對(duì)《選修4-4》里面《直線的參數(shù)方程》一章的修改建議*
——從一道練習(xí)題引發(fā)的疑問(wèn)說(shuō)起

廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué)(526100) 程華生

我校高二年級(jí)今周的午練里面有這樣一道解答題,題目如下:

在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線P的方程為ρ2?4ρcosθ+3=0.

(1)求曲線C的普通方程和曲線P的直角坐標(biāo)方程.

(2)設(shè)曲線C和曲線P的交點(diǎn)為A、B,求|AB|.

第二天我評(píng)講午練的時(shí)候,方法如下:

解(1),兩個(gè)式子相減,得到:x?y?1=0,即曲線C普通方程為:x?y?1=0,曲線C是一條直線.ρ2?4ρcosθ+3=0,x2+y2?4x+3=0,(x2?4x)+y2+3=0,[(x?2)2?4]+y2+3=0,(x?2)2+y2=1,即曲線P的直角坐標(biāo)方程為:(x?2)2+y2=1,曲線P是圓心為(2,0),半徑為1的圓.

圖1

這種方法的優(yōu)點(diǎn)是:解題速度快,節(jié)省時(shí)間,有解析幾何作為基礎(chǔ),學(xué)生容易聽(tīng)懂.

下課后,我班的一位“數(shù)學(xué)高手”來(lái)向我請(qǐng)教問(wèn)題,平時(shí)的考試,他的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诎嗌弦恢倍济星懊?他采用的是另外一種方法,答案如下:

解(1),兩個(gè)式子相減,得到:x?y?1=0,即曲線C普通方程為:x?y?1=0,曲線C是一條直線.ρ2?4ρcosθ+3=0,x2+y2?4x+3=0,(x2?4x)+y2+3=0,[(x?2)2?4]+y2+3=0,(x?2)2+y2=1,即曲線P的直角坐標(biāo)方程為:(x?2)2+y2=1,曲線P是圓心為(2,0),半徑為1的圓.

這位“數(shù)學(xué)高手”問(wèn):“老師,我都檢查了3次,計(jì)算沒(méi)有任何錯(cuò)誤,但是第(2)小題的最終計(jì)算結(jié)果怎么和你評(píng)講的答案的最終計(jì)算結(jié)果不一樣呢?”,學(xué)生一臉疑惑.

該生采用的方法是《選修4-4》課本里面介紹的常規(guī)方法,用到了“弦長(zhǎng)公式”:弦長(zhǎng)

看來(lái),直線的參數(shù)方程,將“一般形式”化成“標(biāo)準(zhǔn)形式”,這個(gè)知識(shí)點(diǎn),不是可有可無(wú)的,應(yīng)該放進(jìn)課本.

第三天,我利用整整一節(jié)課,向同學(xué)們介紹了將直線的參數(shù)方程的“一般形式”化成“標(biāo)準(zhǔn)形式”的方法.

重要專(zhuān)題

直線的參數(shù)方程的兩種形式:“標(biāo)準(zhǔn)形式”和“一般形式”.

經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x0,y0),傾斜角為α的直線的參數(shù)方程的“標(biāo)準(zhǔn)形式”為:(t為參數(shù)).

直線的傾斜角α,也就是x軸的正方向與直線的向上的方向所構(gòu)成的角,α的取值范圍為:0°≤α＜180°,所以:

(1)0≤sinα≤1,可見(jiàn)sinα不會(huì)是負(fù)數(shù);

(2)?1＜cosα≤1;

(3)sin2α+cos2α=1.

這是直線的參數(shù)方程的“標(biāo)準(zhǔn)形式”具有的基本特征.

一條直線的參數(shù)方程是否是“標(biāo)準(zhǔn)形式”,就看該方程是否同時(shí)滿足以上三條.

由此得出辨別直線的參數(shù)方程是否是“標(biāo)準(zhǔn)形式”的方法:

經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x0,y0)的直線的參數(shù)方程的“一般形式”為:(t為參數(shù)).

當(dāng)它同時(shí)滿足以下三個(gè)條件時(shí):

(1)?1＜a≤1;(2)0≤b≤1;(3)a2+b2=1.

它才是“標(biāo)準(zhǔn)形式”.

當(dāng)直線的參數(shù)方程不是“標(biāo)準(zhǔn)形式”的時(shí)候,我們經(jīng)常需要將其化成“標(biāo)準(zhǔn)形式”.

經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x0,y0)的直線的參數(shù)方程的“一般形式”為:(t為參數(shù)).

將“一般形式”化成“標(biāo)準(zhǔn)形式”的方法如下:

1.若b＞0,則“標(biāo)準(zhǔn)形式”為:(t為參數(shù)).

2.若b＜0,則“標(biāo)準(zhǔn)形式”為:(t為參數(shù)).

為了教會(huì)學(xué)生掌握將“一般形式”化成“標(biāo)準(zhǔn)形式”的方法,我專(zhuān)門(mén)命制了一道例題.

例下列直線的參數(shù)方程是“標(biāo)準(zhǔn)形式”嗎?若不是,請(qǐng)將其化成“標(biāo)準(zhǔn)形式”.

解因?yàn)樯鲜讲荒芡瑫r(shí)滿足直線的參數(shù)方程的“標(biāo)準(zhǔn)形式”的三條特征,所以它不是直線的參數(shù)方程的“標(biāo)準(zhǔn)形式”,化成“標(biāo)準(zhǔn)形式”為:(t為參數(shù)),即為:(t為參數(shù)).

解因?yàn)樯鲜讲荒芡瑫r(shí)滿足直線的參數(shù)方程的“標(biāo)準(zhǔn)形式”的三條特征,所以它不是直線的參數(shù)方程的“標(biāo)準(zhǔn)形式”,化成“標(biāo)準(zhǔn)形式”為:(t為參數(shù)),即為:(t為參數(shù)).

另外,我還特意命制了兩道練習(xí)題,供學(xué)生動(dòng)筆練一練,有助于更好地鞏固這個(gè)知識(shí)點(diǎn).

練習(xí)題下列直線的參數(shù)方程是“標(biāo)準(zhǔn)形式”嗎?若不是,請(qǐng)將其化成“標(biāo)準(zhǔn)形式”.

學(xué)生做完練習(xí)題后,自行核對(duì)答案,參考答案如下:

(1)解因?yàn)樯鲜讲荒芡瑫r(shí)滿足直線的參數(shù)方程的“標(biāo)準(zhǔn)形式”的三條特征,所以它不是直線的參數(shù)方程的“標(biāo)準(zhǔn)形式”,化成“標(biāo)準(zhǔn)形式”為:(t為參數(shù)),即為:(t為參數(shù)).

(2)解因?yàn)樯鲜讲荒芡瑫r(shí)滿足直線的參數(shù)方程的“標(biāo)準(zhǔn)形式”的三條特征,所以它不是直線的參數(shù)方程的“標(biāo)準(zhǔn)形式”,化成“標(biāo)準(zhǔn)形式”為:為參數(shù))即為:(t為參數(shù)).

在掌握了將“一般形式”化成“標(biāo)準(zhǔn)形式”的方法后,我們?cè)賮?lái)重新做午練上面的那道解答題.

解(1),兩個(gè)式子相減,得到:x?y?1=0,即曲線C普通方程為:x?y?1=0,曲線C是一條直線.ρ2?4ρcosθ+3=0,x2+y2?4x+3=0,(x2?4x)+y2+3=0,[(x?2)2?4]+y2+3=0,(x?2)2+y2=1,即曲線P的直角坐標(biāo)方程為:(x?2)2+y2=1,曲線P是圓心為(2,0),半徑為1的圓.

這樣就可計(jì)算出正確答案了.

可見(jiàn),將直線的參數(shù)方程的“一般形式”化成“標(biāo)準(zhǔn)形式”這個(gè)知識(shí)點(diǎn),不是可有可無(wú)的,我建議將其放進(jìn)課本.

沒(méi)有最好,只有更好.