強(qiáng)化數(shù)學(xué)活動(dòng) 培養(yǎng)模型思想

張美賢

（長(zhǎng)泰縣教師進(jìn)修學(xué)校，福建 長(zhǎng)泰 36390 0）

模型思想揭示的是數(shù)學(xué)對(duì)象內(nèi)在的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的基本方法、基本規(guī)律。數(shù)學(xué)的豐富與發(fā)展過(guò)程本質(zhì)上來(lái)說(shuō)就是在不斷的抽象、概括和模式化的過(guò)程。所以，真正意義上數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該深入到“模型”“建?！钡囊饬x上，著力于數(shù)學(xué)應(yīng)用和實(shí)際問(wèn)題解決的“模型思想”這一核心。

一、著力畫圖活動(dòng)促建模，培養(yǎng)模型思想

在教學(xué)實(shí)踐中，我們讓學(xué)生經(jīng)歷“弄清題意—明確數(shù)量關(guān)系—列式計(jì)算—檢驗(yàn)答題”的過(guò)程，這屬于解決問(wèn)題的一般程序模型。在這個(gè)過(guò)程中讓學(xué)生從問(wèn)題入手或從已知條件入手分析題意，找出中間問(wèn)題，都要讓學(xué)生通過(guò)寫一寫、畫一畫來(lái)梳理數(shù)量關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型。借助畫線段圖來(lái)直觀展現(xiàn)、輔助理解。枝形圖的畫圖、分析過(guò)程就是在建立模型的過(guò)程。

例如，教學(xué)關(guān)于“歸一”數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題解決：“媽媽買3個(gè)碗用了18元，如果買8個(gè)同樣的碗，需要多少元？”教學(xué)的重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生借助多種直觀圖的展示來(lái)分析數(shù)量關(guān)系，建立歸一問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。教學(xué)時(shí)，在學(xué)生閱讀審題，弄清題意后，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題條件信息，提煉數(shù)量關(guān)系，并用不同方式簡(jiǎn)明顯示，通過(guò)討論交流，引出以下四種分析策略模式：

此時(shí)，教師抓住時(shí)機(jī)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上面各種解題策略模式進(jìn)行分析、比較、梳理、優(yōu)化，溝通各種方法之間的聯(lián)系：作品1用簡(jiǎn)單的文字把重要的數(shù)學(xué)信息摘錄下來(lái)；作品2和作品3用簡(jiǎn)單的圖形（小棒、圓形）清晰地表示數(shù)量關(guān)系；作品4用單價(jià)、數(shù)量、總錢數(shù)之間的關(guān)系求出1個(gè)碗的價(jià)錢和8個(gè)碗的總錢數(shù)。于是，教師把數(shù)學(xué)教材解題例法（作品3）貼到黑板上，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合直觀圖列式解答并說(shuō)出算理：18÷3=6（元）是每個(gè)碗的價(jià)格，6×8=48（元）就是8個(gè)碗的總錢數(shù)。當(dāng)學(xué)生明白每一步的算理后，教師又追問(wèn)：如果我要買20個(gè)碗共要多少錢呢？85個(gè)呢？100個(gè)呢？讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)量變了，總價(jià)也變了，但一個(gè)碗的價(jià)格始終不變。然后出示一道變式題：3個(gè)碗是18元，30元可以買多少個(gè)同樣的碗。有了前面的知識(shí)模型基礎(chǔ)，學(xué)生很快就列出算式，有的用分步計(jì)算18÷3=6（元），30÷6=5（個(gè)）；有的列綜合算式30÷（18÷3）=5（個(gè)），能運(yùn)用小括號(hào)來(lái)計(jì)算的同學(xué)就已經(jīng)抓住了問(wèn)題的關(guān)鍵：先求出單價(jià)，再用總錢數(shù)除以單價(jià)求出數(shù)量。當(dāng)學(xué)生建立了有關(guān)單價(jià)、總價(jià)、數(shù)量的關(guān)系模型后，教師再出示題組讓學(xué)生進(jìn)行對(duì)比練習(xí):（1）小林讀一本書，4天讀了24頁(yè)，按這種速度，5天可以讀多少頁(yè)?（2）買5張同樣的書簽用了10元，20元可以買幾張?（3）同學(xué)們大掃除，2名同學(xué)擦8塊玻璃。教室共有28塊玻璃，一共需要多少名同學(xué)?……讓學(xué)生經(jīng)歷從“一個(gè)”到“一類”的問(wèn)題的模型建構(gòu)，使學(xué)生深刻理解了解決歸一問(wèn)題的模型意義，凸顯了數(shù)學(xué)本質(zhì)，不僅積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而且培養(yǎng)了數(shù)學(xué)模型思想。

二、注重操作活動(dòng)促建模，培養(yǎng)模型思想

課堂上，學(xué)生探究知識(shí)的重難點(diǎn)時(shí)，通過(guò)動(dòng)手操作，并引導(dǎo)動(dòng)口表述、動(dòng)腦思考，經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，這一過(guò)程就是學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過(guò)程。學(xué)生獲得的不僅是知識(shí)與技能，更是一種透過(guò)現(xiàn)象尋找本質(zhì)的認(rèn)識(shí)事物的方法。所以，教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的已有生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生在操作活動(dòng)中經(jīng)歷知識(shí)形成的三個(gè)環(huán)節(jié)：動(dòng)作、語(yǔ)義表征相結(jié)合理清實(shí)際問(wèn)題—轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題—進(jìn)一步抽象化并建立數(shù)學(xué)模型。

例如，教學(xué)“植樹(shù)問(wèn)題”時(shí)，為了找到植樹(shù)問(wèn)題的知識(shí)原型，尋找知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，上課一開(kāi)始，教師先創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生探究興趣：同學(xué)們要在全長(zhǎng)800米的小路一邊植樹(shù)，每隔5米種一棵(兩端要栽)。一共需要多少棵樹(shù)苗?首先讓學(xué)生嘗試畫線段圖方法來(lái)體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，學(xué)生在畫圖過(guò)程中“碰釘子”，感到800米畫起來(lái)有點(diǎn)長(zhǎng)，要研究有點(diǎn)麻煩，此時(shí)，教師再拋出問(wèn)題：有沒(méi)有辦法用一個(gè)更簡(jiǎn)單的例子來(lái)進(jìn)行分析推理呢？引出需要從5米、10米、15米……逐步研究起，以“化繁為簡(jiǎn)”的數(shù)學(xué)思想出示兩道題讓學(xué)生自主探究，感悟兩端都栽的直觀模型：（1）全長(zhǎng)5米（10米、15米、20米）的小路，平均每5米分一段，可以分幾段？（2）在全長(zhǎng)5米（10米、15米、20米）的小路一邊植樹(shù)，每間隔5米種一棵，可以種幾棵？要求同學(xué)用自己喜歡的方法表示出想法：學(xué)生有的用小棒擺一擺；有的用線段圖畫一畫；有的列式算一算等方法進(jìn)行研究。教師巡視時(shí)發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生用小棒5米5米的擺，擺到20米的模型是1 1 1 1 1，理解了間隔的含義；有的學(xué)生先畫出20米的線段再每5米種一棵，直觀圖的模樣是，初步感知全長(zhǎng)與間隔數(shù)的關(guān)系；有的用包含除的數(shù)量關(guān)系求棵數(shù)：20÷5＝4（段），4+1=5（棵），初步感知間隔數(shù)和棵數(shù)之間的關(guān)系。教師根據(jù)學(xué)生匯報(bào)的結(jié)果把答案填寫在表格里（如表格1），然后引導(dǎo)學(xué)生觀察表格，說(shuō)說(shuō)發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生在匯報(bào)交流中明白了：用除法算出來(lái)的商只是段數(shù)，而樹(shù)是種在“點(diǎn)”上的，植樹(shù)問(wèn)題是把這個(gè)“段”叫做間隔。全長(zhǎng)÷間隔長(zhǎng)度＝段數(shù)，求植樹(shù)的棵數(shù)要用段數(shù)再加1。教師此時(shí)可以引發(fā)學(xué)生思考：“全長(zhǎng)÷間隔長(zhǎng)度＝段數(shù)”其實(shí)就是我們以前所學(xué)的“包含除法”的模型，也是除法關(guān)系式“總量÷每份數(shù)=份數(shù)”的模型。借用以前的數(shù)量關(guān)系式幫助學(xué)生探究出兩端都栽的植樹(shù)問(wèn)題，通過(guò)動(dòng)手操作讓學(xué)生理解了“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”的數(shù)量關(guān)系式的由來(lái)，當(dāng)學(xué)生清楚了點(diǎn)與段之間的模型關(guān)系，就能順利完成課始創(chuàng)設(shè)的情境問(wèn)題：800÷5=160(段)，160+1=161(棵)，培養(yǎng)了模型應(yīng)用意識(shí)。

表1　

有了前面基本植樹(shù)模型的建構(gòu)，教師再次拋出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究植樹(shù)問(wèn)題的其它兩種情況:現(xiàn)實(shí)生活中，當(dāng)遇到公路一端有障礙物，或者兩端都有障礙物的現(xiàn)象，那又能植幾棵樹(shù)呢?讓學(xué)生利用剛才所學(xué)知識(shí)獨(dú)立探究。這時(shí)學(xué)生都能畫出直觀圖進(jìn)行動(dòng)作表征和語(yǔ)義表征，并匯報(bào)了自己的發(fā)現(xiàn):只栽一端時(shí)，5米長(zhǎng)的路上每5米栽1棵，只有1段，能栽1棵；10米長(zhǎng)的路上有兩段正好栽2棵；15米的路上能栽3棵，段數(shù)與棵數(shù)是對(duì)應(yīng)的，也就是只栽一端時(shí)，棵數(shù)與段數(shù)相等。還能很快理解兩端都不栽這種情況是棵數(shù)比段數(shù)少1。此時(shí)還可用列式的方法發(fā)現(xiàn)的，5÷5=1(段)，兩端就不能栽樹(shù)。10÷5=2(段)，2-1=1(棵)。15÷5=3(段)，3-1=2(棵)?！源祟愅疲瑑啥硕疾辉缘臅r(shí)候是棵數(shù)比段數(shù)少1。當(dāng)學(xué)生對(duì)植樹(shù)問(wèn)題的三種模型建構(gòu)完整時(shí)，模型的推廣運(yùn)用解決實(shí)際問(wèn)題的環(huán)節(jié)也是非常重要，教師可通過(guò)聯(lián)系生活中隱含著與植樹(shù)問(wèn)題同樣的數(shù)量關(guān)系，例如排隊(duì)、栽花、剪跳繩、鋸木頭等問(wèn)題，將數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題再次進(jìn)行抽象、對(duì)比，有利培養(yǎng)學(xué)生模型思想。

三、加強(qiáng)實(shí)踐活動(dòng)促建模，發(fā)展模型意識(shí)

學(xué)生通過(guò)躬行實(shí)踐，在思考、探究、求證、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，把自己怎么想、怎么做，與小組內(nèi)同伴、班級(jí)的同學(xué)交流或者操作演示清楚；在實(shí)踐中獲得的體驗(yàn)感受，實(shí)現(xiàn)從生活原型到數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)變，從而明白知識(shí)的來(lái)龍去脈，抓住知識(shí)的根，促進(jìn)知識(shí)的掌握和模型意識(shí)的培養(yǎng)。

例如，“相遇問(wèn)題”中如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有的數(shù)量關(guān)系和問(wèn)題背景的特點(diǎn)解決稍復(fù)雜的行程問(wèn)題：兩輛汽車從相距455千米的兩地同時(shí)相向開(kāi)出，甲車每小時(shí)行68千米，乙車每小時(shí)行62千米，經(jīng)過(guò)幾小時(shí)兩車相遇？因?yàn)閷W(xué)生在四年級(jí)已有了速度、時(shí)間、路程關(guān)系的知識(shí)基礎(chǔ)，在研究稍復(fù)雜的行程問(wèn)題時(shí)就可以以“情境演示—抽取模型—解釋與應(yīng)用”來(lái)展開(kāi)教學(xué)，讓學(xué)生從已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，感受數(shù)學(xué)問(wèn)題所具有的“模型”力量。首先，讓學(xué)生在自主探究中結(jié)合直觀演示，如：指名兩位同學(xué)上臺(tái)相向而行等，把行程中的時(shí)間、速度、路程的關(guān)系說(shuō)明白，根據(jù)所列的算式遷移類推出新的有關(guān)行程問(wèn)題的模型。匯報(bào)交流時(shí)，學(xué)生流露出不同的解題思維：①用列方程的方法，設(shè)相遇時(shí)間為x小時(shí)，則68x+62x＝455(如圖1)假設(shè)甲乙兩車同時(shí)從兩地出發(fā)走了x小時(shí)相遇（小紅旗位置是相遇點(diǎn)），那么甲車走的路程是68x，乙車走的路程是62x，再把兩車走的路程加起來(lái)就是兩地的全路程了。此時(shí)教師追問(wèn)：為什么要把兩人走的路程加起來(lái)？讓學(xué)生在匯報(bào)交流中明確：因?yàn)閮绍囎吡藊小時(shí)相遇，同時(shí)出發(fā)速度快的路程走得多，它們都沒(méi)有走完全程，所以兩車行駛的路程加起來(lái)才是甲乙兩車走的全程。學(xué)生有的說(shuō)：②用分步計(jì)算，68+62＝130（千米），455÷130＝3.5（小時(shí)），（如圖2）第1小時(shí)甲車走了68千米，乙車走了62千米，那它們1小時(shí)就共走了68+62＝130千米，那455千米里面有幾個(gè)130千米呢？這個(gè)幾就是兩車的相遇時(shí)間：綜合算式455÷（68+62）。68+62先求出1小時(shí)兩車走的速度，那總路程除以速度就能求出走的時(shí)間。

圖1　　

圖2　　

這時(shí)教師再追問(wèn)：這個(gè)“速度”跟我們以前的“速度”一樣嗎？并結(jié)合課件演示理解“速度和”，這種開(kāi)放式建模有利于培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力，突出數(shù)學(xué)思考，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。

這樣的教學(xué)因?yàn)橛辛俗寣W(xué)生親身參與課堂活動(dòng)的機(jī)會(huì)，充分調(diào)動(dòng)起學(xué)習(xí)潛能，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的價(jià)值功能獲得更全面、更深刻的理解，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就能獲得長(zhǎng)足發(fā)展。