數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)讓通解通法落地生根

卓　斌

(江蘇省宿遷市中小學(xué)教學(xué)研究室　223800)

1　問題的提出

教師評講時，首先指出學(xué)生沒有認(rèn)真審題，隱含條件α<β沒有用到，因此答案錯誤.然后給出如下解法.

又因為2α-β=(α-β)+α，

課后交流時，筆者指出：按照您的思路，下面解法是否正確呢？

又因為2α-β=2(α-β)+β，

教師支吾不言！看來，解法一不但技巧性高，而且“有時候正確，有時候錯誤”.筆者進一步追問：您認(rèn)為這是一道考查什么知識點的問題呢？有沒有一般性的解法呢？他思索后恍然大悟，給出了下面的做法.

這次教學(xué)調(diào)研的經(jīng)歷讓我深刻地認(rèn)識到在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，一是要把握問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，不能被表面現(xiàn)象所蒙蔽；二是要運用通解通法，避免繁難的解題技巧.一句話，數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)讓通解通法落地生根.

2　對于通解通法的理解

章建躍先生曾批評當(dāng)下解題教學(xué)的現(xiàn)狀：搞“題型+技巧”，不重視“通性通法”，機械模仿多，獨立思考少，數(shù)學(xué)思維層次不高.有些解法“不自然”，強加于人，對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與內(nèi)部動機都有不利影響.章先生對于解題教學(xué)的看法可謂一針見血、入木三分.

史寧中先生在他的專著《數(shù)學(xué)思想概論》第3輯《數(shù)學(xué)中的演繹推理》一書旁注中指出：“求解個案問題表現(xiàn)的是技巧，而得到規(guī)律性表現(xiàn)的是技能.數(shù)學(xué)教育需要培養(yǎng)技巧，但是更重要的是培養(yǎng)技能”.并舉例說明，在韋達(F.Viete,1540—1603)之前，人們還是個案地求解一元二次方程，后來韋達發(fā)現(xiàn)了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，才給出了一般性的公式，即求解一元二次方程的通解通法.由此可見，史先生也是大力倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教育要注重培養(yǎng)解決一類問題規(guī)律性的技能，即通解通法.

在數(shù)學(xué)解題方面，以經(jīng)歷一般化加工的高考試題為例，其解題基本思路以及知識點都是學(xué)生已掌握的，但是在問題情境上因題目是從數(shù)值過渡到字母的表示，在思維觀念上從正向思維變?yōu)槟嫦蛩季S，因此常常讓考生感到無從下手、無所適從.筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)解題的最高境界必然是“無招”.無招的背后，必然是有招，且招數(shù)的變化美妙了然于胸.無招的背后，必然是尋求以不變應(yīng)萬變的本質(zhì)，而達到這樣的境地，則必須熟悉復(fù)雜招數(shù)背后的本質(zhì).無招的背后，還是勤學(xué)苦練百次、萬次的結(jié)晶，揣摩萬千變化，才有可能接近無招勝有招的巔峰.數(shù)學(xué)解題中的“無招”，其實質(zhì)應(yīng)該是解題的“通解通法”.

那么，什么是數(shù)學(xué)解題中的“通解通法”呢？結(jié)合上述的觀點，我們認(rèn)為，通解通法就是解決這一類問題的最合理的想法、最基本的思路、最常用的方式、最普遍的操作程序.

筆者曾經(jīng)輔導(dǎo)過幾位數(shù)學(xué)后進生，他(她)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最大的障礙就是認(rèn)為數(shù)學(xué)解題方法太靈活了，不難捉摸了，太難學(xué)會了.譬如，有的老師講題喜歡一題多解，讓他們有一種“霧里看花”的感覺，每一種方法都淺嘗輒止，不得要領(lǐng)；還有老師講題只講怎么做，不講為什么要這樣做，以及怎么想到的這樣做的，而且鞏固訓(xùn)練也不到位，讓他們呈現(xiàn)出“一看就會，一做就錯”現(xiàn)象.實踐表明，通解通法教學(xué)不僅有利于學(xué)生快速抓住數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),形成有效解決問題的策略,而且有利于消除學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的畏懼心理,增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.

3　例談數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的通解通法

3.1　分段函數(shù)問題，通解通法在于找準(zhǔn)分段討論的臨界點.

對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).它是一個函數(shù),而不是幾個函數(shù).分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集，值域也是各段函數(shù)值域的并集.顧名思義，解決分段函數(shù)問題關(guān)鍵在于“分段”，通解通法就是找準(zhǔn)分段討論的臨界點.

本題脫掉絕對值符號的關(guān)鍵點有兩處，一是lnx的正負(fù)號，臨界點是x與1的大小關(guān)系；二是x2-4的正負(fù)號，臨界點是x與2的大小關(guān)系.又因為隱含了x>0的條件，所以需要分成三段進行討論，即02.

令h(x)=lnx+2-x2，

可知f(x)+g(x)的極小值為

f(2)+g(2)=ln 2-2<-1.

結(jié)合圖象可知，

函數(shù)y=|f(x)+g(x)|與y=1的圖象交點個數(shù)為4個.

所以方程|f(x)+g(x)|=1實根的個數(shù)為4.

解析本題主要考查分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的概念，以及函數(shù)零點等知識點，考查學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想方法解決復(fù)雜函數(shù)的能力.

本題處理復(fù)合函數(shù)y=f(f(x))-1關(guān)鍵點是利用x<0與x≥0的解析式，由于x2-1≥0取決于是否x≥1，因此臨界點是x=0與x=1，所以需分三種情況進行討論：

(1)當(dāng)x≥1時，因為f(x)≥0，

所以f(f(x))=[f(x)]2-1=1，

(2)當(dāng)0≤x<1時，因為f(x)<0，

EFpdepth,j為j類土地的足跡深度，EFpdepth,reg為區(qū)域內(nèi)各種土地利用類型所組成的生態(tài)足跡廣度。

所以f(f(x))=-f(x)+m=1，

解得f(x)=m-1.

又因為m>0，m-1<0，

所以0

(3)當(dāng)x<0時，因為f(x)=-x+m>0，

所以f(f(x))=(f(x))2-1=1，

綜上可知，當(dāng)且僅當(dāng)0

函數(shù)y=f(f(x))-1有3個不同的零點，

3.2　基本不等式問題，通解通法在于運用消元法減少變量.

運用基本不等式求解最值問題有三個條件缺一不可：一正，二定，三相等.其中的關(guān)鍵點就是配湊或構(gòu)造出定值，利用“積定和最小”“和定積最大”求出最值.實際問題中遇到的難點大多是“多變量函數(shù)”問題，通用的做法就是運用消元法減少變量.

案例3(2016年江蘇卷第14題)在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanB·tanC的最小值是.

因為sinA=2sinBsinC，A=π-(B+C)，

所以2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC.

兩邊同除以cosBcosC，

得2tanBtanC=tanB+tanC.

又因為tanA=-tan (B+C)

因為三角形ABC是銳角三角形，

所以tanA>0,tanB>0,tanC>0.

得tanBtanC-1>0.

設(shè)tanBtanC-1=t(t>0)，

所以tanAtanBtanC的最小值是8.

3.3　平面向量問題，通解通法在于轉(zhuǎn)化為基底表征方式.

平面向量基本定理表明，任意一個平面向量可以用不共線的兩個非零向量來線性表示，而且這種表示是唯一的.這提醒我們解決平面向量問題的通解通法應(yīng)該是選好一組不共線的基底向量，并運用它們表征其余向量.

圖1

且E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，

當(dāng)然，平面向量數(shù)量積問題的另一種通解通法就是通過建立平面直角坐標(biāo)系，把數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運算.

圖2

案例7(自編問題)已知|2a-b|≤3，則a·b的最小值為.

解析本題考查平面向量數(shù)量積的最值問題，通解通法就是回歸數(shù)量積的定義：a·b=|a||b|·cosθ，利用|a·b|=||a||b|·cosθ|≤|a||b|，實現(xiàn)條件與解題目標(biāo)的有效對接.

因為|2a-b|≤3，

平方得4a2+b2-4a·b≤9.

又因為4a2+b2≥4|a||b|≥-4a·b，

代入上式得-8a·b≤9，

3.4　不等式恒成立問題，通解通法在于引進函數(shù)模型.

案例8(2017屆南通市高三二模第14題)已知對任意的x∈R，3a(sinx+cosx)+2bsin 2x≤3(a，b∈R)恒成立，則當(dāng)a+b取得最小值時，a的值是.

解析本題主要考查含有雙字母參數(shù)的一元二次不等式恒成立問題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.解題的關(guān)鍵在于把握問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，采取各個擊破策略.本題是運用通解通法解決復(fù)雜數(shù)學(xué)難題的最典型案例.

則sin 2x=t2-1，

因此不等式2bt2+3at-2b-3≤0 恒成立，

令f(t)=2bt2+3at-2b-3.

(1)當(dāng)b=0時，f(t)=3at-3≤0恒成立，

(2)當(dāng)b>0時，

不等式2bt2+3at-2b-3≤0 恒成立，

由線性規(guī)劃，易得a+b無最小值，舍去.

(3)當(dāng)b<0時，

由線性規(guī)劃，(a+b)min=0，a=0.

令a+b=t與9a2+16b2+24b=0相切，

所以a+b=-2.

4　讓通解通法落地生根的幾點建議

江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室董林偉先生倡導(dǎo)學(xué)生要整理好自己的“工具箱”，熟知自己擁有哪些工具，精通每個工具的功能，掌握每個工具使用的注意事項.解題就是自身擁有工具的調(diào)動與使用.我們認(rèn)為，在解題教學(xué)中讓通解通法落地生根，就是要抓好以下四個關(guān)鍵詞.

4.1　說數(shù)學(xué)

一直以來，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)僅限于聽課和紙筆練習(xí)，學(xué)生的口頭表達能力重視不夠，造成學(xué)生“心求通而意未得，口欲言而詞不達”，無法及時再現(xiàn)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，從而影響對所學(xué)知識的理解.說數(shù)學(xué)，就是讓學(xué)生用自己的語言描述所學(xué)的數(shù)學(xué)定義、定理、公式、法則，說出對所面臨數(shù)學(xué)問題的條件與結(jié)論的理解，說出解題方法的選擇，說出關(guān)鍵環(huán)節(jié)的突破與克服.實踐表明越能流暢表達的學(xué)生，對所學(xué)知識越熟悉，也容易理解知識中的隱喻內(nèi)容，容易形成自己獨到、深刻的理解,快速找到解決問題的通解通法.

4.2　做數(shù)學(xué)

所謂做數(shù)學(xué)，就是扎扎實實地做題目.做題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，也是促進學(xué)生數(shù)學(xué)理解的最直接途徑.做題的過程要精力集中、書寫規(guī)范、思路清晰，邏輯性強，講究速度與精度，會做的題目能夠拿到滿分，練好做題“童子功”.教師要給予學(xué)生充足的做數(shù)學(xué)的時間與空間，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，讓學(xué)生親歷親為，體驗解題過程中的酸甜苦辣，積累成功的經(jīng)驗，也汲取失敗的教訓(xùn).同時，教師在解題教學(xué)中要率先垂范，板書工整、解題完整，小處強調(diào)步驟與程序，大處歸納解決一類問題的通解通法.

4.3　變式練習(xí)

變式練習(xí)是指對數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)問題進行不同角度、不同情景、不同設(shè)問的變換，凸顯數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)與外延，突出數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)特征，揭示數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，真正做到舉一反三，舉三而反一類.南師附中葛軍先生提出的生長教育：即由1生2，由1生4，由1生n，就是對于變式練習(xí)的最好詮釋.變式練習(xí)中變化的是題目，不變的是通解通法.因此，變式練習(xí)是幫助學(xué)生掌握一類數(shù)學(xué)問題通解通法的不二選擇.

4.4　畫思維導(dǎo)圖

畫思維導(dǎo)圖是由東尼·巴贊所創(chuàng)，這是一種將放射性思考具體化的方法.畫思維導(dǎo)圖是一種全新的思維模式，能夠幫助學(xué)生靈活地由一種思路轉(zhuǎn)換到另一種思路，從一個意境進入到另一個意境，多方位地試探問題的解決方法，讓思維過程具有很強的發(fā)散性與靈活性.譬如，面對一個陌生的數(shù)學(xué)問題，可以問問自己，這個問題的條件和結(jié)論是什么？能舉出幾個實例嗎？與哪個熟悉問題結(jié)構(gòu)上相似？還可以追問自己，問題的反面是什么？逆命題成立嗎？更一般的問題是什么？等等.唯有如此，才能實現(xiàn)章建躍先生所極力倡導(dǎo)的解題教學(xué)三重境界：知其然；知其所以然；何由以知其所以然.唯有如此，才能讓通解通法落地生根，以不變應(yīng)萬變.