未決賠款準備金估計的Munich鏈梯法及其優(yōu)化

陳 曉，張連增

(南開大學 經濟學院風險管理與保險學系，天津 300071)

0 引言

未決賠款準備金是非壽險公司財務報表上的一項最為重要的負債項目。提高未決賠款準備金評估的準確性，對于分析、評估和防范非壽險業(yè)務的財務風險,保證公司的償付能力,以及保護被保險人的利益而言都具有重要的意義。在非壽險領域準備金評估的過程中，鏈梯法 （chain-ladder method）由于其簡易性和幾乎不需要任何假設的特點，成為基于流量三角形對未決賠款準備金進行預測的常用方法。通常，鏈梯法可分別應用于已決賠款（paid-loss）和已發(fā)生賠款（incurred-loss）數(shù)據(jù)。由于這兩種方法都用于預測最終賠款額，我們自然期望通過這兩種方法能夠得到相近的預測結果。但是在實際問題中結論并非如此，依據(jù)這兩類數(shù)據(jù)得到的最終賠款額有較大差異。Halliwell[1]首次從隨機過程的角度研究了這個問題。之后，Quarg和Mack[2]引入Munich chainladder(MCL)模型，該模型降低了鏈梯法基于已決賠款數(shù)據(jù)和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)預測最終賠款額之間的差異，從而更加準確地估計未決賠款準備金。

本文擬運用統(tǒng)計學中的穩(wěn)健回歸 （Huber M估計法和Bisquare M估計法）和耐抗回歸（LTS估計法）方法優(yōu)化Munich鏈梯法，通過降低離群點對參數(shù)估計的干擾，進一步降低基于已決賠款數(shù)據(jù)和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)預測的最終賠款額之間的差異，從而更準確提取未決賠款準備金。應用軟件 R-2.8.1編寫程序實現(xiàn)鏈梯法、Munich鏈梯法和優(yōu)化的Munich鏈梯法，并以Quarg和Mack（2004）中的數(shù)據(jù)為例，比較上述方法在未決賠款準備金評估方面的優(yōu)劣。

在本文中，以 Pi,t,Ii,t(i,t=1,2,…，n)分別表示在事故年 i、發(fā)展年t年末的累計已決賠款和累計已發(fā)生賠款。以表示事故年在準備金評估日（假設為年末）的當前發(fā)展年，那么Pi,t,Ii,t(1≤t≤ci)為已知數(shù)據(jù)，Pi,t,Ii,t(ci＜t≤n)為預測值。

1 鏈梯法及其缺陷

鏈梯法假設如果沒有外來因素（如通貨膨脹等）的影響，那么各事故年的賠案在未來各發(fā)展年的賠款進展是平穩(wěn)的。這個假設表現(xiàn)在流量三角形中就是：平均而言各列的數(shù)據(jù)成比例。

由鏈梯法定義，對于s≥ci，預測值Pi,s+1和Ii,s+1分別為：

由鏈梯法，依據(jù)已決賠款和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)計算的最終賠款額Pi,n和Ii,n分別為：

事故年i在發(fā)展年t的已決賠款額與已發(fā)生賠款額的比率定義為

所有的事故年在發(fā)展年的平均比率定義為

其中對于 ci＜t≤n，Pi,t和 Ii,t為由式（2）得到的預測值。 那么對于 t≥ci，下式成立：

式（4）的詳細推導見 Quarg和 Mack （2004）。 式（4）表明在各個發(fā)展年度，每一事故年P/I的預測值與所有事故年的P/I的平均值之比是常數(shù)，它為在當前發(fā)展年的對應的比值。也就是說，對于任一事故年i，如果在準備金評估日（即發(fā)展年ci年末），該比值大于1，那么在發(fā)展年n年末時，該比值也大于1；反之亦然。在遞推過程中對于t≥ci，由式（4）可得：

考慮到實際意義，可以預期隨著發(fā)展年t的增大，(P/I)t以遞增的方式趨近于1。在準備金評估日，如果事故年i的（4）式比值大于 1，那么（5）式左邊(P/I)i,t-(P/I)t為關于 t的增函數(shù)。也就是說，鏈梯法會把這種趨勢在每一步遞推中逐步擴大。具體地說，以Quarg和Mack（2004）中的已決賠款流量三角形和已發(fā)生賠款流量三角形數(shù)據(jù)（事故年為7年，發(fā)展年為7年）為例，應用鏈梯法計算得到各事故年在每一發(fā)展年的（P/I）比率。以發(fā)展年作為橫坐標，以各發(fā)展年對應的所有事故年的（P/I）比率作為縱坐標，可以直觀地發(fā)現(xiàn)各事故年的（P/I）比率隨著發(fā)展年的增加呈現(xiàn)發(fā)散趨勢，而非集中于平均（P/I）比率。為了直觀表現(xiàn)這一趨勢，在圖1中以平滑直線連接7個發(fā)展年的平均（P/I）比率。這樣導致的問題就是：對于較近的事故年，由于需要遞推計算的次數(shù)較多，在最終發(fā)展年（P/I）比率距1有較大差異。由于鏈梯法預測最終賠款額存在上述缺陷，為此引入Munich鏈梯法。

2 Munich chain-ladder模型

Quarg和Mack(2004)提出Munich鏈梯法，成功地降低了鏈梯法基于已決賠款數(shù)據(jù)和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)得到的最終賠款額之間的差異。Munich鏈梯法通過P/I比率（累計已決賠款/累計已發(fā)生賠款）反映已決賠款數(shù)據(jù)P和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)I的相關性。

記事故年i、發(fā)展年j年末的P/I比率為(i,j=1,2,…,n)：

記發(fā)展年j的平均P/I比率為：

其中 Pi,t,Ii,t(ci＜t≤n)為根據(jù)式（2）得到的預測值。

Munich鏈梯法（簡稱MCL方法）通過調整發(fā)展因子來減小依據(jù)已決賠款數(shù)據(jù)和已發(fā)生賠款分別得到的最終賠款額之間的差異，其基本思想是：對于某一事故年，如果在準備金當前評估日P/I比率比較低 （低于在準備金評估日的平均P/I比率），那就意味著與其它事故年相比，該事故年截至準備金評估日已決賠款偏少或已發(fā)生未決賠款準備金偏多，因此在未來階段賠款額會增加，從而應該增加與當前評估日相對應的發(fā)展年的已決賠款的發(fā)展因子，而減小已發(fā)生賠款的發(fā)展因子。反之，如果在準備金評估日P/I比率比較高（高于在準備金評估日的平均P/I比率），那么該事故年的已決賠款的預測值應降低，已發(fā)生賠款的預測值應升高。

記Pi(s)={Pi,1,…,Pi,s}和Ii(s)={Ii,1,…,Ii,s}分別表示事故年的已決賠款額和已發(fā)生賠款額在發(fā)展年s之前的數(shù)據(jù)。首先將所有發(fā)展年的數(shù)據(jù)標準化，得到殘差值，期望為0，標準差為1。殘差通過條件期望定義如下：

其中X為隨機變量，而C表示某條件。

依據(jù)MCL方法的基本思想，根據(jù)以下回歸模型調整發(fā)展因子。

針對已決賠款數(shù)據(jù)：

針對已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)：

其中 λp和 λI均為常數(shù)（有關計算見下文），而且 λp，λI≥0，它們表示在殘差圖中的回歸線斜率。Bi(s)表示二維過程(Pi(s),Ii(s))。 Q 由（6）式定義。

由殘差定義，式（8）和（9）分別等價于式（10）和（11）：

3 Munich chain-ladder模型的參數(shù)優(yōu)化

Quarg和 Mack（2004）首次提出MCL方法時，應用最小二乘法（OLS）分別估計式(8)和式(9)中回歸系數(shù) λP和 λI，即

但是在殘差圖中通常會出現(xiàn)離群點，此時應用最小二乘法估計回歸線的斜率（見式（8）和式（9））會產生較大誤差，從而導致回歸模型（見式（10）和式（11））不穩(wěn)定。 Verdier和Klinger(2005)指出式（8）和式（9）中斜率應根據(jù)不同的發(fā)展階段而進行相應調整。

以下應用統(tǒng)計學中穩(wěn)健估計模型，很好地解決了應用最小二乘法求回歸直線時，可能存在的某些離群點對回歸的顯著性(擬合度)的影響。我們將通過穩(wěn)健回歸（Robust regres?sion）和耐抗回歸（Resistant regression）計算出回歸線斜率，其中穩(wěn)健回歸方法通過降低離群點的權重增強回歸的穩(wěn)健性，而耐抗回歸方法通過建立約束模型在回歸過程中直接除去離群點。對于穩(wěn)健回歸方法，我們分別采用Huber M估計法（Huber’s M estimator）和 Bisquare M 估計法（Bisquare’s M estimator）設置離群點的權重[4]。

Huber M估計法：設定轉折參數(shù)，權重給出如下

Bisquare M估計法 設定轉折參數(shù)c=4.685，權重w給出如下：

其中在式（13）和（14）中u表示采用絕對離差的中位數(shù)（Median Absolute Deviation）估計方法規(guī)范化后的殘差，即

在耐抗回歸方法中，我們采用LTS（Least trimmed squares）估計法除去離群點。定義

下面以Quarg和Mack（2004）中的累計已決賠款流量三角形（表1）和累計已發(fā)生賠款流量三角形（表2）數(shù)據(jù)為例，應用軟件 R-2.8.1分別計算穩(wěn)健回歸和耐抗回歸模型中的參數(shù)估計值和最終P/I（已決賠款額/已發(fā)生賠款額）比率，并將計算結果與傳統(tǒng)CL方法和MCL方法進行比較(程序略)。

表3給出根據(jù)已決賠款數(shù)據(jù)分別用傳統(tǒng)鏈梯法（CL）、Munich鏈梯法（MCL）和優(yōu)化的Munich鏈梯法（MCL-Robust&Resistant Regression）預測的最終賠款額，表4給出根據(jù)已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)用上述方法預測的最終賠款額Ii,n。由MCL方法預測得到的累計已決賠款和累計已發(fā)生賠款的數(shù)據(jù)略。

表1 累計已決賠款流量三角形Pi,j

表2 累計已發(fā)生賠款流量三角形Ii,j

表3 根據(jù)已決賠款數(shù)據(jù)預測的最終賠款額Pi,n

表4 根據(jù)已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)預測的最終賠款額Ii,n

表5 已決賠款和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)預測的最終賠款額的比率Pi,n/Ii,n

表6 CL、傳統(tǒng)MCL和優(yōu)化MCL方法的參數(shù)估計值

表5和表6表明，與傳統(tǒng)鏈梯法相比，由Munich鏈梯法得到的每一事故年的最終賠款額P/I的比率和所有事故年平均最終賠款額的P/I比率均更接近于1，因此Munich鏈梯法能夠很好地解決傳統(tǒng)鏈梯法中分別依據(jù)已決賠款數(shù)據(jù)和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)預測的最終賠款額相差較大的問題。同時，通過穩(wěn)健回歸（Huber M估計法和Bisquare M估計法）改進的Munich鏈梯法能夠在一定程度上優(yōu)化Munich鏈梯法，即通過降低離群點對參數(shù)估計的干擾增強最終賠款額預測的準確性，從而進一步提高最終賠款額的比率P/I。通過耐抗回歸（LTS估計法）改進的Munich鏈梯法對此例的計算結果并不理想，但對存在顯著離群點的數(shù)據(jù)進行參數(shù)回歸估計時，采用該方法將得到理想的優(yōu)化效果。

4 結論

本文采用Munich鏈梯法及其優(yōu)化方法分別依據(jù)已決賠款數(shù)據(jù)和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)來預測最終的賠款額，進而得到未決賠款準備金的估計值。較傳統(tǒng)鏈梯法，Munich鏈梯法及其優(yōu)化方法具有以下特點：

（1）Munich鏈梯法依據(jù)已決賠款數(shù)據(jù)和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)的相關性來調整發(fā)展因子，從而成功地降低了鏈梯法基于已決賠款數(shù)據(jù)和已發(fā)生賠款數(shù)據(jù)得到的最終賠款額之間的差異。

（2）本文通過統(tǒng)計學中的穩(wěn)健回歸（Huber M估計法和Bisquare M估計法）和耐抗回歸（LTS估計法）方法優(yōu)化了Munich鏈梯法，即通過降低殘差圖中離群點對回歸參數(shù)估計的干擾，增強回歸模型的穩(wěn)定性，從而減小最終賠款額的預測誤差。

（3）Munich鏈梯法及其優(yōu)化方法簡單有效，可操作性強。由于本文應用R軟件編譯實現(xiàn)Munich鏈梯法及其優(yōu)化方法，解決了矩陣處理和回歸參數(shù)估計等問題，使得該方法具有很強的現(xiàn)實操作性。

[1]Halliwell,L.J.Conjoint Prediction of Paid and Incurred Losses[C].CAS Forum,1997.

[2]Quarg,G.,Mack,T.Munich Chain Ladder[J].Blatter der DGVFM,Band XXVI，2004，597～630.

[3]Verdier,B.,Klinger,A.JAB Chain:A Model Based Calculation of Paid and Incurred Developments Factors[C].36thASTIN Colloquium,2005.

[4]Rousseeuw,P.J.,Leroy,A.M.Robust Regression and Outlier Detection[M].New York:Wiley,1987.

[5]Markus Gesmann.Mack,Bootstrap and Munich-chain-ladder Methods for Insurance Claims Reserving[EB/OL].http://www.freestatistics.org/cran,2008.