以小學(xué)圖形與幾何教學(xué)為例，淺談滲透數(shù)學(xué)思想方法的策略

馮倩如

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》提出了“數(shù)學(xué)為其他科學(xué)提供了語言、思想和方法”的基本理念，首次關(guān)注了數(shù)學(xué)思想和方法。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）明確提出的“四基”理念和目標(biāo)，在原來“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能”的基礎(chǔ)上，增加了基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，打破了原來只提出“雙基”的數(shù)學(xué)教學(xué)理論體系，由“雙基”擴(kuò)充到“四基”。數(shù)學(xué)基本思想是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的精髓，非常值得廣大教師的重視。本文所分享的是筆者近幾年在圖形與幾何教學(xué)中基于滲透數(shù)學(xué)思想方法、致力于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思考所提出的幾點(diǎn)策略，案例都是親身實(shí)踐的，具有可行性、可操作性。

【關(guān)鍵詞】圖形與幾何；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

圖形與幾何是數(shù)學(xué)四大課程內(nèi)容之一，以發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力為核心而展開的。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)方法以及數(shù)學(xué)作用的本質(zhì)的、理性的、普遍性的認(rèn)識(shí)，是建立數(shù)學(xué)、發(fā)展數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想，是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的核心和精髓。數(shù)學(xué)思想方法是在數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)下用數(shù)學(xué)解決問題時(shí)的方法和手段，是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的反映。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的，具有綜合性、整體性和持久性。所以，數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著密切的關(guān)系。

一直以來，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)非常重視基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和基本技能的形成，但較多學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)“學(xué)一題會(huì)一題”的現(xiàn)象，不能舉一反三，根本原因是未能掌握數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法有助于學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知、有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和思維品質(zhì)。所以，教師在教學(xué)中不但要繼承注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的傳統(tǒng)，更要重視滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。下面以圖形與幾何的教學(xué)為例，淺談滲透數(shù)學(xué)思想方法的幾點(diǎn)策略。

一、在知識(shí)形成的過程中體驗(yàn)

1.經(jīng)歷探究活動(dòng)過程，讓數(shù)學(xué)思想方法“顯現(xiàn)”。

發(fā)現(xiàn)教學(xué)論認(rèn)為，發(fā)現(xiàn)是人的基本沖動(dòng)。弗賴登塔爾指出數(shù)學(xué)教育的主要特征之一是再創(chuàng)造。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的探究環(huán)節(jié)就是實(shí)現(xiàn)再創(chuàng)造的重要環(huán)節(jié)。而數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生、發(fā)展的根本，是探索研究數(shù)學(xué)所依賴的基礎(chǔ)。所以，在探究活動(dòng)過程中引領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想的重要途徑。

從廣義上講，數(shù)學(xué)概念、定理、規(guī)律、法則、公式等，就是數(shù)學(xué)模型。學(xué)生在探究新知、構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，就是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程。所以，模型思想作為數(shù)學(xué)三個(gè)基本思想之一，地位非常高?！稑?biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出“模型思想的建立是幫助學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！睂?duì)于小學(xué)生來講，雖然模型思想較抽象，但只要教師精心設(shè)計(jì)，在第一學(xué)段“潤(rùn)物無聲”，第二學(xué)段就可以適時(shí)“顯現(xiàn)”。

例如學(xué)習(xí)《角的分類》時(shí)，四年級(jí)學(xué)生步入了經(jīng)驗(yàn)幾何的階段，即初步形成了“形”的意識(shí)，并嘗試做一些簡(jiǎn)單的“度量”，同時(shí)開始對(duì)幾何“結(jié)構(gòu)”關(guān)系的探索活動(dòng)。此時(shí)教師運(yùn)用開放型教學(xué)的理念，通過讓學(xué)生慢慢地旋轉(zhuǎn)活動(dòng)角的一條邊，尋找大小不同的角，觀察、度量它們的大小，并給它們分類。學(xué)生不但找到各類角，還找到了課本沒有提及的優(yōu)角，洋溢著成功的喜悅。這過程學(xué)生就像數(shù)學(xué)家建模那樣經(jīng)歷了再創(chuàng)造過程，滲透了模型思想，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。

數(shù)學(xué)證明是一種特定的學(xué)習(xí)活動(dòng)，要求學(xué)生理解概念定義及其中的邏輯過程。皮亞杰對(duì)學(xué)生的判斷和證明概念的水平進(jìn)行了分析，五年級(jí)學(xué)生正處于水平2的階段，即學(xué)生不僅能根據(jù)經(jīng)驗(yàn)結(jié)果做出預(yù)測(cè)，而且開始設(shè)法判斷自己的預(yù)測(cè)。讓五年級(jí)學(xué)生初步嘗試數(shù)學(xué)證明，有利于中小銜接，提高學(xué)生的幾何思維水平。

如題：下圖ABCD是一個(gè)梯形，對(duì)角線相交于O，請(qǐng)比較圖中S1和S2的面積大小，并說明理由。

因?yàn)镾ACD=SBCD （等底等高）

SACD- SCOD=SBCD-SCOD（恒等的性質(zhì)）

所以S1=S2

多數(shù)學(xué)生會(huì)猜測(cè)兩部分面積相等，通過討論探究，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)“等底等高的三角形面積相等”和“方程的恒等的性質(zhì)”解決問題，也就是利用基本模型去解決問題，體驗(yàn)了模型思想。

2.通過結(jié)語和板書，讓數(shù)學(xué)思想方法“留痕”。

科學(xué)、精簡(jiǎn)的結(jié)語能起畫龍點(diǎn)睛的作用，教師的結(jié)語應(yīng)包含數(shù)學(xué)思想方法方面。板書濃縮了教學(xué)內(nèi)容，突出重難點(diǎn)，使知識(shí)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)化。通過結(jié)語和板書強(qiáng)化，能讓數(shù)學(xué)思想方法“留痕”，學(xué)生的印象深刻。

平面圖形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，要用轉(zhuǎn)化思想和變中有不變思想。轉(zhuǎn)化思想是小學(xué)階段最常用的數(shù)學(xué)思想方法，它在已有的、簡(jiǎn)單的、具體的、基本的知識(shí)基礎(chǔ)上，把未知化為已知、把復(fù)雜化為簡(jiǎn)單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規(guī)化為常規(guī)，從而解決問題。變中有不變思想是面對(duì)千變?nèi)f化的對(duì)象時(shí)，在變化中找到不變的性質(zhì)和規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。在五年級(jí)上冊(cè)《多邊形的面積》單元探究平行四邊形、三角形、梯形面積計(jì)算公式的過程中，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思想和變中有不變思想，培養(yǎng)學(xué)生推理能力。

《平行四邊形的面積》作為起始課，在探究活動(dòng)后，通過結(jié)語“把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，轉(zhuǎn)化后平行四邊形的形變了、但面積不變；長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于平行四邊形的底，長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于平行四邊形的高；因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，所以平行四邊形的面積等于底乘高?！焙桶鍟ㄈ缦聢D）強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法。

在后面的《三角形的面積》和《梯形的面積》課，學(xué)生能自主想到轉(zhuǎn)化思想，探索把三角形、梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形的不同方法，并逐步獨(dú)立進(jìn)行演繹推理得到三角形、梯形的面積計(jì)算公式。結(jié)語和板書也類似《平行四邊形的面積》一課，讓數(shù)學(xué)思想方法“留痕”，學(xué)生留下深刻的印象。

二、在知識(shí)應(yīng)用的過程中認(rèn)同

課堂教學(xué)中的鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)是鞏固完善的階段，學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問題，得以對(duì)知識(shí)進(jìn)一步的理解，形成相對(duì)穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這個(gè)過程再次讓學(xué)生體會(huì)并應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法得以認(rèn)同。

1.設(shè)計(jì)專項(xiàng)練習(xí)，凸顯數(shù)學(xué)思想方法的優(yōu)勢(shì)。

針對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)思想方法設(shè)計(jì)針對(duì)性練習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)有或無運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的差異，凸顯數(shù)學(xué)思想方法的優(yōu)勢(shì)。

如題：下圖是一個(gè)平行四邊形大草坪，底邊長(zhǎng)200米，高120米，要給它鋪草皮（中間有一條寬2米的小路不鋪），一共要多少平方米的草皮？

此練習(xí)是針對(duì)運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決問題而設(shè)計(jì)的，多數(shù)學(xué)生會(huì)先想到這是一個(gè)組合圖形，想把兩個(gè)梯形的面積加起來，但題中條件不足以分別求出兩個(gè)梯形的面積，迫使學(xué)生另辟途徑。運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平行四邊形，鋪草皮部分還是平行四邊形，只是比原來平行四邊形大草坪的長(zhǎng)減少了2米，高不變，問題順利解決。也有部分學(xué)生假設(shè)兩梯形上下底分別是幾，再計(jì)算面積，與運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決問題對(duì)比，也凸顯了運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決問題的優(yōu)勢(shì)。

數(shù)形結(jié)合思想也是小學(xué)生在解決圖形與幾何問題時(shí)常用的，它是通過數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題，可以使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、使繁難的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)潔化，能培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)。

如題：如平行四邊形和三角形等面積等底，請(qǐng)比較它們的高。

“特例研究發(fā)現(xiàn)法”是經(jīng)驗(yàn)幾何的階段的重要方法，通過幾個(gè)特殊例子歸納，推理得到規(guī)律，在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，培養(yǎng)合情推理的能力。先讓學(xué)生通過具體幾個(gè)例子進(jìn)行計(jì)算，再分析、比較已知條件和結(jié)果，發(fā)現(xiàn)平行四邊形和三角形在等面積等底時(shí)，平行四邊形的高是三角形的一半，或三角形的高是平行四邊形的2倍。然后把這個(gè)結(jié)論進(jìn)行畫圖分析，如下圖：

學(xué)生能直觀地看出三角形沿中位線剪切挪到下面得到一個(gè)平行四邊形，即把三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。視覺上三角形被“壓扁”了，它一定比平行四邊形高。運(yùn)用轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想，加深對(duì)結(jié)論的理解。

題組練習(xí)設(shè)計(jì)能凸顯隱含在數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系及基本結(jié)構(gòu)，突出問題的本質(zhì)，能幫助學(xué)生形成知識(shí)體系，滲透類比思想，培養(yǎng)推理能力。如五年級(jí)上冊(cè)《長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)》一課的鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)題組：

下圖是一個(gè)長(zhǎng)方體的一組長(zhǎng)寬高。

（1）若圖中數(shù)據(jù)的單位是米，那么這個(gè)長(zhǎng)方體可能是（ ）。

（2）若圖中數(shù)據(jù)的單位是分米，那么這個(gè)長(zhǎng)方體可能是（ ）。

（3）若圖中數(shù)據(jù)的單位是厘米，那么這個(gè)長(zhǎng)方體可能是（ ），

（4）如做這個(gè)紙盒，請(qǐng)?jiān)谝韵驴堖x擇：（單位：厘米）

前面要用（）號(hào)卡紙，下面要用（）號(hào)卡紙，右面要用（）號(hào)卡紙，上面要用（ ）號(hào)卡紙。

（5）如把第（4）題的長(zhǎng)方體改成一個(gè)正方體，有什么辦法？

（6）如把第（5）題中的其中一個(gè)正方體（棱長(zhǎng)為6厘米）做成紙盒，應(yīng)選擇（ ）號(hào)卡紙，需要（ ）張。

通過比較分析，學(xué)生感悟了長(zhǎng)方體和正方體之間的聯(lián)系，體會(huì)類比思想，幫助學(xué)生建立空間觀念。

2.組織實(shí)踐活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值。

結(jié)合課本知識(shí)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是對(duì)課堂教學(xué)的補(bǔ)充、拓展和延伸，能拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，擴(kuò)大知識(shí)領(lǐng)域，培養(yǎng)學(xué)生的興趣，激發(fā)情感，張揚(yáng)個(gè)性；能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新能力，再次讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值。

《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》建議開發(fā)與利用課程資源，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。其中信息技術(shù)資源能為學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展提供豐富多彩的教育環(huán)境和有力的學(xué)習(xí)工具，為學(xué)生提供探索復(fù)雜問題、多角度理解數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)，豐富學(xué)生的視野，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。確實(shí)，運(yùn)用信息技術(shù)支持學(xué)生開展科學(xué)探究，能有效地突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)。

如六年級(jí)學(xué)習(xí)《圓的面積》后，教師自主研發(fā)、重組教學(xué)材料，基于互聯(lián)網(wǎng)加教育背景下實(shí)施了《圓周率的奧秘》一課，此課以探究教學(xué)理念和翻轉(zhuǎn)課堂理念進(jìn)行設(shè)計(jì)，在課前讓學(xué)生看已學(xué)過的圓的周長(zhǎng)和圓的面積的微課，回憶滲透極限思想；在課中，學(xué)生利用Html5動(dòng)畫（如下圖）對(duì)割圓術(shù)進(jìn)行探究，在短時(shí)間內(nèi)得很多例證，使抽象的極限思想在變化和對(duì)比中形象化、可視化。接著引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“周三徑一”進(jìn)行演繹推理，通過微課突破這一難點(diǎn)，學(xué)生可以根據(jù)自己的實(shí)際進(jìn)行若干次觀看或暫停思考，培養(yǎng)了學(xué)生的演繹推理能力。

通過此活動(dòng)課，學(xué)生對(duì)圓周率有更深的認(rèn)識(shí)，感受把圓切割的份數(shù)越多、越接近圓的周長(zhǎng)、圓周率就越精確，再次體會(huì)極限思想，發(fā)現(xiàn)極限思想的價(jià)值。

又如，四年級(jí)學(xué)習(xí)《土地面積》的課前，讓學(xué)生查位于學(xué)校旁邊公園的占地面積；課中，教師在地圖框出此公園的版圖，并比較公園周邊學(xué)生熟悉的地方，利用學(xué)校、居住的小區(qū)等地框出1公頃和1平方千米的正方形地塊；課后，讓學(xué)生走走課上所研究或自己熟悉的地方，尤其要選擇邊長(zhǎng)是100米的正方形廣場(chǎng)沿著邊長(zhǎng)走一周，觀察、感受這一周所圍著的土地有多大。此活動(dòng)幫助學(xué)生借助熟悉的地方建立“公頃”等土地面積單位的概念，滲透了模型思想，培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念和應(yīng)用意識(shí)。

三、在知識(shí)系統(tǒng)形成的過程中初步深化

歸納整理是重要的學(xué)習(xí)策略，對(duì)已學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)歸類梳理，使零散的知識(shí)系統(tǒng)化、模糊的知識(shí)清晰化。學(xué)生進(jìn)行歸納整理的過程應(yīng)用分類和集合思想，對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行分類，同時(shí)思考知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)體系的關(guān)系，即局部與整體的關(guān)系，為知識(shí)賦予一種邏輯的“序”，這過程可理解為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)新的“模型”，用一定的方式呈現(xiàn)出知識(shí)之間的邏輯層次關(guān)系。所以，在知識(shí)系統(tǒng)形成的過程中，可初步深化模型思想和抽象思想兩大基本思想。

如四年級(jí)《多邊形的認(rèn)識(shí)》單元學(xué)習(xí)后，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸納整理，并用思維導(dǎo)圖表示它們的關(guān)系。如下圖一，采用下位關(guān)系與并列關(guān)系結(jié)合的方式呈現(xiàn)長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形的邏輯層次關(guān)系。如下圖二用集合圈表示。此過程初步深化了模型、抽象思想，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意和創(chuàng)新能力。

生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)知識(shí)、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的過程中處處蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想方法。當(dāng)一個(gè)人遺忘了數(shù)學(xué)知識(shí)，但數(shù)學(xué)思想方法卻永遠(yuǎn)印記在他的思維方法中，使他在分析問題時(shí)善于發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)，抓住事物之間的聯(lián)系，有理有據(jù)地思考問題。所以，小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012

[2]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）.北京：北京師范大學(xué)出版社，2001

[3]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012

[4]王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法.上海：華東師范大學(xué)出版社，2014

[5]李光樹.小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論.北京：人民教育出版社，2014

[6]劉俊.數(shù)學(xué)教學(xué)概論.北京：科學(xué)出版社，2012

[7]盧家楣.學(xué)習(xí)心理與教學(xué).上海：上海教育出版社，2016

[8]李士锜，吳穎康.數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué).上海：華東師范大學(xué)出版社，2011

[9]林永偉，葉立軍.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育.浙江：浙江大學(xué)出版社，2004