一道中考題的教學(xué)啟示

廣東省廣州市第十六中學(xué)(510631) 梁鎮(zhèn)輝

目前對(duì)“一題多解”的教學(xué)研究主要方向有它的價(jià)值體現(xiàn)、課堂教學(xué)案例、“一題多解與一題多變”;用它來(lái)滲透數(shù)學(xué)思想、培養(yǎng)思維等.筆者也發(fā)現(xiàn):“數(shù)學(xué)命題系統(tǒng)[1]”的關(guān)系好比“并聯(lián)電路”,發(fā)散了學(xué)生解題思維;“合情推理”啟發(fā)了學(xué)生的解題思路;解題反思優(yōu)化了學(xué)生解題思路.

本文以2016年.齊齊哈爾中考最后一題第(2)問(wèn),例談中考備考中,如何引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)交匯點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn),形成優(yōu)良的認(rèn)知結(jié)構(gòu);發(fā)展數(shù)學(xué)核心知識(shí)和核心技能的學(xué)科素養(yǎng),提高幾何復(fù)習(xí)課的有效性.

例題在平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)的兩條直線分別交y軸于B、C兩點(diǎn),且B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,3)、(0,?1).試問(wèn):直線AC與直線AB是否垂直?請(qǐng)說(shuō)明理由;

一、構(gòu)建命題聯(lián)想系統(tǒng),發(fā)散解題思路.

文[1]界定了命題系統(tǒng)的概念.讓我們關(guān)注到“聯(lián)想”能夠?qū)㈦[性的經(jīng)驗(yàn)顯性化和算法化,成為問(wèn)題解決的關(guān)鍵.

(一)構(gòu)建等價(jià)命題庫(kù)–明確解題的方向.

在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),有時(shí)學(xué)生感到困難,應(yīng)換個(gè)角度進(jìn)行解釋.“等價(jià)”促使學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行火熱思考,搜索腦中隱藏的各類知識(shí),運(yùn)用自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)、幾何語(yǔ)言、自然語(yǔ)言對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征.“直線AC與直線AB垂直”可等價(jià)為“線段AC與線段AB垂直(∠CAB是否等于90°);一次函數(shù)AB和一次函數(shù)AC比例系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)”,構(gòu)建了問(wèn)題等價(jià)命題庫(kù).讓學(xué)生明確了兩個(gè)解決直線垂直的主要方向.

(二)構(gòu)建條件下游命題庫(kù),找準(zhǔn)解題的切入點(diǎn).

研究A可以推出什么命題(B、C、D...),這就得到命題A的下游命題系統(tǒng).對(duì)條件“A、B、C坐標(biāo)”往下聯(lián)想得其下游命題庫(kù):“兩點(diǎn)間距離(公式);求一次函數(shù)解析式”.這樣咀嚼消化條件,引導(dǎo)學(xué)生理解幾何函數(shù)綜合題的精髓在于“點(diǎn)坐標(biāo)、線段長(zhǎng)和函數(shù)解析式三者能互相轉(zhuǎn)化”,轉(zhuǎn)化思想成為解題思路的切入點(diǎn).

(三)構(gòu)建問(wèn)題上游命題庫(kù),實(shí)現(xiàn)解題的過(guò)程.

如果命題B、C、D...都可以推得命題A,就得到命題A的上游命題.對(duì)問(wèn)題進(jìn)行“倒溯”,探索其上游命題,聯(lián)立切入點(diǎn)和方向,實(shí)現(xiàn)完整的解題過(guò)程.師生經(jīng)互動(dòng)構(gòu)建如下問(wèn)題上游命題庫(kù):

圖1

圖2

下面介紹學(xué)生的解法:

解法①(勾股定理逆定理)由兩點(diǎn)間距離公式,計(jì)算得驗(yàn)證得AB2+AC2=CB2,所以∠BAC=90°,即AB⊥AC.

解法②(一次函數(shù)解析式)由待定系數(shù)法求得yAC=因?yàn)樗灾本€AC與直線AB垂直.

實(shí)際上在命題系統(tǒng)建立過(guò)程中,學(xué)生開(kāi)闊和開(kāi)放了思維,放下了害怕幾何綜合題的心理枷鎖,將一個(gè)個(gè)孤立的知識(shí)點(diǎn)、技能點(diǎn)歸納成庫(kù),形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).而良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu),容易記憶,也容易遷移,還可以讓思維得到升華.

二、猜想的成功體驗(yàn).

(一)波利亞說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)也許往往像是猜想游戲,在你證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前,你必須猜想到這個(gè)定理,在你搞清楚證明細(xì)節(jié)之前,你必須先猜出證明的主導(dǎo)思想”.

對(duì)大部分學(xué)生而言,容易猜想到特殊角度數(shù).于是乎,要想進(jìn)一步拓寬學(xué)生的問(wèn)題解決能力,還需要進(jìn)行“思維直覺(jué)”:圖形中會(huì)不會(huì)存在常見(jiàn)的30°、45°、60°角.很快學(xué)生給出了新的解法:

解法③(逆推30°角)在Rt△AOC中OC=1,AC=2,即所以 ∠OAC=30°,同理 ∠AB0=30°,所以 ∠BAO=60°,∠BAC=90°,即AC⊥AB.

(二)牛頓曾說(shuō)過(guò):“沒(méi)有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”引導(dǎo)學(xué)生猜想∠BAC能否看做圓中圓周角,怎樣證明BC為直徑,又能夠得出新的解法:

解法④(直徑所對(duì)圓周角為90°)取線段BC中點(diǎn)G,則G(0,1),由兩點(diǎn)間的距離公式得GA=GB=GC=2,所以點(diǎn)A、B、C在以點(diǎn)G為圓心、半徑為2的圓上.所以BC為直徑,所以∠BAC=90°,即AC⊥AB.

“數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)過(guò)程往往是先猜想后證明[2]”,可見(jiàn)猜想是學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題很好的切入點(diǎn),教學(xué)過(guò)程中,我們應(yīng)當(dāng)創(chuàng)造條件和機(jī)會(huì),讓學(xué)生參與猜想.而學(xué)生一旦參與了,必定急于知道自己究竟是猜對(duì)了還是猜錯(cuò)了,必定專心致志地思考,興致勃勃地聽(tīng)講.而一旦事實(shí)猜對(duì)了,必定大大增強(qiáng)了自信心,從此開(kāi)始“良性循環(huán)”[2].立足“30°角所對(duì)直角邊等于斜邊一半”性質(zhì)展開(kāi)圖形分析,解決問(wèn)題.以圓周角角度猜想命題成立是一種創(chuàng)新思維(不少同學(xué)缺乏這種幾何背景的轉(zhuǎn)化習(xí)慣),這樣的猜想能讓學(xué)生跳出直角三角形、函數(shù)背景的限制,大大發(fā)散解題思維.因此,合情推理是一種解題直覺(jué),它產(chǎn)生于學(xué)生自身,能夠挑起每位學(xué)生的胃口,成功的邏輯證明刺激學(xué)生的味蕾,一題多解讓學(xué)生在綜合幾何問(wèn)題中爽了一把.

三、回歸基本圖形,妙法橫生.

在幾何問(wèn)題的分析中,組成一個(gè)幾何問(wèn)題的圖形的最簡(jiǎn)單、最重要、最基本的,但又是具有特定的性質(zhì),能明確地闡明應(yīng)用條件和應(yīng)用方法的圖形,稱為基本圖形.幾何學(xué)科中的基本圖形的數(shù)量并不很多,但就是這些數(shù)量不多的基本圖形卻演繹出一部能顯現(xiàn)無(wú)窮變化的平面幾何學(xué).引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“直角三角形斜邊上的高線”這一基本圖形,思考能否通過(guò)相似證明∠BAC=90°,就能得出以下解法:

解法⑤ 易得所以△OAC∽△ABC,所以 ∠BAC= ∠AOC=90°,即AC⊥AB.

四、解題反思,勇奪寶物.

華羅庚先生說(shuō):“讀數(shù)學(xué)不做習(xí)題,等于入寶山而空返”,而做題后不反思就等于“拿著寶物又放下了”[1].

(一)抓關(guān)鍵思路,升華解題認(rèn)識(shí).

函數(shù)背景下的幾何綜合題,主要考察了點(diǎn)坐標(biāo)、線段、函數(shù)解析式的基本知識(shí)與基本技能.這類問(wèn)題的解題關(guān)鍵點(diǎn)在于實(shí)現(xiàn)三者的有效轉(zhuǎn)化,形成數(shù)形結(jié)合的解題素養(yǎng).

五種解法的主體思路均是“如何證明直線垂直”.利用命題系統(tǒng)能找到證明的解題方向;利用函數(shù)解析式可以減輕對(duì)圖形性質(zhì)運(yùn)用的難度和繁瑣程度;借助合情推理,也就找到了特殊角度的辦法;以圓性質(zhì)角度分析問(wèn)題能引領(lǐng)學(xué)生創(chuàng)新,活躍思維;從辨別基本圖形入手,能夠找到熟悉的解題思路.可以說(shuō),在多種解題方法面前,抓住了主要的解題思路,就能掌握函數(shù)背景下直線垂直問(wèn)題的解題思路;對(duì)條件、圖形的仔細(xì)研究,大膽猜想,就能找到使用解題鑰匙的各種途徑.

(二)精簡(jiǎn)命題系統(tǒng),形成核心知識(shí)和核心技能.

有的學(xué)生拿到題目后往往無(wú)從下手,是因?yàn)闆](méi)有讓“隱藏腦中所需的知識(shí)模塊”顯現(xiàn)出來(lái).而在大量的問(wèn)題解決過(guò)程中,筆者發(fā)現(xiàn)一些“核心知識(shí)和核心技能”經(jīng)常出現(xiàn),考察力度較大.“命題系統(tǒng)”能把“平面坐標(biāo)系”、“直角三角形”、“一次函數(shù)”不同的知識(shí)板塊串聯(lián)起來(lái),合情推理能讓學(xué)生在這些板塊中跨向銳角三角函數(shù)、圓、相似的知識(shí)板塊,很好地幫助學(xué)生建立起跨度較大的知識(shí)體系.因此,可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自身解題過(guò)程進(jìn)行反思,篩選出關(guān)鍵的知識(shí)與技能.如對(duì)坐標(biāo)的元認(rèn)知命題系統(tǒng)有圖3;對(duì)證明垂直的元認(rèn)知命題系統(tǒng)有圖4.

圖3

圖4

總而言之,以命題系統(tǒng)建立解題策略,加以合情推理、基本圖形的運(yùn)用,在幾何復(fù)習(xí)課上,容易實(shí)現(xiàn)師生大量互動(dòng),調(diào)動(dòng)學(xué)生思維積極性,得到學(xué)生歡迎;這種幾何復(fù)習(xí)課不僅僅是對(duì)“雙基”進(jìn)行了總結(jié)梳理達(dá)到鞏固目的,更是在各種具有大跨度知識(shí)點(diǎn)之間以命題系統(tǒng)的方式集中起來(lái),使得梳理充滿實(shí)際內(nèi)容與營(yíng)養(yǎng),也不至于學(xué)生不喜歡.幾何復(fù)習(xí)課不會(huì)再是“一盤散沙式[1]”或者“按部就班式[1]”的模式,極大提高學(xué)生復(fù)習(xí)課積極性.