“深”入尚需“淺”出
——吳正憲老師《比的意義》一課賞析

潘紅娟（特級(jí)教師）

（作者單位：浙江杭州市江干區(qū)教育發(fā)展研究院）

一次教學(xué)，能用“深入淺出”來(lái)形容，至少可以說(shuō)明兩點(diǎn)，其一，反映教者對(duì)教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)涵、體系、價(jià)值的深度把握；其二，反映教者對(duì)學(xué)習(xí)者認(rèn)知基礎(chǔ)、認(rèn)知形態(tài)的透析了解。無(wú)疑，吳正憲老師正是這樣一位“數(shù)學(xué)”研究與“兒童”研究的高手。借《比的意義》一課，我們一起來(lái)回顧欣賞，分析吳老師課中的“深”與“淺”。

【教學(xué)片斷】

片斷一：什么是比？

師：大家在哪兒聽(tīng)說(shuō)過(guò)比？

生：金龍魚(yú)廣告 1∶1∶1。

生：足球賽進(jìn)球 1∶2。

生：比如牛奶中的奶粉和水的比例。

……

（出示：沏牛奶，奶粉是牛奶的三分之一）

師：水要放上幾份？為什么？

生：奶粉是牛奶的三分之一，表示把牛奶平均分成 3 份，2 份放水，1份放奶粉。（板演：2∶1）

師：大家能讀懂2∶1的意思嗎？

生：“2”就是放 2 份水，“1”就是放 1 份奶粉。

師：如果奶粉放10g，水就應(yīng)該放幾克？

生：20g。

師：如果奶粉放20g，水應(yīng)該放幾克？

生：40g。

師：如果奶粉放40g呢？能繼續(xù)配嗎？

生：不管怎么樣，水的質(zhì)量都是奶粉的2倍。

師：和過(guò)去的知識(shí)息息相關(guān)，水?dāng)U大2倍、4倍，奶粉也擴(kuò)大2倍、4倍。你變，我也變。但不管怎么變化——

生：水都比奶粉多，水是奶粉的2倍，奶粉永遠(yuǎn)是水的一半。

在師生討論中形成板書(shū)：

片斷二：還有哪些情境也可用比來(lái)表示？

出示：下面情境中的數(shù)量能用比來(lái)表示嗎？

●材料1：小亮身高155cm，我身高1m。

展開(kāi)討論：

三位學(xué)生分別板演：

生：155∶1。

生：55∶100。

生：100∶1。

生：兩個(gè)個(gè)體，不能比較。

生：能比較，只是單位要統(tǒng)一，應(yīng)該是1.55∶1。

師：同學(xué)們很厲害，有錯(cuò)誤不要緊，錯(cuò)著錯(cuò)著就對(duì)了。

●材料2：某縣城一所學(xué)校有學(xué)生3000人，教師100人。

展開(kāi)討論：

指名學(xué)生板演：

生：3000∶100。

生：30∶1。

生：學(xué)生人數(shù)與教師人數(shù)的比是3000∶100。

生：如果表示倍數(shù)關(guān)系的話，也可以是30∶1。

師：30∶1 是什么意思？

生：30∶1就是“學(xué)生人數(shù)是老師人數(shù)的30倍”。

●材料3：從北京到上海全程為1500千米，需行駛5小時(shí)。從杭州到北京全程為1500千米，需行駛15小時(shí)。

教師布置任務(wù)：寫(xiě)一寫(xiě)比。

生：300∶100，表示兩次行程的平均速度的比。

師：如果是 1500∶5，1500∶15，說(shuō)說(shuō)是什么意思？

生：這兩個(gè)比表示“路程∶時(shí)間”。

師：也就是表示什么意思？

生：如果把5小時(shí)換成1小時(shí)，1500就變成了300，比是 300∶1，也就是 1小時(shí)行駛 300千米；把15小時(shí)換成1小時(shí)，1500就變成100，比是100∶1，也就是1小時(shí)行駛100千米。

師：講得真好！1500∶5，也就是速度是300；1500∶15，得出速度是100。那么請(qǐng)大家推想一下，1小時(shí)行300千米，一定是用什么交通工具？

生：高鐵。

師：1小時(shí)行100千米呢？

生：火車(chē)。

師：路程∶時(shí)間會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的量——速度，這樣可以進(jìn)行比較和判斷。

討論：怎樣用比來(lái)表示？

生：如果混凝土用10份來(lái)表示，那么水泥、沙子、石子的比就是 2∶3∶5。

生：一共是10份，也就是說(shuō)水泥、沙子、石子的比是 2∶3∶5，各占 2 份、3 份、5 份。

……

【賞評(píng)與啟示】

一、“深”入——基于“數(shù)學(xué)”的深度認(rèn)知

所謂“深入”，主要從目標(biāo)維度分析。從目標(biāo)定位看，顯然，吳老師并不滿(mǎn)足于將“比”看作“除法”的“附庸”，而是試圖探尋“比”更為寬廣的教育價(jià)值與教學(xué)伸展的可能。我們至少可以解讀出以下幾個(gè)方面的目標(biāo)預(yù)設(shè)與實(shí)踐。

1.凸顯概念內(nèi)涵。

“比較兩個(gè)同類(lèi)量的關(guān)系時(shí)，如果以b為單位來(lái)度量a，稱(chēng)為a∶b”，這是關(guān)于比的概念的本質(zhì)描述。如何讓學(xué)生體會(huì)這一本質(zhì)？吳老師以“水與奶粉的比是2∶1”為例，引導(dǎo)學(xué)生理解：“奶粉是1份，水有這樣的2份”“水占了三分之二、奶粉占了三分之一”“也就是水的質(zhì)量是奶粉的2倍”……從原概念“份”“倍”“分?jǐn)?shù)”出發(fā)，遷移歸納，揭示“比”的本質(zhì)意義。更為重要的是，教師在后面的教學(xué)展開(kāi)中，通過(guò)“正例”“變式”“反例”的辨析，對(duì)“比是一種關(guān)系”“比必須要統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)”“可以是同類(lèi)量的比，也可以是不同類(lèi)量的比”“比是有順序的”“可以是兩個(gè)量的比，也可是多個(gè)量的比”等等，有了深刻的認(rèn)識(shí)。

2.實(shí)現(xiàn)知識(shí)貫通。

利用學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的概念，找出兩者的聯(lián)系，通過(guò)比較新舊概念的差異，進(jìn)而使學(xué)習(xí)者獲得概念的過(guò)程，我們稱(chēng)之為“概念同化”。分析吳老師《比的意義》教學(xué)軌跡，無(wú)疑，正是讓學(xué)生充分經(jīng)歷了概念同化的過(guò)程。而概念同化的過(guò)程中，自然地將新知納入已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了概念之間的關(guān)系溝通。課堂現(xiàn)場(chǎng)看，從“水和奶粉的比是2∶1”理解，到學(xué)生自主舉例“當(dāng) 1g 糖，10g 水時(shí)，糖和水的比是1∶10，糖是10份、水是1份，也就是水占了十一分之一，糖占了十一分之十”，顯然，比與“份”“分?jǐn)?shù)”等知識(shí)的貫通理解已十分清晰。

3.滲透函數(shù)思想。

如果“比”與“倍”“份”“分?jǐn)?shù)”“除法”是一回事，那么，引入“比”這一概念的價(jià)值與意義是什么？引用吳老師的闡述：“比是為比例學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備的，可以擴(kuò)展為變量之間的函數(shù)關(guān)系?！被谶@樣的認(rèn)識(shí)，吳老師引導(dǎo)學(xué)生思考：奶粉10克，水幾克？——水?dāng)U大2倍呢？——水?dāng)U大4倍呢？通過(guò)“你變我也變”“一個(gè)量擴(kuò)大幾倍，另一個(gè)量也擴(kuò)大幾倍”等表達(dá)，讓學(xué)生體會(huì)“變量中的函數(shù)關(guān)系”。顯然，函數(shù)思想的滲透還原了“比”的本質(zhì)。

4.導(dǎo)向問(wèn)題解決。

“概念學(xué)習(xí)”的價(jià)值最終會(huì)走向“概念應(yīng)用”。吳老師的課中，借助“師生人數(shù)比”“北京到上海、杭州到北京的路程時(shí)間比”等素材，思考“知道路程∶時(shí)間=300∶1，路程∶時(shí)間=100∶1，可以推想出分別坐了什么交通工具？”不斷讓學(xué)生體會(huì)“比是一把尺子”“比可以進(jìn)行比較”“比可以幫助判斷”。在豐富情境中，基于概念理解，止于問(wèn)題解決，目標(biāo)視角逐漸走高。

二、“淺”出——基于“兒童”的經(jīng)驗(yàn)對(duì)接

所謂“淺出”，主要是從學(xué)生維度所作的思考。吳老師一直是“兒童中心”的積極倡導(dǎo)者和實(shí)踐者，在她的課堂上，“順兒童思考而教”“善用童言童智”“將學(xué)生置于學(xué)的主體”等理念有了最為真實(shí)的展現(xiàn)。

1.前在經(jīng)驗(yàn)、潛在認(rèn)知的真實(shí)呈現(xiàn)與激活。

分析吳老師的教學(xué)路徑，經(jīng)歷了“原概念呈現(xiàn)——新舊概念聯(lián)結(jié)——概念本質(zhì)辨析”的過(guò)程。激活學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，把握學(xué)生的前概念理解，是吳老師基于兒童教學(xué)的真實(shí)寫(xiě)照。

——“你在哪兒聽(tīng)說(shuō)過(guò)比？”回答“金龍魚(yú)廣告中 1∶1∶1”“足球比賽中進(jìn)球比是 1∶2”“比成績(jī)”“比分?jǐn)?shù)”……讓我們看到了吳老師帶領(lǐng)學(xué)生直面起點(diǎn)、直面錯(cuò)誤、直面差異的勇氣與智慧。

——“大家讀懂了水與奶粉的比是2∶1嗎？說(shuō)說(shuō)你的理解”，我們看到，吳老師鼓勵(lì)學(xué)生自主完成新舊概念的聯(lián)結(jié)，聯(lián)結(jié)方式從直白告知變?yōu)槁?lián)想推理，而這樣的聯(lián)想推理又是學(xué)生自發(fā)完成的。

——“路程∶時(shí)間=速度，1500∶5=300∶1，1500∶15=100∶1，說(shuō)說(shuō)是什么意思？”“速度是 300，也就是300∶1，即1小時(shí)行了300千米?！蔽覀兛吹?，“不同類(lèi)量的比產(chǎn)生新的量”，當(dāng)“速度”以比值形式出現(xiàn)的時(shí)候，是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，吳老師依然不忘將其還原為生活理解，突破難點(diǎn)。

2.好材料、好任務(wù)驅(qū)動(dòng)自主建構(gòu)。

“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”，將“高目標(biāo)”融于“自然對(duì)話”，是吳老師《比的意義》一課的鮮明特點(diǎn)。為什么能實(shí)現(xiàn)如此細(xì)膩、豐富的目標(biāo)，一方面得益于吳老師與學(xué)生的溝通藝術(shù)，筆者以為，好材料本身所蘊(yùn)含的獨(dú)特功能功不可沒(méi)。試以部分練習(xí)材料及相應(yīng)的功能，舉例如下：

材料 1：小亮 155cm，我1m——實(shí)現(xiàn)了從“同單位”到“不同單位”的變化，自主形成單位統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)；

材料2：某縣城一所學(xué)校有學(xué)生3000人，教師100人——自主實(shí)現(xiàn)了從“具體量”到“份”的跨越，滲透“最簡(jiǎn)比”的意識(shí)；

材料3：從北京到上海全程1500千米，行駛5小時(shí)。從杭州到北京全程1500千米，行駛15小時(shí)——實(shí)現(xiàn)了從“同類(lèi)量”到“不同類(lèi)量”的變式，豐富“比”的類(lèi)型；

值得欣賞的是，幾乎每一個(gè)情境的展開(kāi)中，教師都沒(méi)有刻意的引導(dǎo)，而是學(xué)生基于比的本源意義——“以（）作標(biāo)準(zhǔn)，（）就有這樣的幾份”，自主完成“比”的理解與表達(dá)。

材料 1，學(xué)生寫(xiě)出的三個(gè)比為“155∶1”“155∶100”“100∶1”，通過(guò)“標(biāo)準(zhǔn)比較”的思路，自然排除了“155∶1”與“100∶1”兩個(gè)錯(cuò)誤答案，學(xué)生對(duì)于“單位要統(tǒng)一”也就不言自明。材料2，學(xué)生板演的比是“3000∶100”與“30∶1”，前者僅停留于“具體量”的比，后者自然地將其提升為“份”的思考：如果老師是1份，學(xué)生有這樣的30份。材料3，則更是一個(gè)極好的開(kāi)放性材料，學(xué)生可以寫(xiě)出多個(gè)比，又自然引出不同類(lèi)量的比。材料4，雖然變式為“三量”關(guān)系，但學(xué)生依然基于“標(biāo)準(zhǔn)”的思考，如果以沙子作標(biāo)準(zhǔn)，占10份中的3份，那么水泥則是10份中的2 份，石子是 10 份中的 1 份，三者的比是“2∶3∶5”。由此，一方面，我們由衷感嘆吳老師基于“比較”“標(biāo)準(zhǔn)”“關(guān)系”把握基礎(chǔ)上的“比”的本質(zhì)挖掘，另一方面，也佩服吳老師為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)化材料與驅(qū)動(dòng)性任務(wù)。

“深入”尚需“淺出”——教學(xué)的不懈追求！