基于Beta族的相關(guān)貝葉斯模型在準(zhǔn)備金中的應(yīng)用

劉 燕，李云瑞

（1.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；2.河南省金融工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，鄭州 450001）

0 引言

未決賠款準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)公司為將來未決賠款的賠付提前計(jì)提的準(zhǔn)備資金，計(jì)提充足的未決賠款準(zhǔn)備金是維護(hù)投保人權(quán)益和保障保險(xiǎn)公司正常的償付能力的重要工作。在我國,非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司準(zhǔn)備金的提取大多使用傳統(tǒng)的估算方法，比如鏈梯法，案均賠款法，B-F方法等。這些統(tǒng)計(jì)類方法使用比較簡(jiǎn)單，但沒有重視隨機(jī)因素的影響，準(zhǔn)確度并不很高。

由于各種保險(xiǎn)特征因素的影響，如索賠頻率、索賠額度及理賠方式，都會(huì)使各進(jìn)展年索賠額之間具有一定的相關(guān)性，因此就會(huì)導(dǎo)致使用獨(dú)立假設(shè)下的貝葉斯模型來估計(jì)未決賠款準(zhǔn)備金時(shí)，與實(shí)際準(zhǔn)備金的支出額有較大偏離。因此，需要考慮增量賠款的相關(guān)性對(duì)未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估模型的影響。Gilks等（1995）[1]在模型中通過一個(gè)潛在過程來構(gòu)造相關(guān)Gamma過程，并應(yīng)用此相關(guān)Gamma過程來體現(xiàn)事故年之間的相關(guān)性。由于Beta族分布類是比Gamma分布更廣的分布類型，Gamma分布僅僅是Beta族分布類的一個(gè)特例，所以本文將Gamma過程推廣到Beta族分布類來建立未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估模型。下面給出基于Beta分布類的相關(guān)過程的理論模型，并對(duì)其中的相關(guān)參數(shù)使用貝葉斯估計(jì)。本文假設(shè)事故年i和進(jìn)展年j的增量賠款額為Xij，即第i個(gè)事故年發(fā)生的索賠在第j個(gè)進(jìn)展年的所有賠款。但對(duì)于不同的流量三角形中不同的事故年i和i′(i≠i′)，未決增量賠款過程和是相互獨(dú)立的。

1 基于Beta族的相關(guān)貝葉斯模型

一般假設(shè)Beta分布族的分布密度函數(shù)為：

這里a、b、c為常數(shù)，h(x)、g(x)均為x的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足性質(zhì)h′(x)g′(x)=x。

假設(shè)增量賠款Xij服從Beta族分布，即對(duì)所有的i有，Xi1密度函數(shù)為：

Zij|Xi，j-1的密度函數(shù)為：

并且有：

由以上的構(gòu)造過程可以發(fā)現(xiàn)，保單組合的第i個(gè)事故年的增量賠款額Xi，j-1和Xij通過潛在的過程Zij建立了相關(guān)性，并且可以證明其具有下面的性質(zhì)：

定理1：保單組合的第i個(gè)事故年的增量賠款額Xij為Beta族分布，且過程是Markov過程，則有如下性質(zhì)：

(1)由分部積分法得：

其中，ai為賠款的平均總額，bj為增量賠款占賠款平均總額的百分比：

由式(6)可知λj∈( )0， 1 ,j=1， 2， … ，n，從式(5)可以得到，Xi，j在Xi，j-1條件下的期望是第 i個(gè)事故年的增量賠款額Xi，j的期望值和前一進(jìn)展年的增量賠款額Xi，j-1的以λj為權(quán)重的加權(quán)平均。其中λj越大Xi，j和Xi，j-1的相關(guān)程度越強(qiáng)。若有γj=0 ，則Xi，j和Xi，j-1的相關(guān)程度為0，此時(shí)相關(guān)貝葉斯模型就退化為獨(dú)立的貝葉斯模型。

2 相關(guān)貝葉斯模型的參數(shù)估計(jì)

使用相關(guān)貝葉斯模型計(jì)算未決賠款準(zhǔn)備金時(shí)，首先需要根據(jù)貝葉斯方法[2]估計(jì)其中的參數(shù)，ai、bj和λj。令：

首先，假設(shè)各參數(shù)的先驗(yàn)分布為：

其次，在上面的假設(shè)下，可以得到變量X，Z的聯(lián)合分布。

定理2：假設(shè)未決增量賠款Xi，j服從Beta族分布，其流量三角形中上三角的所有變量X，Z的聯(lián)合分布滿足：

最后，應(yīng)用貝葉斯原理，可以得到未決賠款分布中各參數(shù)的后驗(yàn)分布如下定理3所述：

定理3：未決賠款額增量賠款分布中參數(shù)滿足下列性質(zhì)：

(1)參數(shù)ai的條件后驗(yàn)分布：對(duì)于所有的i=1， …，n有：

(2)參數(shù)bj的條件后驗(yàn)分布：

①當(dāng)j=1時(shí)有，

②當(dāng)j=2， …，n-1時(shí)有：

③當(dāng)j=n時(shí)有：

(3)參數(shù)γj的條件后驗(yàn)分布：對(duì)于所有的j=2，…，n-1有：

模型中參數(shù)后驗(yàn)均值的計(jì)算比較復(fù)雜，可以應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件分析其數(shù)值解，再抽樣得到后驗(yàn)分布的樣本，在此基礎(chǔ)上分析參數(shù)的后驗(yàn)均值。

3 未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)

在流量三角形中估計(jì)未決賠款準(zhǔn)備金，需要預(yù)測(cè)未決增量賠款流量三角形中未來未決賠款的增量的大小，本文假設(shè)上三角已知的增量賠款Xij（i=1， …，n,j=1， …，n-i+1）和需要預(yù)測(cè)估計(jì)的下三角中的未決增量賠款有相同的分布形式，根據(jù)Zij在條件X下的分布：

可以進(jìn)一步得到增量賠款的概率密度函數(shù)：

若對(duì)所有的i=1， …，n，有，則在條件下的預(yù)測(cè)分布有如下形式：

4 預(yù)測(cè)模型的評(píng)價(jià)

由于在相關(guān)貝葉斯模型中不適合使用方差，均方誤差等指標(biāo)來評(píng)價(jià)模型的優(yōu)劣。Ibrahim和Laud[4]于1994年提出L測(cè)度，測(cè)度值L()x是方差和偏差的組合，他的大小可以體現(xiàn)模型預(yù)測(cè)的誤差，具體形式如下：

5 實(shí)證研究

模型中考慮的流量三角形均為增量賠款流量三角形，使用Taylor和Ashe所給的未決增量賠款數(shù)據(jù)集，本文假設(shè)未決增量賠款隨機(jī)變量Xij服從伽馬分布，為了對(duì)比模型預(yù)測(cè)未決賠款準(zhǔn)備金的情況，可以分別應(yīng)用獨(dú)立Gamma過程和相關(guān)Gamma過程來預(yù)測(cè)未決賠款準(zhǔn)備金，分別將兩個(gè)模型的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行比較和分析（見表1）。這里應(yīng)用R軟件[5]實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)模型，并通過Gibbs抽樣[6]的方法來估計(jì)其中的參數(shù)。

表1 增量賠款流量三角形

首先應(yīng)用獨(dú)立貝葉斯模型[7]來預(yù)測(cè)未決賠款準(zhǔn)備金，即Xij是相互獨(dú)立的。

a=(4.168， 5.925， 5.5013， 5.0212， 5.7365， 5.9001，6.4997， 7.2953， 6.2659， 5.4173)，（以百萬為單位），

1b=(0.04， 0.15， 0.18， 0.17， 0.10， 0.08， 0.07， 0.05，0.08， 0.03)

由以上估計(jì)的模型參數(shù)的后驗(yàn)均值，可以估計(jì)增量賠款流量三角形下三角的數(shù)據(jù)和各事故年的未決賠款準(zhǔn)備金，通過R語言編程實(shí)現(xiàn)模型，可以得到結(jié)果如下頁表2所示。

表2給出了所有事故年在各個(gè)進(jìn)展年的增量賠款額和各事故年的未決賠款準(zhǔn)備金，再對(duì)各事故年的準(zhǔn)備金求和，即保險(xiǎn)公司所需計(jì)提的未決賠款準(zhǔn)備金約為2132萬元。

表2 獨(dú)立貝葉斯模型增量賠款和準(zhǔn)備金估計(jì)值

然后應(yīng)用相關(guān)貝葉斯模型來預(yù)測(cè)未決賠款準(zhǔn)備金，即Xij是相關(guān)的。

對(duì)所有的i有：

這里需要估計(jì)的參數(shù)有αi，βj，γj，給定參數(shù)的先驗(yàn)分布為：

αi～Gamma( )0.001， 0.001，β～I(xiàn)-Dir(1， …，1)，γj～Gamma( )0.01， 0.01

α=(5.1714， 7.4139， 6.3995， 5.4037， 7.4706，7.8652，8.4857， 9.0457， 7.9534， 6.6329)（百萬）

1β=(0.06， 0.28， 0.15， 0.16， 0.07， 0.06， 0.05， 0.04，0.06， 0.02)

λ=(0.70， 0.65， 0.66， 0.13， 0.03， 0.02， 0.02，0.01， 0.01)

由以上估計(jì)的各參數(shù)的后驗(yàn)均值，可以估計(jì)增量賠款流量三角形下三角的數(shù)據(jù)和各事故年的未決賠款準(zhǔn)備金，通過R語言編程實(shí)現(xiàn)，得到未決賠款準(zhǔn)備金如表3所示。

表3給出了所有事故年在各個(gè)進(jìn)展年的增量賠款額和各事故年的未決賠款準(zhǔn)備金，再對(duì)各事故年的準(zhǔn)備金求和可得總的未決賠款準(zhǔn)備金為2061萬元。

分別對(duì)ξ=0， 1 2， 1三個(gè)不同的取值分別計(jì)算兩種模型估計(jì)未決賠款準(zhǔn)備金的L測(cè)度值：由表4可知，相關(guān)貝葉斯模型的L測(cè)度在各種ξ取值下估計(jì)的誤差值都比獨(dú)立貝葉斯模型的L測(cè)度值要小。顯然，針對(duì)這個(gè)實(shí)例估計(jì)的未決賠款準(zhǔn)備金，使用相關(guān)貝葉斯模型估計(jì)的值更準(zhǔn)確合理。

6 結(jié)束語

本文將Enrique de Alba和Luis E.Nieto-Barajas(2008)提出的相關(guān)貝葉斯模型中增量賠款的分布推廣到Beta分布族，建立基于Beta族分布的未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估模型。在此理論基礎(chǔ)上，使用流量三角形來預(yù)測(cè)保險(xiǎn)公司所需計(jì)提的未決賠款準(zhǔn)備金。并使用R軟件編程實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)備金的隨機(jī)評(píng)估模型，通過Gibbs抽樣估計(jì)模型中的參數(shù)ai、bj和λj，計(jì)算未決賠款準(zhǔn)備金的估計(jì)值和估計(jì)偏差的L測(cè)度值，分析估計(jì)值的性質(zhì)和優(yōu)劣。但文中沒有考慮各事故年增量賠款之間的相關(guān)性，而且抽樣統(tǒng)計(jì)分析也還存在一定的誤差，這些問題都還有待于進(jìn)一步的研究。

表3 相關(guān)貝葉斯模型增量賠款和準(zhǔn)備金估計(jì)值

表4 兩種模型的L測(cè)度值比較