小議正五邊形

單勤海

在某次解題比賽中有一道關(guān)于折紙的問題。該題采用了常見的一種紙條折疊方法討論了一個五邊形的問題，引起了不少數(shù)學(xué)教師的興趣?，F(xiàn)將原題呈現(xiàn)如下：

如圖，將一條長度合適的、寬為a的長方形紙條打個結(jié)，然后輕輕壓平，再剪去多余的部分，就得到一個五邊形ABCDEF.關(guān)于這個五邊形，我們能得到許多性質(zhì)，現(xiàn)在請你證明： EA=AB=BC=CD.

這個題使我們自然產(chǎn)生了一個聯(lián)想：

聯(lián)想一：一個常見的兩個寬相等的紙條相疊得到菱形（見圖1）

關(guān)于聯(lián)想一的菱形的證明過程中，我們會結(jié)合平行四邊形，使用高相等，利用等積法產(chǎn)生菱形的結(jié)果。所以等寬的紙條的重合，高相等是一個重要的要素；

通過這個聯(lián)想我們不難設(shè)計出這個題的解法：用高相等。

原題解法：不難看出圖中存在三個菱形：菱形ABCF、菱形BCDM、菱形AENB；即可證得EA=AB=BC=CD。（見圖2）

但是對問題的思考并不因為原題得解而就此停止，我們在原題的基礎(chǔ)上不免會產(chǎn)生第二個聯(lián)想：

聯(lián)想二：這個五邊形是不是正五邊形呢？

仔細(xì)分析原題中的條件和已經(jīng)證得的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，上述題中的五邊形已經(jīng)具備了四條邊相等，根據(jù)其紙條的對邊平行不難得到兩個等腰梯形：等腰梯形ABCD、等腰梯形ABCE，進(jìn)而得到三條對角線的相等：BE=AC=BD。即上述五邊形已經(jīng)具有有“四邊相等+三條對角線相等”的初步條件。這讓我不禁想到寧波市江東區(qū)數(shù)學(xué)教研員潘小梅老師曾在《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》2007年第7期中發(fā)表的一篇題為《一個課題的學(xué)習(xí)及思考》的文章，在文中，潘老師對正五邊形的判定做了深入的研究，得出了“5+3”的判定方法。簡單來說就是：在“邊、內(nèi)角、對角線”三個要素中，選取兩個要素，并以其中一個要素的五個量相等，另一個要素的三個量相等，即可得到正五邊形。例如“五條邊相等并且三條對角線相等的五邊形為正五邊形”。根據(jù)潘老師的研究結(jié)果，結(jié)合這個題已有的特征，我們可以猜想，紙條的寬相等必定得出相應(yīng)的高相等，而高相等如果能結(jié)合已知條件得出“5+3”模式，即可證得正五邊形。

下面介紹一下相應(yīng)的證法思路：

思路一：證明五個內(nèi)角相等（或證明五個內(nèi)角均為108°）

證法一（由寧波第七中學(xué)樊貞慧老師提供）：在圖（3）中，根據(jù)菱形的對角線性質(zhì)容易得到∠ABE=∠EBD=∠DBC；根據(jù)等腰梯形對角線的性質(zhì)容易得到∠BAC=∠ABE；∠ACB=∠DBC；所以可得∠BAC=∠ABE=∠EBD=∠DBC=∠ACB；根據(jù)△ABC的內(nèi)角和可得∠BAC=∠ABE=∠EBD=∠DBC=∠ACB =36°；∠ABC=108°，所以根據(jù)等腰△ABE和等腰△CBD可得∠BEA=∠ABE=36°；∠BDC=∠DBC=36°；根據(jù)等腰△DBE可得∠BDE=∠BED=72°；即證得了五個內(nèi)角均為108°而相等，所以正五邊形即可得證。

證法二（由寧波十九中學(xué)蔣國剛老師提供）：在圖（4）中，

將AB邊沿BC所在的直線反折回去得AB；同證法一類似可以由菱形證明∠ABE=∠EBD=∠DBC，而∠CBA=∠CBA；可得∠ABC=108°。以下證法同證法一類同，此處不做贅述。

思路二：證明五條邊相等

其中四條邊相等，即EA=AB=BC=CD前文已經(jīng)進(jìn)行證明，此處僅需證明ED與另四邊中的一邊相等即可。可將需證明的五邊形如圖（5）放置于直角坐標(biāo)系內(nèi)。

可設(shè)紙條寬為a，EA=AB=BC=CD=b，可得A（0，-a），B（-b，-a），C（-b-，0）

E（，0）

因此，上述兩個思路的計算結(jié)果都可以根據(jù)“5+3”要素的判定方法得到正五邊形。

但是這種得到正五邊形的方法并不是一個傳統(tǒng)的折紙法，那么兩者之間有沒有聯(lián)系？我們可以先將按上述方法折得的紙片打開，然后在進(jìn)行觀察，具體分析如下：

首先將一張矩形紙片對折后再按如上述所示折出正五邊形后再全部打開（如圖6、圖7）

根據(jù)折疊的方法，容易得到打開后的折痕六邊形ABCDEF為六條邊相等的非正六邊形，且AD恰好是圖6中的正五邊形的一條對角線，因此根據(jù)原正五邊形易得

然后將紙條沿AC折疊（如圖8），易得B點落在AD上的G點處，沿CG折疊，得折痕CG，同理得折痕BH（如圖9），折痕CG與折痕BH相交于點P，沿直線AP和DP折疊，易證得五邊形PABCD即為正五邊形，且與圖6中的正五邊形相似。

既然折疊可以得到正五邊形，那么尺規(guī)作圖能否得到正五邊形呢？對于這一點很多老師都不陌生，但是基本上都是借助圓內(nèi)得等分來作圖。但是正五邊形由于其特殊性，我們也可以采用黃金分割線的特點進(jìn)行作圖。具體如下（如圖10）：

①先作出AB=2AC，∠A=90°的Rt△ABC，取得AB邊上的黃金分割點E；

②以A為圓心，BE為半徑作圓；以B為圓心，AB為半徑作圓；兩圓交于點C；

③作AB的中垂線，與以B為圓心，以BE為半徑的圓相交于點G；

④作BC的中垂線，與以B為圓心，以BE為半徑的圓相交于點H；

⑤順次連結(jié)B、G、A、C、H，得正五邊形BGACH；

現(xiàn)在我們可以看到，通過折疊和尺規(guī)作圖都能得到正五邊形，那么是否折疊問題和尺規(guī)作圖問題之間能夠互相轉(zhuǎn)化呢？其實，并不盡然。尺規(guī)作圖與折疊圖形之間雖然有某些聯(lián)系存在，但是還是具有一定的區(qū)別。

首先，對于尺規(guī)作圖來說，主要能夠作出三個基本作圖要素：

①直線型。主要是線段、射線和直線；

②曲線型。主要是圓和?。?/p>

③點型。主要是直線與直線的交點；尋找圓與直線的交點；尋找圓與圓的交點。

而折疊的基本作圖要素主要有四個：

①折疊，使兩個已知點重合；

②折疊，使一個已知點落在某條已知直線上；

③折疊，使兩條已知直線重合；

④折疊，使一條已知直線與自身重合；

將兩者的要素進(jìn)行對照，就可以發(fā)現(xiàn)，在曲線方面尺規(guī)作圖要強(qiáng)于折疊，但是在直線型問題和點型問題的解決上折疊比尺規(guī)作圖要強(qiáng)大的多。正因為如此，在正七邊形的問題上，只能通過折疊得到，而無法用尺規(guī)作圖得到。（但是能夠通過尺規(guī)作圖能到近似的正七邊形，詳見《鉗工手冊》）

綜上所述，培養(yǎng)學(xué)生的折疊技能和方法是提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)操作動手能力的有效途徑，學(xué)生通過折疊的學(xué)習(xí)，既能夠提高對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，又能夠掌握和提高數(shù)學(xué)的空間想象能力和分析解決問題的應(yīng)用能力。