教有所思 學(xué)有所想
——轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

廖秀芳

（莆田市秀嶼區(qū)笏石中心小學(xué)，福建 莆田 351146）

轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重要的思維方式之一，它是通過某種策略將待解決的問題經(jīng)過變換，化為可以解決的或比較容易解決的一種方法。每個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決，都是通過轉(zhuǎn)化把未知的新問題變?yōu)橐褜W(xué)的舊問題來實(shí)現(xiàn)的，解決問題的過程，實(shí)質(zhì)是步步轉(zhuǎn)化的過程。運(yùn)用轉(zhuǎn)化可以將陌生的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)為熟悉的問題，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題化為簡單的問題，從而探索出解決問題的新思路。教學(xué)中教師應(yīng)結(jié)合適當(dāng)?shù)奈谋窘滩?，逐步滲透轉(zhuǎn)化的思想方法，使之成為學(xué)生探索新知解決新問題的基本策略。

一、轉(zhuǎn)化思想的三要素及步驟

首先必須明確轉(zhuǎn)化的三個(gè)要素：轉(zhuǎn)化對象、轉(zhuǎn)化目標(biāo)和轉(zhuǎn)化途徑。轉(zhuǎn)化對象是指轉(zhuǎn)化的內(nèi)容；轉(zhuǎn)化目標(biāo)是指轉(zhuǎn)化成什么；轉(zhuǎn)化途徑是指怎么實(shí)行轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化的實(shí)現(xiàn)一般需要以下步驟:

（一）明確轉(zhuǎn)化對象和轉(zhuǎn)化目標(biāo)

以人教版數(shù)學(xué)第九冊“平行四邊形的面積”為例，平行四邊形是本節(jié)課的轉(zhuǎn)化對象，把求平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化成求長方形的面積作為轉(zhuǎn)化目標(biāo)。教學(xué)中轉(zhuǎn)化目標(biāo)比轉(zhuǎn)化對象稍難，需要學(xué)生對已學(xué)的知識有扎實(shí)的基礎(chǔ)，還需要學(xué)生對幾何圖形有一定的空間想象能力。教學(xué)時(shí)，教師可從情境中制造懸念：猜平行四邊形與長方形草坪哪個(gè)面積大？通過數(shù)格、填表知道兩者面積相同，并且發(fā)現(xiàn)平行四邊形的底和高與長方形的長和寬分別相等，由此推測平行四邊形的面積計(jì)算與長方形的面積有關(guān)，這樣本節(jié)課的轉(zhuǎn)化目標(biāo)就水到渠成了。

（二）尋找具體有效的轉(zhuǎn)化策略

本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)多邊形面積的啟蒙，轉(zhuǎn)化思想是探究多邊形面積的指導(dǎo)思想，即把未知圖形面積轉(zhuǎn)化成已知圖形面積來探究。由于在數(shù)方格求平行四邊形的面積時(shí)，學(xué)生已經(jīng)初步體驗(yàn)到轉(zhuǎn)化成長方形去數(shù)速度更快，因此把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形出現(xiàn)方法多樣化。但教學(xué)的重點(diǎn)不是追求方法越多越好，而是要讓學(xué)生知道，沿著方格的高剪開才能拼成長方形，并在操作、觀察、對比、聯(lián)系等活動中感悟轉(zhuǎn)化思想的作用，為后續(xù)學(xué)習(xí)多邊形的面積建立數(shù)學(xué)模型。

（三）溝通轉(zhuǎn)化對象及目標(biāo)間的聯(lián)系

轉(zhuǎn)化需要溝通轉(zhuǎn)化對象與轉(zhuǎn)化目標(biāo)之間的聯(lián)系，教學(xué)不能只停留在課堂表面的熱鬧與動手操作層面，而要引導(dǎo)學(xué)生由動到靜、由表及里地思考：平行四邊形與轉(zhuǎn)化后的長方形之間存在哪些等量關(guān)系？學(xué)生經(jīng)過認(rèn)真觀察、仔細(xì)比較后發(fā)現(xiàn)：轉(zhuǎn)化后圖形面積不變，而且平行四邊行的底和高與長方形的長和寬分別相等。最后根據(jù)長方形的面積公式推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式，實(shí)現(xiàn)由具體形象思維到抽象邏輯思維的轉(zhuǎn)化過程，并感悟其中蘊(yùn)涵的建模思想、符號化思想及轉(zhuǎn)化思想。

二、轉(zhuǎn)化思想的三條途徑

（一）形與形的轉(zhuǎn)化——以舊解新

在小學(xué)階段，圖形與幾何領(lǐng)域的內(nèi)容在教材編排上注重滲透轉(zhuǎn)化的思想，主要體現(xiàn)在平面圖形面積公式的探索與立體圖形體積公式的推導(dǎo)上。研究平面圖形的面積公式，以平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形為基礎(chǔ)，再由此及彼想到三角形、梯形可以轉(zhuǎn)化為平行四邊形，最后學(xué)習(xí)圓的面積時(shí)，自然而然想到把圓轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的圖形來研究。在學(xué)習(xí)圓柱的體積時(shí)，學(xué)生可從圓的面積公式推導(dǎo)中受到啟發(fā)，提出把圓柱轉(zhuǎn)化為近似的長方體的猜想。不論是平面圖形還是立體圖形，或是不規(guī)則的圖形，經(jīng)過等積轉(zhuǎn)化→比較發(fā)現(xiàn)→溝通聯(lián)系，都能達(dá)到以舊解新的目的。

（二）數(shù)與形的轉(zhuǎn)化——化繁為簡

因?yàn)閿?shù)和形是相對應(yīng)的，有些數(shù)比較抽象難懂，而形具有具體、直觀、形象的特點(diǎn)，能表征較多具體形象的思維。因此可以把與數(shù)相對應(yīng)的形挖掘出來，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)教學(xué)中比較復(fù)雜難懂的問題。數(shù)與形的轉(zhuǎn)化一般分為兩種形態(tài)：一是以形助數(shù)，借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的關(guān)系，即形是手段，數(shù)為目的；二是以數(shù)解形，借助于數(shù)的精確性和嚴(yán)謹(jǐn)性來解釋形的某方面屬性，即以數(shù)作為問題的橋，形作為終極目標(biāo)。以形助數(shù)或以數(shù)解形都是通過轉(zhuǎn)化使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實(shí)現(xiàn)化繁為簡的目的。

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)第十一冊“數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形”中的一道習(xí)題：1/2+1/4+1/8+1/16，教學(xué)時(shí)可以安排四個(gè)層次進(jìn)行轉(zhuǎn)化。第一層次，懸念激趣。引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察算式，初步概括算式的特點(diǎn)，然后思考不通分、不化小數(shù)怎么解決異分母分?jǐn)?shù)相加問題。第二層次，嘗試轉(zhuǎn)化。學(xué)生匯報(bào)三種獨(dú)特解法：

方法一

方法二

方法三

第三層次，感悟策略。第一種裂項(xiàng)法算式冗長，不過學(xué)生較容易理解，而學(xué)生對后兩種解法的理解會有點(diǎn)困難。若借助圖形直觀地解釋算理，可以清晰地看出后兩種本質(zhì)上是相似的。只是前者先借一個(gè)1/16，使原來4個(gè)數(shù)表示的部分與借的部分合成一個(gè)正方形，即單位“1”，然后再用“1”減去借的1/16算出結(jié)果。而后者是從逆向角度思考，把正方形看作單位“1”，減去剩余部分表示的1/16，就能很快算出算式中4個(gè)分?jǐn)?shù)的和。第四層次，回顧反思。

由此可見，轉(zhuǎn)化不僅是一種解題思想，也是一種解題策略。把數(shù)轉(zhuǎn)化成形能將運(yùn)算過程變得更加簡短，提高學(xué)生的運(yùn)算速度和正確率，使學(xué)生感受到轉(zhuǎn)化思想化繁為簡的魅力，促進(jìn)學(xué)生多角度、創(chuàng)新地解決問題。

（三）數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化——化難為易

小學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)主要是整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)，與其相對應(yīng)的四則運(yùn)算中，整數(shù)四則運(yùn)算是學(xué)習(xí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的基礎(chǔ)。在教學(xué)小數(shù)加減法時(shí)，需要把小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)進(jìn)行計(jì)算，通過數(shù)量的等值轉(zhuǎn)化發(fā)現(xiàn)小數(shù)加減法的計(jì)算方法；在學(xué)習(xí)小數(shù)乘法時(shí)，又需要把小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，根據(jù)積的變化規(guī)律探究出小數(shù)乘法的計(jì)算方法；當(dāng)學(xué)生積累了一定的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)后，學(xué)習(xí)小數(shù)除法時(shí)，學(xué)生就可以輕車熟路地運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略，自主探究出小數(shù)除法的計(jì)算方法。轉(zhuǎn)化思想，可以把生疏難懂的問題變成熟知易學(xué)的問題，使學(xué)生的認(rèn)知更系統(tǒng)，儲備更完善。

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)第九冊“一個(gè)數(shù)除以小數(shù)”。正確掌握除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法運(yùn)算方法是學(xué)習(xí)本課的前提條件，而商不變的性質(zhì)是解決除數(shù)是小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)的關(guān)健。教學(xué)時(shí)可由情境圖引出算式：7.65÷0.85，稍后追問：觀察算式有什么特點(diǎn)？與過去學(xué)過的除法算式有何不同？你有什么好辦法解決？讓學(xué)生結(jié)合積累的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)提出猜測：能不能把算式里的小數(shù)變成整數(shù)來計(jì)算？為確保不影響商的準(zhǔn)確性依據(jù)什么轉(zhuǎn)化？如何驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果是否正確？然后放手讓學(xué)生思考、合作、交流，發(fā)現(xiàn)利用商不變的性質(zhì)可以解決除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算難題。梳理總結(jié)時(shí)教師可讓學(xué)生談?wù)勣D(zhuǎn)化在學(xué)習(xí)中的作用，使學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化思想方法無處不在，運(yùn)用得當(dāng)可以化難為易。