核心素養(yǎng)怎樣考(二)

李尚志

(北京航空航天大學(xué)　100083)

再來看測試題*測試題1見《數(shù)學(xué)通報》2018年第3期P4,文中所寫題號均對應(yīng)測題1.第2題.

有一年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考過橢圓的內(nèi)接菱形的最大面積. 但沒考過內(nèi)接三角形、四邊形, 更沒考過內(nèi)接8邊形. 怎么做? 設(shè)8個頂點的坐標(biāo)(xi，yi) (1≤i≤8) 表示出面積, 再求16元函數(shù)的最大值? 太復(fù)雜.

只能先放棄. 等到以后再說. 一直等到:

圖1

核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象

在北航參加過考試的很多學(xué)生考試結(jié)束后告訴我: 他們參加過奧數(shù)培訓(xùn), 都知道橢圓面積是πab, 早就背得爛熟. 他們疑惑不解的是: 既然大家都背熟了橢圓面積, 填空題也不需要講理由, 為什么老師還要給提示? 我反問: 奧數(shù)培訓(xùn)過橢圓內(nèi)接8邊形的最大面積嗎? 你們知道那道題的答案嗎? 很多同學(xué)說不知道答案. 我說太可惜了. 我用這道題來提示那道題. 可惜你們拒絕了這個送上門來的提示.

第9題的提示是將橢圓拉成圓, 利用圓面積計算橢圓面積. 這個原理也可以用來解填空題的第2題, 同樣地把橢圓拉成圓, 利用圓內(nèi)接8邊形的最大面積來計算橢圓內(nèi)接8邊形的最大面積.

很多學(xué)生和老師認為, 既然是填空題, 只要答案對了就行, 不必知道理由. 只需要知其然, 不需要知其所以然. 如果考問答題, 不知其然要扣分. 計算題只寫答案不寫步驟要扣分, 有的步驟可能還要寫理由,不寫或者寫錯了也要扣分. 步驟和理由都是所以然. 證明題更是專門寫理由講所以然的. 我這里是填空題, 只要答案正確就得滿分, 不知道理由不扣分. 第9 題的9 分全都給你. 也許你覺得心滿意足了.

不過, 第2題的9分被我扣了, 因為你做不出答案. 第9題你可以死記硬背現(xiàn)成答案, 第2題沒人告訴你答案, 你自己也想不出來, 就丟分了.也不是沒人告訴, 我寫了一個提示教你做第2題, 你拒絕聽, 就只好丟分了. 為什么拒絕？因為我的提示不是寫在第2題而是寫在第9題, 不是告訴答案而是提示思路, 不是提示第2 題而是提示第9 題. 不是讓你知其然而是讓你知其所以然, 不是授之以魚而是授之以漁. 第9題的答案對于第2題沒有用處, 第9題的“知其然”不能照搬到第2題, 第9題的“知其然”卻可以拿去攻克第2題的難關(guān). 兩道題雖然有不同的答案, 不同的“然”, 卻有共同的“所以然”. “知其然”只能回答1個題, 就好比一次性杯子, 用一次就沒用了.“所以然”則是你喝水的嘴巴, 可以反復(fù)使用不斷喝水維持生命. “所以然”不是為了對“然”錦上添花甚至無病呻吟,而是舉一反三推而廣之放之四海而皆準(zhǔn).

“然”就是具體,“所以然”是抽象. 抽象就是很多不同的具體事物的共同點. 數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)就是善于掌握不同數(shù)學(xué)問題的共同點, 將這個問題的解決方案用來攻克許許多多別的問題, 這就叫舉一反三. 不僅是反三, 而且可以舉一反萬, 舉一反無窮. 本套題通過提示第9題幫你解第2題, 讓你解第11題得出一個公式拿去解第1題, 既是考察你舉一反三的能力，也是幫助你提高這種能力. 也就是考察和培養(yǎng)你的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

很多人寫文章批判死記硬背. 死記硬背并不錯, 總有些基本知識需要死記硬背. 問題在于, 死記硬背之后怎么用, 是只能用一次, 還是可以用多次? 是死用還是活用. 當(dāng)然, 死記硬背還有一個毛病是效率太低, 只是像巴甫洛夫的狗那樣通過反復(fù)重復(fù)來硬背, 如果能夠讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上記憶, 效率會提高. 但很多老師只會重復(fù)不會理解, 你也不能強求他提高效率. 哪怕他的效率低, 記住了也比沒記住好. 寫文章批評他, 他也不服氣. 他的目的是應(yīng)付考試. 只有用考試來教育他才有效. 教育不了老師, 那就教育學(xué)生, 總能夠挽救幾個.我出這套題就是希望用做數(shù)學(xué)題來教育考生. 哪怕考生都死記硬背, 我提示一下, 有些人醒悟了, 接受了提示舉一反三了, 嘗到了甜頭, 以后他就會喜歡“所以然”. 喜歡只是一個開端, 不可能把什么道理都搞清楚,搞不清楚的就留在那里, 只知其然不知其所以然, 也比不知其然好. 只要他有這個愿望知其所以然, 這個愿望就能讓他受益終身. 另外一些人不醒悟, 被淘汰, 如果失敗能夠使他有所醒悟, 也是我教育的效果.

如果一個考生沒參加課外培訓(xùn), 沒有人告訴他橢圓面積公式, 不知道第9題的答案, 他也許會認真閱讀思考一下我的提示, 按照提示做出第9題. 如果他的悟性再好一點, 有可能再按照這個提示做出第2題. 另外一些考生參加過培訓(xùn), 知道橢圓面積公式, 馬上就做出了第9題. 這本來是好事, 可惜他信奉“然”不信奉“所以然”, 為自己靠死記硬背做出了第9 題而沾沾自喜, 就再也做不出第2 題, 丟了那9分. 其實, 我的考試并不指望考生預(yù)先就知道橢圓面積公式的所以然, 那個所以然要用到定積分, 還需要變量代換, 中學(xué)生很難掌握. 我的提示是告訴你另外一個所以然, 讓你從這個路口進去自己探索答案. 那些不信奉所以然的考生對這個入口根本不看, 就失去了第2題得分的機會. 而且也會失去第1、4題得分的機會, 因為那兩題也同樣是要靠提示做出來. 其他的題會不會做呢? 第9題也許他背過答案會做, 第11題(1)有現(xiàn)成解法也許會做, 兩題目共送19分. 其它題目既沒有現(xiàn)成方法, 也沒有提示, 知其然派不上用場, 全都得靠“所以然”. 沒有提示“所以然”的難度都不大, 但是為了考察你對所以然的理解是否清楚, 設(shè)了些陷阱. 死記硬背是要吃虧的. 讓你吃虧不是要害你, 而是希望用一點苦口的良藥來醫(yī)你的病. 對大部分人可能沒有療效, 總有些人有療效吧.

以下兩種解法不是寫給中學(xué)生看的, 而是給大學(xué)生以及上過大學(xué)的中學(xué)教師看的.

一般的考試中, 前幾道題目都比較容易, 最后才會有幾道難題. 我的考試前兩道題就是殺威棒, 先讓你束手無策. 考察你是否能夠臨危不亂, 處變不驚, 有耐心和平常心處理好下一道題. 下一個題是這樣的:

看起來, 這道題確實回歸正常了. 雖然你只學(xué)過到兩點距離之和為定值的點的軌跡是橢圓, 到定點和定直線距離相等的點的軌跡是拋物線. 像這樣牛頭對馬嘴, 到定點和定直線距離之和為定值的點的軌跡沒見過, 但總不像前兩道題那樣束手無策, 有辦法按部就班列方程把它算出來:

圖2

由題意列方程

(1)

(2)

(3)

圖象是拋物線的一段.

然而49<60, 這說明

本題答案: 空集.

防錯能力本題解法按部就班, 答案卻出乎意料. 設(shè)了一個陷阱,考察防錯能力. 叫你求解, 就應(yīng)該先考慮是否有解. 即使忘了考慮, 兩邊平方也應(yīng)該立刻警惕是否增根.

考試時有的考生發(fā)現(xiàn)了無解, 就說題出錯了. 無解也是解, 空集也是集合, 這是教材教過的. 空集也是軌跡, 也很正常. 如果題目真的出錯了, 你舉出理由指出錯誤, 也是正確答案. 高考不準(zhǔn)指出錯誤, 我的考試準(zhǔn)許, 我也希望高考用適當(dāng)?shù)姆绞綔?zhǔn)許指出錯誤. 考生能夠看出錯誤, 就是優(yōu)秀. 敢于指出錯誤, 是超級優(yōu)秀. 高考說自己絕不會錯, 所以不準(zhǔn)指出. 你應(yīng)該努力不出錯誤, 但也很難完全避免. 禁止指出, 就是禁止優(yōu)秀.

4. 多項式(xsin 75°+sin 15°)2012被x2+1 除, 余式為________.

解此題看起來嚇人. 其實不會當(dāng)真要你求2012 次冪再求余式.

即使你沒有學(xué)過多項式相除求余式, 但在小學(xué)算術(shù)中學(xué)過正整數(shù)a除以b求商q及余數(shù)r, 滿足條件a=qb+r, 且0≤r

f(x)=(xsin 75°+sin 15°)2012

=q(x)(x2+1)+(a+bx).

下一步怎么辦? 你不可能算出2012次冪f(x)再作除法求余式. 既然只需要算余式a+bx不要求算商q(x), 只要在以上等式中取x=i使x2+1=i2+1=0, 就可將q(x) 消掉, 得到

(i sin 75°+ sin 15°)2012=a+bi,

算出前面的2012次冪, 就可得到a,b, 從而得到a+bx.

利用棣美弗公式(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ可以算出

(i sin 75°+sin 15°)2012

=(cos 75°+ i sin 75°)2012

如果你不知道棣美弗公式, 就做不出本題. 不要緊, 先跳過去做后面的題. 做了填空題10就知道了.

10. 方程x3=-i 的全部解為________.

(提示: 利用棣美弗公式(cosα+i sinα)n=cosnα+i sinnα. )

不過, 你如果認為第10 題的提示只是用來做第10題, 而沒有想到用來做第4 題, 第4 題的分就丟了. 丟的不是知識點的分, 而是核心素養(yǎng)的分, 因為你不會舉一反三而丟了分.

借題發(fā)揮: 什么是復(fù)數(shù)

1.幾何模型:平面上的旋轉(zhuǎn)

不論你是否學(xué)過棣美弗公式, 都必須明白這個公式的幾何意義, 而不是把它作為代數(shù)計算公式來死記硬背. 也不需要學(xué)會用數(shù)學(xué)歸納法來證明這個公式. 如果你懂了數(shù)學(xué)歸納法, 也知道正弦余弦的和角公式, 自然就會用數(shù)學(xué)歸納法證明棣美弗公式, 不需要重新學(xué)習(xí). 如果你還不會證明, 那也不用學(xué), 不會就不會吧. 但有件事必須知道:

i2為什么等于-1?

你覺得這個問題很奇怪: 書上規(guī)定的呀? 還需要問為什么嗎? 書上規(guī)定了一個符號i 來表示-1的平方根. 并沒有解釋-1為什么存在平方根. 如果-1的平方根根本不存在, 怎么能夠規(guī)定一個符號代表這個不存在的東西呢?

如果再問為什么(-1)2=1, 你覺得也是數(shù)學(xué)家規(guī)定的, 我們死記硬背, 應(yīng)付考試就行了.

為什么(-1)2=1? 因為乘-1表示向后轉(zhuǎn). 比如汽車速度30表示每小時30 千米往東, 30乘-1變成-30, 就是向后轉(zhuǎn)180°, 往東的30變成往西的30, 就是-30.-30再乘-1, 就是由往西的方向再次向后轉(zhuǎn), 回到往東的方向, 這解釋了(-30)×(-1)=30.

(-1)2表示后轉(zhuǎn)兩次, 轉(zhuǎn)兩個180°, 就是轉(zhuǎn)360°, 還是回到往東.

既然-1 的平方是后轉(zhuǎn)兩次, -1 的平方根i 就是后轉(zhuǎn)半次, 轉(zhuǎn)半個180°, 也就是轉(zhuǎn)90°. 這樣, i2就是轉(zhuǎn)兩個90°, 轉(zhuǎn)180°, 就是乘-1,這就解釋了i2=-1. 轉(zhuǎn)90° 有兩個不同方向, 左轉(zhuǎn)90° 與右轉(zhuǎn)90°不一樣. 我們規(guī)定左轉(zhuǎn)(逆時針方向) 90° 為i, 右轉(zhuǎn)90° 就是-i, 都是-1 的平方根: i2= (-i)2=-1. 往東30 乘i 變成30i 就是往北,再乘i變成30i2=-30 就是往西, 再乘i變成30i3=-30i 就是往南.30i4=30 回到往東.

既然i表示左轉(zhuǎn)90°, 它的平方根就是左轉(zhuǎn)45°, 就是

復(fù)數(shù)x+yi 代表向量(x,y). 要將(x,y) 左轉(zhuǎn)(逆時針方向) 90°,只要用i乘x+yi 得到-y+xi, 就知道(x,y) 左轉(zhuǎn)90°變到(-y,x).

要將(x,y) 旋轉(zhuǎn)任意角α, 只要用cosα+

i sinα乘x+yi 得

(cosα+ i sinα)(x+yi)

=(xcosα-ysinα)+i(xsinα+ycosα)

這表示: (x,y) 旋轉(zhuǎn)角α變到(xcosα-ysinα,xsinα+ycosα).

(cosα+ i sinα)n將旋轉(zhuǎn)α的動作重復(fù)n次, 共旋轉(zhuǎn)n. 因此

(cosα+ i sinα)n= cosnα+ i sinnα.

這叫做棣美弗公式.幾何意義是: 每次旋轉(zhuǎn)α, 重復(fù)n次旋轉(zhuǎn)nα.

例1已知sinα; cosα, 求sinnα; cosnα.

解cosnα+ i sinnα=(cosα+ i sinα)n

sin2k+1α+ …

例如cos 3α=cos3α-3 cosαsin2α

=cos3α-3 cosα(1-cos2α)

=4 cos3α-3 cosα,

sin 3α=3 cos2αsinα-sin3α

=3(1-sin2α) sinα-sin3α

= 3 sinα-4 sin3α.

例2求方程xn=1 的全部復(fù)數(shù)根.

解設(shè)x=r(cosα+i sinα).

由xn=rn(cosnα+i sinnα)=1得

方程xn=1 的解就是1 的n次方根, 稱為n次單位根.

n次單位根在復(fù)平面上對應(yīng)的n個點是圓心在原點的單位圓內(nèi)接正n邊形的n個頂點.

2.矩陣模型(僅供學(xué)過線性代數(shù)的中學(xué)生和中學(xué)教師看)

用復(fù)數(shù)a+bi作乘法將x+yi變到

(a+bi)(x+yi)=(ax-by)+(bx+ay)i.

所代表的平面向量X變到

這是線性變換, 用矩陣A乘X來實現(xiàn). 因此, 復(fù)數(shù)a+bi可以用矩陣

=aI+bJ

3.規(guī)定服從邏輯

最后一次擴充, 由實數(shù)到復(fù)數(shù), i2=-1 卻不舉例, 強行規(guī)定一個符號i代表-1的平方根, 不解釋-1的平方根為什么存在.

0x+0x=(0+0)x=0x

?(0x+0x)+(-0x)=0x+(-0x)

?0x=0.

4.代數(shù)模型

我們在實數(shù)集合R之外構(gòu)造一個新數(shù)x滿足方程x2+1=0.

先看x與實數(shù)加減乘產(chǎn)生哪些新數(shù), 這些新數(shù)怎樣參加運算.

x自乘產(chǎn)生所有的正整數(shù)次冪xk. 每個冪xk乘實數(shù)產(chǎn)生單項式akxk. 單項式相加產(chǎn)生多項式f(x)=a0+a1x+ …+anxn. 這就產(chǎn)生了所有的實系數(shù)多項式, 組成集合R[x]. 其中的多項式可以按多項式運算法則加減乘, 得到的結(jié)果仍然在R[x] 中, 不再產(chǎn)生更多的新數(shù).

憑什么說多項式的字母x是R之外的“新數(shù)”?x是變量, 可以任意取值. 每個多項式f(x)=a0+a1x+…+anxn是自變量x與常數(shù)a0,a1,…,an經(jīng)過加減乘算出的函數(shù). 按這個觀點,R[x] 不是數(shù)的集合, 而是x的實系數(shù)多項式函數(shù)的集合.R中的實數(shù)a0也是x的函數(shù), 只不過它是常數(shù), 只取一個固定值a0.R之外所有的多項式f(x)取值都不是常數(shù), 都要變化, 不同于任何一個常數(shù).R[x] 中不同的多項式兩兩之差都不是0, 都是不同的函數(shù).

要將函數(shù)集合R[x] 變成數(shù)的集合, 就要對x取值. 比如令x=c,讓x取常數(shù)值c. 每個多項式f(x) 也就取常數(shù)值f(c). 函數(shù)集合R[x] 就變成所有這些f(c) 組成的常數(shù)集合. 如果c是實數(shù), 這就是讓R[x] 中兩個不同的多項式x，c取同一個常數(shù)值c.R中的常數(shù)沒有變,R之外的變量全部變成R中的常數(shù). 特別地,

x=c?x-c=0?q(x)(x-c)=0 (?q(x) ∈R[x]),

非零多項式x-c以及它所有的倍式q(x)(x-c) 全部變成常數(shù)0. 每個多項式f(x) 除以x-c有唯一的商q(x) 和余式r, 得到

f(x)=q(x)(x-c)+r

?f(c)=q(c)(c-c)+r=r.

可見f(x) 的取值f(c) 完全由f(x) 除以x-c的余式r決定. 由于除式x-c是一次, 余式r是常數(shù), 也就是余數(shù). 同一余式r的所有多項式f(x)取值f(c) 相同, 都等于余數(shù)r. 這個結(jié)論稱為余數(shù)定理. 特別地,f(c)=0?r=0, 就是說:c滿足多項式方程f(x)=0?f(x) 被x-c整除. 這稱為因式定理.

令x取值c導(dǎo)致f(x) 的取值由f(x) 除以x-c的余式?jīng)Q定. 也可以令x2取值-1, 導(dǎo)致

x2+1=0?q(x)(x2+1)=0?

f(x)=q(x)(x2+1)+a+bx

=q(x)0+a+bx=a+bx，

f(x) 的取值由它除以x2+1的余式a+bx決定. 同一余式a+bx的所有多項式f(x) 組成一個集合, 稱為模x2+1的同余類. 由于除式x2+1 是二次, 余式a+bx不見得是實常數(shù), 而是不超過一次的實系數(shù)多項式, 將它看成一個“數(shù)”,a+bx所在同余類中所有的多項式都看成這個數(shù)的表達式, 其中的余式a+bx稱為標(biāo)準(zhǔn)表達式. 不同的同余類表達不同的數(shù).

當(dāng)b=0, 余式a+bx=a是實數(shù), 同余類{a+q(x)(x2+1) |q(x) ∈R[x]} 表示實數(shù)a.

當(dāng)a=0,b=1, 余式a+bx=x, 表達的數(shù)是R之外的一個新數(shù), 記作i.x所在的同余類{x+q(x)(x2+1) |q(x) ∈R[x]} 都表示i.

任意余數(shù)a+bx是x的任意實數(shù)倍bx與任意實數(shù)a之和,a+bx所表達的數(shù)就是x表達的i 的實數(shù)倍bi 與實數(shù)a之和a+bi.a+bx所在同余類{a+bx+q(x)(x2+1)|q(x) ∈R[x]} 中所有的多項式都是a+bi 的表達式.

C={a+bi |a,b∈R} 就是R[x] 中全體多項式所表達的全體數(shù)的集合, 其中的數(shù)a+bi 稱為復(fù)數(shù). 每個復(fù)數(shù)a+bi 是a與bi 兩部分之和: 前一部分a稱為實部, 是實數(shù); 后一部分bi 稱為虛部, 是i 的實數(shù)倍. i 稱為虛數(shù)單位, 當(dāng)b≠0 時bi 稱為純虛數(shù).

兩個復(fù)數(shù)a+bi,c+di 進行加減乘運算, 只要將它們的表達式a+bx,c+dx作加減乘運算, 得到的表達式再除以x2+1 求余式得到標(biāo)準(zhǔn)表達式. 特別地, 要計算i2+1, 將i 的表達式x平方加1得到表達式x2+1, 再除以x2+1 得到余式0, 就是標(biāo)準(zhǔn)表達式, 因此i2+1=0.同理, i2的表達式x2=-1+(x2+1) 除以x2+1得余式-1, 因此i2=-1. 一般地, 進行復(fù)數(shù)的加減乘運算, 只需先將i看成多項式字母x,進行多項式運算, 再將i2=-1 代入, 相當(dāng)于除以x2+1 求余式.

這樣得到的復(fù)數(shù)集合C={a+bi |a,b∈R} 不但做加減乘運算通行無阻, 當(dāng)除數(shù)c+di≠0 時做除法也通行無阻:

測試題第4題是已經(jīng)建立了復(fù)數(shù)再將x=i 代入

(xsin 75°+sin 15°)2012

=q(x)(x2+1)+(a+bx),

利用復(fù)數(shù)運算求余式. 在這里是反過來利用余式構(gòu)建復(fù)數(shù)使i2+1=0.

也許你會問: 假如另外選一個除式作同余類. 比如除以x2-2. 同樣地得到余式a+bx, 同樣地將x所代表的數(shù)記為i, 滿足i2=2.

注: 以上講的利用同余類構(gòu)造“新數(shù)”的方法, 就是大學(xué)抽象代數(shù)課程中的數(shù)域的代數(shù)擴張.