近幾年中考數(shù)學(xué)(北京卷)統(tǒng)計(jì)綜合題綜述

王亮亮

(北京教育考試院　100083)

1　引言

從2015年開始，北京中考數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)試題從題型結(jié)構(gòu)、考查內(nèi)容、設(shè)問方式等方面進(jìn)行創(chuàng)新與改革的探索，引起了廣大師生的關(guān)注．一方面，試題對(duì)考生統(tǒng)計(jì)方面的基礎(chǔ)知識(shí)、類比與歸納能力、數(shù)據(jù)推斷能力和統(tǒng)計(jì)思想等方面具有很高的要求；另一方面，試題背景新穎、內(nèi)涵豐富、思想深刻，對(duì)考生具有很好的區(qū)分功能；再一方面，試題對(duì)初中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)部分的教學(xué)起到了引導(dǎo)作用．但通過調(diào)研聽課發(fā)現(xiàn)，由于對(duì)試題了解的不夠全面與深刻，很多教師在講解時(shí)遇到了一些問題，如在實(shí)際問題中如何利用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)等統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)意義進(jìn)行數(shù)據(jù)推斷．本文將以2016、2017年統(tǒng)計(jì)綜合題為例，對(duì)近幾年的統(tǒng)計(jì)綜合題進(jìn)行一次理論與實(shí)踐的總結(jié)，與大家分享試題背后的思想和試題對(duì)教學(xué)的引導(dǎo)作用，希望能給一線教師提供一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn).

2　探索與改革基礎(chǔ)

準(zhǔn)確把握《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對(duì)統(tǒng)計(jì)部分內(nèi)容提出的本質(zhì)性要求是改革實(shí)施的必要前提，也是了解試題背后意義的必要前提.

2.1　統(tǒng)計(jì)的目的、基礎(chǔ)、核心和方式

2011版課標(biāo)指出：在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，設(shè)計(jì)有效的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷完整的統(tǒng)計(jì)過程，包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、展示數(shù)據(jù)、從數(shù)據(jù)中提取信息，并利用這些信息解釋實(shí)際問題．上面的描述反映出應(yīng)關(guān)注的幾個(gè)關(guān)鍵詞：統(tǒng)計(jì)過程、數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)分析和數(shù)據(jù)推斷，以及它們之間的關(guān)系：統(tǒng)計(jì)的目的是統(tǒng)計(jì)推斷，統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)是數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)的核心是數(shù)據(jù)分析，而數(shù)據(jù)的分析是在解決實(shí)際問題的統(tǒng)計(jì)過程中完成的，也就是說統(tǒng)計(jì)過程是統(tǒng)計(jì)目的實(shí)現(xiàn)的方式.

2.2　統(tǒng)計(jì)的思維與思想

統(tǒng)計(jì)目的的實(shí)現(xiàn)方式是統(tǒng)計(jì)過程，則在統(tǒng)計(jì)過程中就需要在統(tǒng)計(jì)思想的引領(lǐng)下，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析．2011版課標(biāo)指出：體會(huì)抽樣的必要性，通過實(shí)例了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；通過表格、折線圖、趨勢(shì)圖等，感受隨機(jī)現(xiàn)象的變化趨勢(shì)；能計(jì)算中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、方差；能利用頻數(shù)直方圖解釋數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息；能解釋統(tǒng)計(jì)結(jié)果，并根據(jù)結(jié)果作出簡(jiǎn)單的判斷和預(yù)測(cè)……上述描述體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)的思維特征——非確定性思維和統(tǒng)計(jì)的基本思想——統(tǒng)計(jì)調(diào)查的思想、隨機(jī)的思想、統(tǒng)計(jì)推斷的思想和量化的思想.

2.2.1隨機(jī)思想

統(tǒng)計(jì)的基本思想是隨機(jī)思想，研究對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象．初中階段注重通過表格、折線圖等感悟隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律．?dāng)?shù)據(jù)的隨機(jī)性是隨機(jī)現(xiàn)象的直觀體現(xiàn)．對(duì)數(shù)據(jù)隨機(jī)性的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的描述與刻畫是隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)要求.

2.2.2統(tǒng)計(jì)調(diào)查思想

數(shù)據(jù)的收集源于調(diào)查．初中階段側(cè)重于抽樣調(diào)查，根據(jù)樣本推斷總體．其中，樣本估計(jì)總體的思想是基本思想．為保證統(tǒng)計(jì)結(jié)果的真實(shí)性，樣本需隨機(jī)，保證每個(gè)個(gè)體有相等的機(jī)會(huì)被抽到．通過樣本的數(shù)字特征，估計(jì)、推算總體的數(shù)字特征，對(duì)總體進(jìn)行可靠性推斷．除抽樣方法合理外，為使樣本客觀反映總體，需考慮樣本容量大小.

2.2.3統(tǒng)計(jì)推斷思想

統(tǒng)計(jì)推斷是基于數(shù)據(jù)的．初中階段主要是基于數(shù)據(jù)的推斷性統(tǒng)計(jì)分析——利用樣本數(shù)據(jù)推測(cè)總體情況．統(tǒng)計(jì)推斷需從數(shù)據(jù)分析入手，分析、處理數(shù)據(jù)，挖掘、提煉數(shù)據(jù)，根據(jù)實(shí)際問題選擇適當(dāng)統(tǒng)計(jì)量，推出合理的統(tǒng)計(jì)結(jié)論.

2.2.4量化思想

統(tǒng)計(jì)規(guī)律從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)，統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)論須用數(shù)據(jù)支撐．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等統(tǒng)計(jì)量都是統(tǒng)計(jì)推斷量化的基礎(chǔ)，既可以描述調(diào)查對(duì)象的趨勢(shì)，也可以對(duì)不同總體進(jìn)行比較．初中階段，統(tǒng)計(jì)量化是定量與定性相結(jié)合，不能單純停留在數(shù)據(jù)計(jì)算上，而是明確統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)意義，利用統(tǒng)計(jì)量對(duì)統(tǒng)計(jì)對(duì)象進(jìn)行剖析，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷.

3　試題呈現(xiàn)

2016年調(diào)查作業(yè)：了解你所住小區(qū)家庭5月份用氣量情況.

小天、小東和小蕓三位同學(xué)住在同一小區(qū)．該小區(qū)共有300戶家庭，每戶家庭人數(shù)在2～5之間，這300戶家庭的平均人數(shù)約為3.4.

小天、小東和小蕓各自對(duì)該小區(qū)家庭5月份用氣量情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查，將收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理，繪制的統(tǒng)計(jì)表分別為表1、表2和表3．

表1　抽樣調(diào)查小區(qū)4戶家庭5月份用氣量統(tǒng)計(jì)表　(單位：m3)

表2　抽樣調(diào)查小區(qū)15戶家庭5月份用氣量統(tǒng)計(jì)表　 (單位：m3)

表3　抽樣調(diào)查小區(qū)15戶家庭5月份用氣量統(tǒng)計(jì)表　 (單位：m3)

根據(jù)以上材料回答問題：

小天、小東和小蕓三人中，哪一位同學(xué)抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)能較好地反映出該小區(qū)家庭5月份用氣量情況，并簡(jiǎn)要說明其他兩位同學(xué)抽樣調(diào)查的不足之處.

2017年某工廠甲、乙兩個(gè)部門各有員工400人，為了解這兩個(gè)部門員工的生產(chǎn)技能情況，進(jìn)行了抽樣調(diào)查，過程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整.

收集數(shù)據(jù)從甲、乙兩個(gè)部門各隨機(jī)抽取20名員工，進(jìn)行了生產(chǎn)技能測(cè)試，測(cè)試成績(jī)(百分制)如下：

甲7886748175768770759075798170748086698377乙9373888172819483778380817081737882807040

整理、描述數(shù)據(jù)按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù)：

人數(shù)成績(jī)x部門40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲0011171乙

(說明：成績(jī)80分及以上為生產(chǎn)技能優(yōu)秀，70～79分為生產(chǎn)技能良好，60～69分為生產(chǎn)技能合格，60分以下為生產(chǎn)技能不合格)

分析數(shù)據(jù)兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示：

部門平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲78.377.575乙7880.581

得出結(jié)論

a.估計(jì)乙部門生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)為；

b.可以推斷出部門員工的生產(chǎn)技能水平較高，理由為．(至少?gòu)膬蓚€(gè)不同的角度說明推斷的合理性)

4　試題綜述與分析

2016、2017年統(tǒng)計(jì)試題，以統(tǒng)計(jì)思想為引導(dǎo)，通過重現(xiàn)統(tǒng)計(jì)全過程，考查樣本估計(jì)總體的思想，考查統(tǒng)計(jì)思維．但2016、2017年試題的側(cè)重點(diǎn)又有所不同．2016年試題側(cè)重考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的過程，考查樣本的代表性和樣本容量的適合性，考查描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量平均數(shù)．2017年試題側(cè)重考查整理、描述和分析數(shù)據(jù)，考查選用恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，并解釋推斷結(jié)果．

4.1　統(tǒng)計(jì)過程是感悟統(tǒng)計(jì)思想，培養(yǎng)統(tǒng)計(jì)思維最有效的方式

感悟統(tǒng)計(jì)思想、培養(yǎng)統(tǒng)計(jì)思維最有效的方式是親身經(jīng)歷數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的全過程，進(jìn)行樣本數(shù)據(jù)的收集，才能對(duì)“怎么抽，如何抽，抽多少”有所感悟，才能對(duì)問題作出合理的解釋．下面以2016年試題為例，進(jìn)行詳細(xì)的闡述.

2016年的試題是評(píng)價(jià)三位同學(xué)抽樣調(diào)查的過程的合理性.

調(diào)查思想的體現(xiàn)．三位同學(xué)都是根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法收集數(shù)據(jù)．抽樣須考慮樣本容量的適合性．該小區(qū)共有300戶家庭，樣本容量15適合，故小天抽樣調(diào)查的樣本容量過小.

隨機(jī)思想的體現(xiàn)．根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的基本原則“每一個(gè)個(gè)體都有相等的機(jī)會(huì)被抽到”，結(jié)合該小區(qū)每戶家庭人數(shù)在2～5之間，故所抽取的樣本中家庭戶數(shù)須有2，3，4，5，所以小東抽樣調(diào)查的樣本的代表性不好.

量化思想的體現(xiàn)．平均數(shù)是刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的．該小區(qū)300戶家庭的平均人數(shù)約為3.4，故所抽取的樣本反映的數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)須與總體的集中趨勢(shì)一致．通過定性分析發(fā)現(xiàn)，小東所抽樣本的家庭的平均數(shù)人數(shù)小于3；通過定量計(jì)算發(fā)現(xiàn)，小東所抽樣本的家庭的平均人數(shù)為2.87，進(jìn)一步反映出小東抽樣調(diào)查的樣本不能反映總體的情況.

推斷思想的體現(xiàn)．小蕓所取的抽樣本的容量為15，所抽取的樣本中家庭戶數(shù)為2，3，4，5，樣本中家庭的平均人數(shù)為3.4．與小天和小東抽樣調(diào)查的分析因素比較，小蕓的抽樣調(diào)查能較好地反映出該小區(qū)家庭5月份用氣量情況．

4.2　統(tǒng)計(jì)推斷不能停留在讀取圖表中具有明顯答案的數(shù)據(jù)，也不能停留在數(shù)據(jù)的計(jì)算，要超越數(shù)據(jù)操作本身

統(tǒng)計(jì)推斷是基于數(shù)據(jù)的．根據(jù)具體問題，提取數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息，有針對(duì)性的進(jìn)行分析與選擇，結(jié)合數(shù)據(jù)的意義，通過對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷、預(yù)測(cè)、推理，解決問題．下面以2017年試題為例，進(jìn)行詳細(xì)闡述.

數(shù)據(jù)直觀層面．①按試題要求，對(duì)乙部門樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分段整理，這是數(shù)據(jù)的整理層面；②在整理過程中，發(fā)現(xiàn)乙部門樣本數(shù)據(jù)中有一個(gè)極端值40，極端值會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)的平均數(shù)有一定影響，會(huì)把乙部門平均數(shù)拉低，對(duì)數(shù)據(jù)有了直觀的認(rèn)識(shí).

數(shù)據(jù)挖掘?qū)用妫畬?duì)整理后的第一張表進(jìn)行數(shù)據(jù)分析：表中給出了生產(chǎn)技能優(yōu)秀、良好、合格、不合格的劃分，甲部門樣本中優(yōu)秀率為40%，乙部門樣本中優(yōu)秀率為60%，可推斷出乙部門的優(yōu)秀率高于甲部門的優(yōu)秀率，但是乙部門樣本中的極端值40會(huì)拉低乙部門樣本數(shù)據(jù)的平均成績(jī)，并且甲部門樣本數(shù)據(jù)中的合格率100%，乙部門樣本數(shù)據(jù)的合格率95%．上述的數(shù)據(jù)分析，對(duì)甲、乙兩個(gè)部門生產(chǎn)技能情況都有所指向，但還無法明確的判斷出甲、乙兩個(gè)部門的生產(chǎn)技能情況.

對(duì)第二張表進(jìn)行數(shù)據(jù)分析：表中給出了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)三個(gè)統(tǒng)計(jì)量．①甲、乙兩個(gè)部門樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為78和78.3，幾乎沒有差距，無法進(jìn)一步判斷甲、乙兩個(gè)部門的生產(chǎn)技能情況；②乙部門樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為80.5，落在了生產(chǎn)技能水平優(yōu)秀的范圍內(nèi)，根據(jù)中位數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，可以推斷出乙部門至少有50%員工的生產(chǎn)技能水平優(yōu)秀，而甲部門樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為77.5，落在了生產(chǎn)技能水平良好范圍內(nèi)，無法推斷優(yōu)秀人數(shù)；③再分析甲、乙兩部門樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)發(fā)現(xiàn)，甲部門樣本數(shù)據(jù)中的眾數(shù)75小于中位數(shù)77.5，乙部門樣本數(shù)據(jù)中的眾數(shù)81大于80.5，根據(jù)眾數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，甲部門樣本數(shù)據(jù)集中于中位數(shù)77.5的左側(cè)，乙部門樣本數(shù)據(jù)集中于中位數(shù)80的右側(cè)，并且是優(yōu)秀，故可推斷出甲部門大部分員工生產(chǎn)技能水平情況是良好，乙部門大部分員工生產(chǎn)技能水平情況是優(yōu)秀.

數(shù)據(jù)推斷層面．對(duì)于統(tǒng)計(jì)結(jié)論的推斷，需要數(shù)據(jù)的支撐，不是單一角度數(shù)據(jù)支撐，而是多角度綜合性數(shù)據(jù)的支撐．通過對(duì)數(shù)據(jù)信息的挖掘，結(jié)合對(duì)優(yōu)秀率、中位數(shù)、眾數(shù)等方面的分析，可以推斷出乙部門員工的生產(chǎn)技能水平高于甲部門員工的生產(chǎn)技能水平.

5　總結(jié)

本文以2016、2017年中考數(shù)學(xué)(北京卷)統(tǒng)計(jì)綜合題為例，把2011版課標(biāo)中統(tǒng)計(jì)部分的內(nèi)容要求進(jìn)行了一次理論性的總結(jié)，并詳細(xì)闡述了近幾年統(tǒng)計(jì)綜合題的探索與改革方向，以及試題背后蘊(yùn)含的統(tǒng)計(jì)思想．這次把理論與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)的主要目的是想對(duì)教學(xué)起到一定的引導(dǎo)作用，讓一線更加了解試題的設(shè)計(jì)初衷，更能有效的引導(dǎo)教學(xué)，如有不當(dāng)之處請(qǐng)批評(píng)指正.