中學(xué)數(shù)學(xué)“用頻率估計概率”問題及設(shè)計建議

李紅云　朱文芳　伍春蘭　張淑梅

(1.北京師范大學(xué)　100875；2. 北京教育學(xué)院　100120)

1　問題提出

用頻率估計概率是中學(xué)統(tǒng)計與概率的重要內(nèi)容之一，對頻率與概率關(guān)系的認識是理解概率意義、體會隨機性的重要載體，是理解統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ). 然而通過對一些中學(xué)數(shù)學(xué)教師進行訪談、學(xué)生調(diào)查及我們聽過很多頻率估計概率的課，發(fā)現(xiàn)存在一些問題：①不做隨機試驗:由于考試評價或教師自身對頻率穩(wěn)定性并不理解等原因，實際教學(xué)中并不講這個內(nèi)容，以投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣為例，當(dāng)出現(xiàn)正面向上次數(shù)不等于背面向上次數(shù)時，教師往往不知如何向?qū)W生解釋；②試驗設(shè)計引起誤解：在教學(xué)這個內(nèi)容時，通過隨機試驗：一列不斷增加的試驗次數(shù)所對應(yīng)頻率的“規(guī)律性”，并直接用教材中的總結(jié)語言“隨著試驗次數(shù)的增加，頻率總是或都在一個常數(shù)附近擺動，即頻率具有穩(wěn)定性”來解釋，往往容易導(dǎo)致學(xué)生的誤解：頻率穩(wěn)定到一個常數(shù)是確定的事情. 這也與我們對學(xué)生調(diào)查的結(jié)果一致：硬幣正面向上次數(shù)為43，背面向上次數(shù)為37時，很多學(xué)生都認為正面向上、背面向上可能性不同；③初高中隨機試驗發(fā)展：初、高中都有用頻率估計概率，兩個學(xué)段的側(cè)重點是什么？發(fā)展點是什么？也是一線教師存在困惑的地方.

那么如何理解頻率穩(wěn)定性？設(shè)計什么試驗活動能讓學(xué)生體會隨機性、頻率的穩(wěn)定性？初、高中兩個學(xué)段的側(cè)重點和發(fā)展點是什么呢？綜合上述分析和思考，中學(xué)階段“用頻率估計概率”活動設(shè)計中，既要考慮學(xué)科性，又要兼顧兩個學(xué)段的銜接發(fā)展問題. 從這兩點出發(fā)，我們嘗試給出兩個學(xué)段活動的改進設(shè)計，并分析如何能夠?qū)崿F(xiàn)其教學(xué)目標(biāo).

2　頻率穩(wěn)定性的學(xué)科解釋

大量關(guān)于隨機事件的觀察和實踐表明[1]，隨機事件有偶然性的一面，也有必然性的一面. 必然性表現(xiàn)為在大量重復(fù)試驗中隨機事件出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定性，即一個隨機事件出現(xiàn)的頻率常在某個固定的常數(shù)附近擺動，頻率的穩(wěn)定性說明隨機事件發(fā)生的可能性大小是隨機事件本身固有的、不隨人的意志改變的一種客觀屬性，可以對其進行度量. 當(dāng)進行大量重復(fù)試驗時，可以用頻率作為該隨機事件概率的近似值，經(jīng)常稱之為概率的統(tǒng)計定義. 這里的頻率穩(wěn)定性是直觀的說法，其嚴格的數(shù)學(xué)定義是用大數(shù)定律[2]來描述的：

設(shè)μn是n重貝努里試驗*一般的，如果隨機試驗只有兩個結(jié)果A和非A，把這個試驗重復(fù)進行n次構(gòu)成一個試驗，稱做n重貝努里試驗.中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p(00，有

這里體現(xiàn)了偶然性和必然性的統(tǒng)一：必然性或穩(wěn)定性是通過極限進行刻畫的，與數(shù)學(xué)的極限不同，極限的對象是事件的概率序列. 而如(**)式則表達的則是數(shù)學(xué)的極限：即隨著試驗次數(shù)的增加，頻率的極限為概率p，顯然是不對的. 事實上即使試驗次數(shù)非常大，頻率值仍然有可能和p相差很大.

3　用頻率估計概率改進活動設(shè)計*為了更直觀說明，活動設(shè)計中使用了隨機模擬的數(shù)據(jù).

義務(wù)教育階段[3]要求“知道通過大量重復(fù)試驗，可以用頻率估計概率”，高中階段要求[4]“結(jié)合實例，會用頻率估計概率；加深對隨機現(xiàn)象的認識和理解. ”基于課程標(biāo)準(zhǔn)的要求及教學(xué)實踐中出現(xiàn)的問題，我們給出中學(xué)階段用頻率估計概率兩個核心點的改進活動設(shè)計：一是試驗隨機性，二是大量重復(fù)試驗下頻率的穩(wěn)定性，活動設(shè)計既體現(xiàn)頻率穩(wěn)定性的學(xué)科理解，又考慮兩個學(xué)段的銜接.

3.1　試驗隨機性活動設(shè)計

(1)試驗隨機性初中活動設(shè)計

以拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣為載體，進行改進活動的設(shè)計.

在平整桌面上，全班分成10組進行拋擲硬幣試驗：盡量保持相同條件拋擲一枚硬幣10次，并記錄下“正面向上”的次數(shù)與頻率；將全班所有組的結(jié)果進行匯總，填入表1.

表1

問題1比較10個小組得到的“正面向上”試驗結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么？

問題2試驗次數(shù)增加，結(jié)果會怎么樣呢？

活動分析問題1通過比較10個小組的試驗結(jié)果，體會相同條件下做同一隨機試驗，每組結(jié)果不一定相同；試驗結(jié)果不一定等于理論值0.5，只有三個組正面向上的頻率等于0.5；盡管10個小組得到的結(jié)果可能不同，但能從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，如所有頻率都圍繞0.5上下波動. 問題2在繼續(xù)做試驗之前提出猜想“隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會更加接近理論值0.5”，這也正是上文中提到的數(shù)學(xué)化的理解，事實上這只是一個隨機事件，帶著猜想進入下一步的試驗進行檢驗.

(2)試驗隨機性高中活動設(shè)計

高中階段建議使用信息技術(shù)進行模擬實驗，我們使用Excel進行拋擲硬幣模擬試驗：拋擲一枚硬幣40次，記錄下“正面向上”的次數(shù)與頻率；重復(fù)進行30組(表2)，并用散點圖直觀呈現(xiàn)(圖1).

表2

圖1

問題1比較30組“正面向上”試驗結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么？

問題2根據(jù)這30組試驗結(jié)果判斷“正面向上”的概率是否為0.5？

活動分析問題1通過比較30組的試驗結(jié)果，體會相同條件下做隨機試驗，每組結(jié)果不一定相同；30組正面向上頻率只有4組恰好等于0.5，也有可能和0.5相差很遠，如第29次為0.28；盡管30組得到的結(jié)果可能不同，但能從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律：所有頻率都圍繞0.5上下波動，很多頻率值和理論值0.5很接近. 問題2從數(shù)據(jù)推斷的角度提出問題，以多個角度對這組數(shù)據(jù)進行分析并做出判斷，初步體會并不一定頻率正好等于0.5才能給出“正面向上”的概率是0.5，豐富對試驗隨機性的認識.

3.2　頻率穩(wěn)定性活動設(shè)計

(1)頻率穩(wěn)定性初中活動設(shè)計

分10組做40次擲硬幣的試驗，并將試驗前10次、前20次、前30次、總40次的數(shù)據(jù)記錄在表3.

表3

整理每個小組的試驗結(jié)果，并將試驗數(shù)據(jù)匯總填入表4—7：

表4

表5

表6

表7

為了更直觀觀察，將表4—7的數(shù)據(jù)用散點圖表示(圖2—5).

圖2

圖3

圖4

圖5

問題1在同一小組的試驗中，觀察 “正面向上”的頻率(表3)隨試驗次數(shù)增加有何變化？

問題2觀察不同小組在相同試驗次數(shù)下

“正面向上”的頻率(表4-7)，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

問題3在圖2-5中，觀察不同試驗次數(shù)下 “正面向上”頻率的波動性，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

活動分析問題1指向頻率不確定性及穩(wěn)定性初步體會：認識到隨著試驗次數(shù)增加，頻率不一定更接近于理論值0.5，如第1組四個結(jié)果：0.7、0.5、0.57、0.58，初步體會頻率與概率的區(qū)別；問題2進一步體會試驗的隨機性，依次觀察四個不同試驗次數(shù)下10組結(jié)果，試驗次數(shù)相同時正面向上的頻率不一定相同；問題3體會頻率穩(wěn)定性：將不同試驗次數(shù)下“頻率的波動性”作為觀察對象，分別觀察試驗次數(shù)為10、20、30和40的頻率波動大小(圖2-5)：隨著試驗次數(shù)的增加，直觀感受頻率的波動性越來越小.進一步從定量角度刻畫頻率的波動性，可計算四個不同實驗次數(shù)下10組結(jié)果與理論值0.5的平均絕對距離進行比較，分別為0.09、0.06、0.036、0.049，由直觀感受到量化分析.

活動設(shè)計與給出一列增加的試驗次數(shù)下頻率規(guī)律變化是不同的，以上述數(shù)據(jù)為例，將所有組40次試驗次數(shù)的結(jié)果累計并用折線圖表示出來. 一列增加的試驗次數(shù)下頻率的變化趨勢，即使教師在教學(xué)過程中并沒有使用語言“一定”、“必然”等，給學(xué)生的直觀印象仍然是隨著試驗次數(shù)增加，頻率穩(wěn)定于概率是必然的(表8、圖6).

表8

圖6

(2)頻率穩(wěn)定性高中活動設(shè)計

高中階段頻率穩(wěn)定性的體會，我們設(shè)計了兩個層次的活動：活動1是將“40次拋硬幣”的組數(shù)增加，初步體會將“40次拋硬幣”作為研究對象，當(dāng)組數(shù)增多時更有“規(guī)律”；活動2是延續(xù)初中隨機試驗，從研究工具進行發(fā)展，特別是使用分布直方圖進行數(shù)據(jù)分析.

活動1觀察多組隨機試驗的頻率穩(wěn)定性

問題1根據(jù)這30組試驗結(jié)果得到的頻率，硬幣正面向上、背面向上的可能性一樣大嗎？

問題2如果再增加組數(shù)，隨機試驗頻率結(jié)果會有什么變化和規(guī)律？

活動分析高中階段將在初中階段基礎(chǔ)上，將同一隨機試驗下隨機事件發(fā)生的頻率作為觀測數(shù)據(jù)，并通過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)頻率的取值規(guī)律，這是一個重要的發(fā)展點．高中生已經(jīng)掌握了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差等統(tǒng)計量，并可以用頻率分布直方圖表示數(shù)據(jù)，所以可以利用這些知識對同一隨機試驗下隨機事件發(fā)生的頻率進行分析，這是研究工具的發(fā)展. 問題1可以利用多種統(tǒng)計方法分析數(shù)據(jù)，體會頻率的特征：比如這組數(shù)據(jù)平均數(shù)為0.49、中位數(shù)為0.515等、從頻率分布直方圖*直方圖分組以0.5為中心，這里選擇了0.06作為組距．(圖7)可以看到大部分數(shù)據(jù)集中在[0.47,0.53)、數(shù)據(jù)分布不太對稱等.問題2在更多組數(shù)據(jù)下，體會“頻率”分布的相對穩(wěn)定性，這里給出60組隨機試驗次數(shù)為40的頻率分布直方圖(圖8)，比較圖7和圖8發(fā)現(xiàn)：試驗組增多時數(shù)據(jù)分布更加對稱，更多數(shù)據(jù)集中在理論值0.5附近.

圖7

圖8

活動2觀察不同試驗次數(shù)下頻率的穩(wěn)定性

問題組數(shù)不變，試驗次數(shù)增加，分析頻率的取值規(guī)律，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

活動分析初中階段主要通過直觀方式初步認識頻率的穩(wěn)定性，高中階段將在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用初中學(xué)習(xí)過的數(shù)據(jù)整理和分析的方法進一步從定量、數(shù)據(jù)分布角度理解頻率的穩(wěn)定性，特別是從頻率分布角度整體分析數(shù)據(jù). 問題1是在活動1分析“同一隨機試驗下隨機事件發(fā)生的頻率”這組數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上比較不同試驗次數(shù)的兩組數(shù)據(jù)，可以從集中趨勢、離散程度等角度定量比較兩組頻率數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性；也利用直方圖整體認識穩(wěn)定性，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生體會統(tǒng)計推斷的可靠性.這里給出30組試驗次數(shù)為60的頻率分布直方圖(圖9)，為方便比較，與圖7縱坐標(biāo)、分組情況是一致的.可以看出隨著試驗次數(shù)的增加，分布更加對稱和集中，偏離0.5的值較少；以(0.5-0.09，0.5+0.09)為標(biāo)準(zhǔn)，試驗次數(shù)為40和60落入該區(qū)間的比例分別為76.67%、93.33%，可以看出當(dāng)試驗次數(shù)為60時落在該區(qū)間的比例明顯大于試驗次數(shù)為40的，然而，落入?yún)^(qū)間(0.5-0.03，0.5+0.03)的比例則分別有43.33%、36.67%，試驗次數(shù)為40次時落入這個區(qū)間的比例反而更大，原因是這是一次樣本的結(jié)果，具有偶然性，教學(xué)中建議多進行幾次試驗，觀察其規(guī)律．這樣就將頻率穩(wěn)定性由初中的直觀認識過渡到定量刻畫,在此基礎(chǔ)

圖9

上理解大量重復(fù)試驗下頻率估計概率的合理性與可靠性.

4　小結(jié)及進一步思考

用頻率估計概率是中學(xué)統(tǒng)計與概率重要內(nèi)容之一，很多一線教師對初中、高中兩個階段該內(nèi)容的銜接和發(fā)展并不清楚，僅通過一列隨著試驗次數(shù)增加感受頻率穩(wěn)定性的活動設(shè)計不利于培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計思維.

我們從統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析角度解釋了大量重復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定性的含義，并對初中、高中頻率與概率關(guān)系的關(guān)鍵活動進行了系列設(shè)計，核心觀點一是體會試驗結(jié)果的隨機性，通過比較相同試驗次數(shù)下的重復(fù)試驗結(jié)果體會隨機性；核心觀點二是通過活動讓學(xué)生理解頻率的穩(wěn)定性，進而理解用頻率估計概率的合理性和可靠性；核心觀點三是高中階段的關(guān)鍵發(fā)展是研究工具的發(fā)展，特別是使用頻率分布直方圖進行分析，由初中階段直觀感受頻率穩(wěn)定性到高中階段從定量角度刻畫，進而理解大量重復(fù)試驗下頻率估計概率的合理性與可靠性.

進一步，除了內(nèi)容理解、研究工具之外，根據(jù)學(xué)生發(fā)展水平，我們建議在高中階段讓學(xué)生參與到問題提出、試驗活動方案設(shè)計、提出猜想、驗證的全過程. 本文所給出的活動設(shè)計能否克服學(xué)生對頻率穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)化、確定性理解，初中、高中階段定位及銜接是否合理，高中階段學(xué)生能否實現(xiàn)對研究對象的多角度認識等，都需要進行學(xué)生研究和教學(xué)實踐的檢驗.