第二十一屆北京高中數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽決賽試題及參考解答

2018年3月25日

一、大學(xué)生張某，出行喜歡用共享單車，日常情況是周一到周五，每天要從宿舍到教學(xué)樓，騎行兩個往返，每個單程用時10分鐘；周末和國假回家(連續(xù)假日時，只需往返一次)，從宿舍到家單程騎行要50分鐘．有A、B、C、D四家共享單車公司，其收費規(guī)則如下：

公司計費付費優(yōu)惠A0.5元/次沒有B1元/次周末和國假騎行免費C1元/次每月可以抽到一張獎券,用此券免費不計次連續(xù)騎行一周D1元/次每騎行付費一次,下次騎行免費

其中，使用半小時為一次；使用不足半小時，按一次計費.

如果不考慮押金和服務(wù)等因素，僅從用車付費的角度，且只使用一個公司的單車，你認為張某在這個學(xué)期(2月26日到7月13日)日常情況下，用哪個公司的共享單車最劃算？說明理由.

解這個學(xué)期有20周，19個周末(含三天國假清明、五一，端午)，不足半小時的次數(shù)有(20×5-3)×4=388個，還有19×2=38個50分鐘(回家、返校)的單程．對此，

若用A公司的車，約需付費：

388×0.5+38×1=232(元)；

若用B公司的車，約需付費：

388×1=388 (元)；

若用C公司的車，大體認為在4.5個月的周期里，可以免單4.5周，計費的學(xué)習(xí)日不超過15.5×5≈78天，周末加國假不超過15個，約為需付費不超過：78×4+15×4=372(元)；

若用D公司的車，約需付費：

綜上所述，選用D公司的車最省錢，也就是最劃算.另外，如此高頻地用自行車，建議購置一輛普通自行車可以進一步降低騎行成本.

二、馬爾薩斯是十八世紀知名的人口學(xué)家，1798年在論文《關(guān)于人口學(xué)原理》( Essay on the Principle of Population)中闡述了這樣的觀點：“如果一個國家的人口以幾何級數(shù)無限制地增長，很快就會有幾百萬人因缺乏食物而無法生活”．文中又說：“假設(shè)人口數(shù)每25年翻一番，而且農(nóng)產(chǎn)品在第一個25年翻倍，隨后就以算術(shù)級數(shù)連續(xù)增加．經(jīng)過一百年，人口數(shù)就會增加到11200萬．但是生活保障條件僅僅能夠維持3500萬人的生活，這時將有7700萬人完全沒有生活來源．這是一個非常令人震驚的局面”.

對于“人口數(shù)每25年翻一番”這個假設(shè)，四十七年后，比利時學(xué)者威爾霍斯特于1845年使用美國1790年至1840年這五十年的人口普查數(shù)據(jù)(見表1)進行了驗證.后來美國數(shù)學(xué)家佩爾等人于1920年又繼續(xù)給出了其后從1850年至1910年這六十年的人口普查數(shù)據(jù)(見表2)．

表1　美國1790年至1840年的人口普查數(shù)據(jù)

表2　美國1850年至1910年的人口普查數(shù)據(jù)

請你根據(jù)這兩個表，用簡單的計算檢驗一下這120年間，馬爾薩斯關(guān)于人口數(shù)25年翻一倍的假設(shè)是否正確.

解數(shù)據(jù)全部是每隔十年有一個觀測值，要驗證25年人口數(shù)是否翻一倍，就需要有間隔為五年的數(shù)據(jù)．為此我們在每相鄰的兩個觀測值之間插入這兩個觀測值的平均數(shù)作為這個期間第五年的人口數(shù)，于是就得到下表所列的數(shù)據(jù)．表中第三列給出了各年在25年后人口數(shù)的增長率，如表中第三列中的第一個數(shù)1.15就是從1790年到1815年人口數(shù)的增長率，1.15 = 8438982÷3929827-1．由此可見，在1875年之前美國人口的25年增長率在1.05左右，可以認為每25年翻一倍．馬爾薩斯的假設(shè)是成立的．但是在1875年以后隨著人口數(shù)的增長，人口數(shù)的增長率在不斷地降低，到1900年以后人口的25年增長率已經(jīng)低于0.7，馬爾薩斯關(guān)于25年人口翻倍的假設(shè)就不再成立了.

三、現(xiàn)有一種報警器，經(jīng)測試，當災(zāi)難來臨時它報警的概率是0.9999,當沒有發(fā)生災(zāi)難時它不報警的概率是0.998.

使用這種報警器，可能會產(chǎn)生兩種錯誤：一是因災(zāi)難來臨時它沒有報警，導(dǎo)致發(fā)生了災(zāi)難沒有搶救，二是因沒有發(fā)生災(zāi)難它報警，導(dǎo)致無謂地采取了搶救措施．這兩種錯誤都會造成損失．不難看出，若只有一個報警器，發(fā)生這兩種錯誤的概率分別是0.0001和0.002.

由于無法改善報警器的質(zhì)量，為了降低這兩種錯誤發(fā)生的概率，人們試圖采取安裝多個報警器的辦法.

(1)如果安裝兩個報警器，可以有兩種搶救方案：一種是只要有報警器報警就采取搶救措施；另一種是只有當兩個報警器同時報警時，才采取搶救措施．請說明，無論哪一種方案都無法同時降低兩種錯誤發(fā)生的概率.

(2)如果安裝三個報警器，能否設(shè)計一種方案，使得兩種錯誤發(fā)生的概率都會降低．如果能，請給出具體的設(shè)計；如果不能，請說明道理.

解(1)對于方案1，只要有報警器報警就采取搶救措施．即只有兩個報警器都不報警，才不會去搶救.

當災(zāi)難發(fā)生時，兩個報警器都不報警的概率是0.00012<0.0001．也就是說，發(fā)生災(zāi)難不能及時搶救的概率降低了，比原來只有一個報警器時要好.

當災(zāi)難不發(fā)生時，兩個報警器都不報警的概率是0.9982，則此時至少有一個報警器報警的概率是1-0.9982>1-0.998=0.002，因此，此時去搶救的概率大于0.002．也就是說，不發(fā)生災(zāi)難時，卻出去搶救的概率增大了，不如原來只有一個報警器時好.

對于方案2，只有當兩個報警器同時報警時才采取搶救措施.

當災(zāi)難發(fā)生時，兩個報警器都報警的概率是0.99992<0.9999．也就是說，發(fā)生災(zāi)難去搶救的概率降低了，不如原來只有一個報警器時好.

當災(zāi)難不發(fā)生時，兩個報警器都報警的概率0.0022<0.002．也就是說，不發(fā)生災(zāi)難而去搶救的概率，比原來只有一個報警器時低了.

(2)分別討論不同的方案.

第一個方案：3個報警器都報警才采取搶救措施.

此時，當災(zāi)難發(fā)生時，3個報警器都報警的概率是0.99993<0.9999．即發(fā)生災(zāi)難去搶救的概率不如一個報警器時好.

第二個方案：3個報警器中，只要有一個報警器報警就采取搶救措施.

此時，當災(zāi)難不發(fā)生時，只有在3個報警器都不報警時，才不會去搶救．由于3個報警器都不報警的概率是0.9983，因此，災(zāi)難不發(fā)生而去搶救的概率是1-0.9983>1-0.998=0.002，不如一個報警器時好.

第三個方案：3個報警器中，不止一個報警器報警時才采取搶救措施.

當災(zāi)難發(fā)生時，如果3個報警器都不報警或其中只有一個報警時，才不會采取搶救措施．這些事件發(fā)生的概率是0.00013+3×0.9999×0.00012<0.0001．換句話說，災(zāi)難發(fā)生時，沒采取搶救措施的概率比原來只有一個報警器的情況要小.

當災(zāi)難不發(fā)生時，不止一個報警器報警，會采取搶救措施．這些事件發(fā)生的概率是0.0023+3×0.998×0.0022<0.002．換句話說，當災(zāi)難不發(fā)生時，采取搶救措施的概率比原來只有一個報警器的情況要小.

這表明，采取第三個方案會比只用一個報警器要好.

四、我國北方的很多城市街道交織成格，行人和車輛沿網(wǎng)格線行走，城市街道的抽象涵義是直角坐標系內(nèi)平行于兩條數(shù)軸的條條直線．于是，我們定義城市內(nèi)街道上兩點P(x1,y1)、Q(x2,y2)之間的距離為dPQ=|x2-x1|+|y2-y1|．并稱之為曼哈頓距離(簡稱為曼距)．dPQ是P、Q之間所有連線(網(wǎng)格線)長度的最小值.

在城市里有一個地區(qū)，其中的相鄰道路恰可近似地用過直角坐標系內(nèi)格點(坐標為整數(shù)的點)的平行線表示，如圖1.

圖1

(1)求到點O(0, 0)的曼距為5的點構(gòu)成的圖形.

(2)該地區(qū)內(nèi)有兩個火警高危點A(-3, -2)和B(2, 2)，為了這兩處的安全，預(yù)在某個格點位置設(shè)立一個消防站(格點位置四通八達)，問：這個消防站設(shè)在哪兒好？

解(1)設(shè)點P(x,y)滿足dPO=|x-0|+|y-0|=5，由于城市道路上的點P(x,y)中的x和y至少一個是整數(shù)，所以當|x|+|y|=5時，x和y均是整數(shù)，即P(x,y)為格點．窮舉可得P點的集合為{(0, -5)，(1, -4)，(2, -3)，(3, -2)，(4, -1)，(5, 0)，(4, 1)，(3, 2)，(2, 3)，(1, 4)，(0, 5)，(-1, 4)，(-2, 3)，(-3, 2)，(-4, 1)，(-5, 0)，(-4, -1)，(-3, -2)，(-2, -3)，(-1, -4)) }，對應(yīng)的圖形是頂點為(0, -5)、(5, 0)、(0, 5)、(-5, 0)的正方形上的所有格點.

(2)按照常識，消防隊離火警高危地點越近越好，但一個消防站要兼顧A、B兩點，可以認為好的消防站位置是指：消防站到A、B兩點的曼距之和最小，在此基礎(chǔ)上，消防站與A、B兩點的曼距之差盡量地小.

由曼距的定義，A(-3, -2)和B(2, 2)兩點之間的曼距

dAB=|2-(-3)|+|2-(-2)|=9，

圖2

將消防站的位置記作M，于是dMA+dMB≥9．以A、B為對角的矩形上及矩形內(nèi)的任意格點為M，都有dMA+dMB=9，如圖2．這個矩形外的任一格點P都是dPA+dPB>9.

基于消防站與A、B兩點的曼距之差盡量地小，于是在以A、B為對角的矩形上及矩形內(nèi)考慮|dMA-dMB|=1，得到滿足要求的點是(-3, 2)，(-2, 1)，(-1, 0)，(0, -1)，(1, -2)，(-2, 2)，(-1, 1)，(0, 0)，(1, -1)，(2, -2)，這10個位置可以作為消防站的選址.

五、根據(jù)中國汽車保值率研究委員會發(fā)布的《2017中國汽車保值率報告》，緊湊型SUV保值率排行榜如下表：

車齡排名1年2年3年4年5年品牌保值率品牌保值率品牌保值率品牌保值率品牌保值率第1名途觀76.98%途觀69.94%途觀63.80%途觀59.29%途觀54.08%第2名奇駿75.16%奇駿69.41%CR-V思威63.28%豐田RAV458.01%奇駿52.17%第3名豐田RAV474.98%CR-V思威68.99%野帝62.48%奇駿57.58%CR-V思威50.56%第4名CR-V思威74.93%途勝68.05%奇駿62.36%CR-V思威57.01%豐田RAV450.45%第5名奧迪Q373.99%豐田RAV467.54%豐田RAV462.14%途勝56.39%翼虎49.35%第6名途勝73.95%現(xiàn)代ix3567.48%途勝62.14%翼虎55.13%奧迪Q348.98%第7名現(xiàn)代ix3573.82%野帝67.27%翼虎61.27%奧迪Q354.76%域勝00748.33%第8名翼虎73.56%翼虎67.21%現(xiàn)代ix3560.30%野帝54.75%途勝48.24%第9名野帝73.48%奧迪Q367.15%域勝00760.02%域勝00754.29%寶馬X146.84%第10名獅跑73.24%獅跑65.91%奧迪Q359.77%北京4054.12%奔騰X80 46.61%

汽車保值率是指某款車型在使用一段時期后，將其賣出的價格與先前購買價格的比值.由表可見，汽車保值率排名是隨車齡的變化而變化的．一般來講，保值率是購車者的一項參考指標．請你綜合上表數(shù)據(jù)，給出適當假設(shè)、排名原則和計算方法，為購車人列出僅考慮保值率指標下的前5名汽車品牌.

解1．假設(shè)

(1)購車人大概在購車后的5至10年間將這輛車再賣掉；

(2)上表呈現(xiàn)的品牌汽車保值率的變化規(guī)律均在五年后適用.

2．排名原則

(1)在上表中，從未出現(xiàn)在前5名的品牌不在考慮之列；

(2)雖然每輛車的保值率逐年下降，但保值率的變化幅度是不同的，在原則(1)的前提下，保值率整體變化幅度小的品牌汽車排在前面.

3．具體排名計算如下

1°按照排名原則(1)，參加排名的汽車是：途觀、奇駿、豐田、CR-V思威、奧迪Q3、途勝、翼虎、野帝，共8種品牌車.

2°計算上述8種品牌汽車中每種車5年內(nèi)保值率的整體變化幅度．具體算法是：

先計算出汽車每年保值率的下降值，再計算出每一年比上一年汽車保值率降幅的變化(即保值率下降值的差，稱為降幅)，最后求5年的降幅之和．這個和就是5年內(nèi)保值率的整體變化幅度.

由于野帝汽車在第5年已經(jīng)不在前十名，沒有數(shù)據(jù)，設(shè)其第5年的保值率為46.5%(稍小于第10名).

上述每一步的計算結(jié)果用下表列出．

車齡途觀奇駿豐田CR-V思威排名年降值降幅排名年降值降幅排名年降值降幅排名年降值降幅一123.0%23.0224.84%24.84325.02%25.02425.07%25.07二17.32%-15.6825.75%-19.0957.44%-17.5835.94%-19.16三15.84%-1.4847.05%1.355.4%-2.0425.71%-0.23四14.51%-1.3334.73%-2.3224.13%-1.2446.24%0.53五14.49%-0.0225.41%0.6847.56%3.4336.45%0.21降幅之和4.495.417.596.42車齡奧迪Q3途勝翼虎野帝排名年降值降幅排名年降值降幅排名年降值降幅排名年降值降幅一526.01%26.01626.05%26.05826.44%26.44926.52%26.52二96.84%-19.1745.9%-20.1586.35%-20.0976.21%-20.31三108.38%1.5465.91%0.0175.94%-0.4134.79%-1.42四75.01%-3.3755.75%-0.1666.14%0.287.73%2.94五65.78%0.7788.15%2.455.78%-0.36無8.25%0.52降幅之和5.788.155.788.25

3° 根據(jù)假設(shè)(2)，將每種品牌車在5年內(nèi)保值率的整體變化幅度當作購車后的5至10年間該車的保值率的整體變化幅度．于是得到汽車保值率名次由1至5的順序是：途觀、奇駿、奧迪Q3、翼虎、CR-V思威．