0. 類(lèi)似于例1我們看到，由于循環(huán)對(duì)稱(chēng)性，我們可以假定a≥b≥c. 令b=c+ε,a=c+δ+ε, 其中ε,δ≥0. 將b和c的上述兩個(gè)表達(dá)式代入g并展開(kāi)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)．我們將發(fā)現(xiàn)所有的負(fù)號(hào)項(xiàng)都被消去．細(xì)節(jié)從略．

例4[5](1997年國(guó)際城市數(shù)學(xué)競(jìng)賽高中組) 設(shè)a,b,c>0. 則

說(shuō)明城市數(shù)學(xué)競(jìng)賽(Tournament of the Towns)始于1980年，原只有前蘇聯(lián)的三個(gè)城市莫斯科、基輔及里加市參加，現(xiàn)已成為國(guó)際性的比賽，由俄羅斯科學(xué)院主辦，有上百個(gè)城市，數(shù)十萬(wàn)名學(xué)生參加．

證明應(yīng)用算術(shù)平均-幾何平均不等式，我們有

注意最后的循環(huán)和變成了簡(jiǎn)單的代數(shù)表達(dá)式．這也是此類(lèi)不等式證明中的常用技巧．

例5[6](校園奧數(shù))設(shè)a,b,c>0. 則

說(shuō)明“校園奧數(shù)”(Olimpiada pe Scoala)是臉書(shū)上的一個(gè)數(shù)學(xué)群，里面聚集著眾多的數(shù)學(xué)愛(ài)好者．這個(gè)解答由其成員Diego Alvariz提供．臉書(shū)的群與微信的群有相似之處，但我個(gè)人認(rèn)為好很多．首先臉書(shū)沒(méi)有500會(huì)員的限制；其次，臉書(shū)的群中成員可以只討論你感興趣的貼，這一點(diǎn)有點(diǎn)像微博．

證明由柯西-施瓦茨不等式我們有

例6[7](羅馬尼亞數(shù)學(xué)雜志) 設(shè)a,b,c>0. 則

說(shuō)明我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)介紹過(guò)“羅馬尼亞數(shù)學(xué)雜志”．這個(gè)題目在Bogomolny的網(wǎng)站上有誤．正確的題目在這里：http://www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2017/01/1515-31.jpg，此解是由羅馬尼亞人Mihalcea Andrei Stefan解出的.

證明將不等式兩邊同除以abc，我們得到一個(gè)等價(jià)的不等式

或

4δ2-δ-14=(δ-2)(4δ+7)≥0.

由算術(shù)平均-幾何平均不等式，我們知道δ≥2. 問(wèn)題得證．我們看到，這個(gè)證明其實(shí)是把一個(gè)循環(huán)不等式分解成了三個(gè)獨(dú)立的不等式．這種方法不常見(jiàn)，但也不能完全忽略它．

例7[8](一個(gè)國(guó)際合作的循環(huán)不等式)設(shè)a,b,c>0. 則

說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題是由尼日利亞大學(xué)工程系碩士生Uche Eliezer Okeke提供給旅美俄國(guó)猶太裔數(shù)學(xué)家Alexander Bogomolny的．后者在他的網(wǎng)站上提供了來(lái)自多國(guó)的五個(gè)解答．我們這里選用的是越南人Hung Viet Nguyen給出的證明．所以我把這個(gè)不等式叫作一個(gè)國(guó)際合作的循環(huán)不等式．說(shuō)到這位越南人，還有他的一個(gè)不等式[9]．設(shè)a,b,c>0. 則

這是Nguyen Viet Hung在臉書(shū)的“Solving the Inequality”群里發(fā)的一道題．他聲稱(chēng)這是一個(gè)經(jīng)典的不等式，Bogomolny贊其“純粹的優(yōu)雅”，但它似乎并不為眾所周知．這個(gè)群有5500多人，聚集著眾多高手．

證明首先，我們用算術(shù)平均-幾何平均不等式三次得到

如果我們能夠證明

那么，

注意到

(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca),

8(a+b+c)(ab+bc+ca)≤9(a+b)(b+c)(c+a).

我們得到

例8[10](一個(gè)帶限制條件的循環(huán)不等式)設(shè)a,b,c>0 并設(shè)a+b+c=1. 則

說(shuō)明帶限制條件的循環(huán)不等式有很多．這類(lèi)問(wèn)題在極值優(yōu)化方面有廣泛應(yīng)用．我們僅舉這一個(gè)例子．這道題是由羅馬尼亞數(shù)學(xué)會(huì)的Leo Giugiuc發(fā)表在CutTheKnotMath臉書(shū)群里的．給出了6個(gè)解答．這里的解答是由羅馬尼亞人Marian Cucoanes做出的．

證明這個(gè)不等式等價(jià)于(a+1)(b+1)(c+1)≥64abc. 將1換成a+b+c，我們又得到一個(gè)等價(jià)的不等式

再由算術(shù)平均-幾何平均不等式，我們有

上面三個(gè)不等式相乘給出最后的結(jié)論．

例9[11](雙三組數(shù)的循環(huán)不等式)給定a,b,c,x,y,z∈R,xyz≠0. 則

注本題最早發(fā)在羅馬尼亞數(shù)學(xué)雜志上，后來(lái)由Dan Sitaru轉(zhuǎn)發(fā)到CutTheKnotMath臉書(shū)群里．這個(gè)解答由印度人Ravi Prakash提供．本題看似復(fù)雜，但其實(shí)做起來(lái)只用到一些代數(shù)運(yùn)算．在給出證明之前，我們?yōu)槟切┛赡苡行┦淖x者提供一個(gè)帶限制條件的雙三組數(shù)的循環(huán)不等式[12]．設(shè)a,b,c,x,y,z>0并且(ab+bc+ca)(xy+yz+zx)=1. 則

證明對(duì)題目中的不等式的左邊展開(kāi)再做完全平方，我們有

f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)≤3.

說(shuō)明“美國(guó)數(shù)學(xué)月刊“是美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)發(fā)行的一個(gè)面向大學(xué)生的刊物，每年10期．它每期都有一個(gè)問(wèn)題征解欄目．特別受讀者歡迎． 這道題由希臘人George Apostolopoulos提供，Leo Giuguic提供了解答．

引理1對(duì)于x≥0, 有不等式

引理2設(shè)a,b,c>0. 則

9abc≤(a+b+c)(ab+bc+ca).

類(lèi)似地，

所以我們只需要證明

注意到

我們可以用柯西-施瓦茨不等式得到

再由引理2，

8(a+b+c)(ab+bc+ca)

≤9[(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc]

=9(a+b)(b+c)(c+a).

于是，

本文通過(guò)對(duì)一些實(shí)例的討論介紹了循環(huán)和與循環(huán)積不等式．這些例子的證明顯示了在這類(lèi)不等式中常用的技巧，比如循環(huán)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)及積和互化．本文還介紹了一些國(guó)外社交網(wǎng)絡(luò)上數(shù)學(xué)愛(ài)好者的活動(dòng)，希望對(duì)國(guó)內(nèi)的讀者有所幫助．