冪的逆運算常見類型分析

宋滄儒

(甘肅省民樂縣第四中學(xué)　734500)

冪的運算是整式乘除法的基礎(chǔ)，常見冪的運算法則有：

(1)同底數(shù)冪相乘的法則:am·an=am+n；

(2)冪的乘方的法則：(am)n=amn；

(3)積的乘方的法則：(ab)n=anbn；

(4)同底數(shù)冪相除的法則:am÷an=am-n(a≠0，m、n為正整數(shù)).

靈活逆用冪的這四條法則是一種常用的數(shù)學(xué)思維．巧妙運用這種數(shù)學(xué)思維解決有關(guān)冪的計算問題，?？墒箚栴}得到簡捷解決，起到意想不到的效果．下面通過舉例說明它在六個方面的具體應(yīng)用．

一、求代數(shù)式的值

1.同底數(shù)冪乘法的逆運算

例1若1+2+3+…+n=a，求代數(shù)式(xny)(xn-1y2)(xn-2y3)…(x2yn﹣1)(xyn)的值．

分析根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即am·an=am+n計算即可．

解答：原式=xny·xn-1y2·xn-2y3·…·x2yn-1·xyn

=(xn·xn-1·xn-2·…·x2·x)·(y·y2·y3·…·yn-1·yn)=xaya．

2.冪的乘方的逆運算

例2已知：274×93=3x,求x.

分析由于未知數(shù)x是方程右邊部分3的指數(shù)，只要將方程左邊部分也化為底數(shù)為3的冪的形式即可.

解答：274×93=(33)4×(32)3=312×36=318.

∵274×93=3x,∴318=3x,∴x=18.

3.積的乘方的逆運算

例3計算：(-0.125)11×811

分析將積的乘方公式逆用，即若有指數(shù)相同的冪相乘，則可將底數(shù)相乘，相同的指數(shù)作為共同的指數(shù).再利用“積的乘方公式的逆計算”進行簡化運算.

解答：(-0.125)11×811=(-0.125×8)11=(-1)11=-1.

4.同底數(shù)冪相除的逆運算

例4若xm+2n=16，xn=2，求xm+n的值．

分析根據(jù)同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變指數(shù)相減得出xm+2n÷xn=xm+n=16÷2=8．

解答：∵xm+2n÷xn=xm+n=16÷2=8，∴xm+n的值為8．

5.混合法則的逆運算

例5若2m=5，2n=6，則2m+2n=．

分析考查冪的乘方與積的乘方，先逆用同底數(shù)冪的乘法法則把2m+2n化成2m·2n·2n的形式，再把2m=5，2n=6代入計算即可．

解答：∵2m=5，2n=6，∴2m+2n=2m·(2n)2=5×62=180．

二、簡化實數(shù)計算

分析根據(jù)冪的乘方法則,逆用積的乘方法則.

三、比較大小

例7比較下列一組數(shù)的大小:8131，2741，961.

分析先對這三個數(shù)變形，都化成底數(shù)是3的冪的形式，再比較大小．

解答：∵8131=(34)31=3124,2741=(33)41=3123,961=(32)61=3122,

∴8131>2741>961．

四、求因數(shù)

例8已知366-9能被80-90之間的兩個整數(shù)整除，求這兩個整數(shù)．

分析逆用冪的運算法則第一條將原數(shù)進行分解，就可找到解決此題的途徑．

解答：∵366-9=366-32=9×(364-1)=9(332+1)(332-1)=9(332+1)(316+1)(38+1)(34+1)(34-1)=9(332+1)(316+1)(38+1)×82×80，∴這兩個數(shù)是82、80．

五、確定個位數(shù)字

例9求3100-1的末尾數(shù)字．

分析先逆用冪的運算法則第二條，確定3100的末尾數(shù)字．

解答：∵3100-1=(32)50-1=950-1=(92)25-1=(81)25-1，而(81)25的個位數(shù)字是1，∴3100-1的末尾數(shù)字是0．

六、尋找參數(shù)

例10已知：0.254×209×0.01÷(5×108)=m×10n(1≤m<10)．求m、n的值．

分析逆用冪的運算法則，把等式的左邊也轉(zhuǎn)化成科學(xué)記數(shù)法的形式，便可求出m、n的值．

解答：原式=0.58×208×20×10-2÷(5×108)=108×20×10-2÷(5×108)=20×106÷(5×108)=4×10-2=m×10n．∴m=4，n=-2.