《三角形面積》學(xué)習(xí)中學(xué)生的元認(rèn)知及其分析

浙江寧波市鄞州區(qū)江東外國語小學(xué)　史　炯

在教學(xué)“三角形面積”這一內(nèi)容時，筆者認(rèn)為不能只局限于用“倍拼”法，學(xué)生的學(xué)習(xí)方法應(yīng)該是多樣的，如“剪拼”“出入相補(bǔ)”法等。因此，筆者在上課時，特意為每個小組準(zhǔn)備了各類三角形，然而學(xué)生還是以“倍拼”法為主，為此，筆者制定了2組前測題，以了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點。學(xué)生完成前測題1后，再下發(fā)前測題2，其目的在于防止學(xué)生因為方格紙的暗示，修改前測題1的結(jié)果。

前測題1：

（1）下面圖形的面積是指哪一部分呢？涂色表示。

（2）你們知道三角形面積的計算方法嗎？如果知道，請寫下來。

前測題2：

你們能不能用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想推導(dǎo)出三角形的面積計算方法？

①轉(zhuǎn)化：我將三角形轉(zhuǎn)化成____________。

②關(guān)系：三角形和轉(zhuǎn)化后圖形的面積有什么關(guān)系？

③三角形的面積公式是：

我的理由是：

測試結(jié)果：

前測題1能正確推導(dǎo)出公式的學(xué)生占了32.25%，前測題2能正確推導(dǎo)出公式的學(xué)生占了46.8%，前測題1中學(xué)生以“倍拼”法為主，而前測題2中不但出現(xiàn)了“倍拼”法，還出現(xiàn)了中位線分割的“出入相補(bǔ)”法，以及把三角形補(bǔ)成長方形的方法。

思考一：知道≠理解

兩組前測題中，學(xué)生都出現(xiàn)了把兩個相同的三角形拼成一個平行四邊形的情況，再由平行四邊形的面積推理出三角形的面積計算方法。但在前測題1中，學(xué)生都只把三角形“倍拼”成平行四邊形，并無其他圖形。筆者猜想，在沒有方格圖輔助的情況下，學(xué)生的原始思維就是“拼”成平行四邊形?？赡苁艿秸n本《平行四邊形面積》配套練習(xí)的影響（如下圖），禁錮了學(xué)生的思維。筆者還發(fā)現(xiàn)，前測題1中雖然有41.17%的學(xué)生知道三角形面積公式，但只有32.25%的學(xué)生能正確推導(dǎo)出三角形面積公式。顯然，一部分學(xué)生雖然在課外通過各種途徑知道三角形面積的計算方法，但只知其然，而不知其所以然。

思考二：“新方法”多了，方格紙是功臣

前測題2中不僅能推導(dǎo)出公式的學(xué)生多了，而且出現(xiàn)了“倍拼”成橫豎兩種長方形和“出入相補(bǔ)”的方法，這是非常令人欣喜的。通過與前測題1的對比中，筆者認(rèn)為方格紙是這節(jié)課教學(xué)中不可缺少的輔助媒介。

基于上述分析與思考，筆者提出以下幾條教學(xué)建議，供同行借鑒。

一、找基石，促使每位學(xué)生獲得增量——精選學(xué)習(xí)素材

學(xué)習(xí)材料是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，它直接決定著課堂教學(xué)的效率，好的學(xué)習(xí)材料不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，而且能最大限度地開發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛力，拓展學(xué)生的思維深度與廣度，培養(yǎng)學(xué)生求異思維。

在本文開頭，筆者給學(xué)生提供的材料是比較全面的，有全等的三角形，有單個的三角形，為了降低思維難度，單個的三角形還帶有方格。為什么在素材如此之多的情況下，學(xué)生還是只想到“拼”一種方法呢？究其原因，是筆者忽視了學(xué)生都是一個個活生生的個體，是一個獨立的“人”，人最大的弱點就是——“惰性”。既然材料中有兩個一模一樣的三角形，學(xué)生肯定會選擇這種簡單的方法，也就不會再去思考另外的方法了。因為兩個一模一樣的三角形是“顯性”的，而單個的三角形雖然有方格紙的襯托，但相比而言，終究還是“隱性”的，這就是學(xué)生們“偷懶”的根源。而且，單個的三角形在剪拼以后，破壞了原圖，學(xué)生很難找到新舊圖形之間的聯(lián)系，這就是為什么在課堂上個別學(xué)生想出了“剪拼”的方法，卻無法推理出三角形面積的原因。

破除惰性，那就“逼”學(xué)生一把，可以提供帶有方格紙的學(xué)習(xí)材料，促使學(xué)生去尋找三角形的特點。有些學(xué)生能在方格紙中想象出一個平行四邊形，就出現(xiàn)了“倍拼”的方法；有些學(xué)生會利用方格紙去研究三角形本身的特征，就出現(xiàn)了“倍補(bǔ)”，即補(bǔ)成長方形的方法，抑或是“出入相補(bǔ)”的方法。通過前測題，筆者可以預(yù)見，這些方法學(xué)生不難想到，即使無法完成推理全過程，他們也能想辦法把三角形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形，并試圖尋找新舊圖形的聯(lián)系，一個小改變，趕走惰性，激發(fā)靈感，讓不同的學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上都能有所發(fā)展。

二、搭腳手架，理順學(xué)習(xí)思路——有效利用導(dǎo)學(xué)單

核心素養(yǎng)中提出，要讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，能自主學(xué)習(xí)。毋庸置疑，導(dǎo)學(xué)單就是一個能幫助學(xué)生自主學(xué)習(xí)的腳手架。一份切合學(xué)情的導(dǎo)學(xué)單不但可以讓師生在教學(xué)過程中有據(jù)可循，而且可以幫助學(xué)生理順?biāo)悸贰?/p>

筆者在教學(xué)“三角形面積”這一課時，也曾利用過導(dǎo)學(xué)單：

但是效果卻不甚理想，除了推導(dǎo)方法單一，更糟糕的情況出現(xiàn)在第二問：轉(zhuǎn)化前后兩個圖形的聯(lián)系。由于指向性不明確，學(xué)生想到的聯(lián)系是五花八門的，有學(xué)生說：“轉(zhuǎn)化前后，周長變了，面積不變”；更多的學(xué)生在“等積變形”后，找不到底和高之間的聯(lián)系，即使是找到了聯(lián)系，卻無法與三角形的面積進(jìn)行聯(lián)系。因此，這樣的導(dǎo)學(xué)單還無法達(dá)到“導(dǎo)”的目的。

從前測題中，筆者也發(fā)現(xiàn)了，很多學(xué)生會把三角形轉(zhuǎn)化成能求面積的圖形，但找不到聯(lián)系，尤其是“高”的聯(lián)系，那是因為“高”是隱性的，它隱藏在圖形里面。所以，設(shè)計導(dǎo)學(xué)單時，要為學(xué)生們創(chuàng)設(shè)一些階梯，如果學(xué)生能拾級而上，才能真正發(fā)揮“導(dǎo)”學(xué)的作用。改變后的導(dǎo)學(xué)單如下：

改變后的導(dǎo)學(xué)單，雖然開放度縮小了，但這是基于學(xué)生實際情況做出的調(diào)整。這些提示緊緊抓住了思維的關(guān)鍵之處，尤其能幫助學(xué)生理順在“等積變形”中底和高的變化關(guān)系。

三、理思路，善比較，挖掘知識內(nèi)涵——深度對比“÷2”

“有比較才有鑒別”，把相似的問題放在一起找出區(qū)別與聯(lián)系，通過對比的方法可加深對概念的理解。所以，在教學(xué)中教師要善于運(yùn)用對比的藝術(shù)，每次出現(xiàn)“÷2”時，若都能及時指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對比，對促進(jìn)學(xué)生理解知識是非常有幫助的，并且在對比后若能及時梳理，可以讓學(xué)生清晰地認(rèn)識到“÷2”的必要性。

例如，當(dāng)學(xué)生由平行四邊形的面積計算方法推理出三角形面積計算方法時，教師可以追問：這里的除以2是什么意思？當(dāng)學(xué)生通過“出入相補(bǔ)”法推導(dǎo)三角形面積公式時，再次追問：這里的“÷2”又是什么意思？還是平行四邊形面積的一半嗎？第三次追問可安排在對比兩種“出入相補(bǔ)”法處：這里都出現(xiàn)了“÷2”，它們所代表的意思一樣嗎？在小結(jié)時，可進(jìn)行第四次追問：我們現(xiàn)在都知道三角形的面積是底×高÷2，為什么要“÷2”？并且對所有的“÷2”運(yùn)算順序進(jìn)行梳理。

通過這樣的梳理，既可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些方法最終都是“殊途同歸”的，也可以讓學(xué)生直觀地看到，根據(jù)計算的需要，有時候底和高先乘再除以2，有時候可以先求底的一半再乘高，還可以先求高的一半再乘底。通過“數(shù)形結(jié)合”讓學(xué)生直觀地感悟到“÷2”的意義，而不是機(jī)械記憶。

通過分析前測題的數(shù)據(jù)，能讓教學(xué)者真正走進(jìn)學(xué)生內(nèi)心。有時候，停下來，聽聽學(xué)生到底在想什么，思考理論上的知識難點究竟是不是學(xué)生們真正的認(rèn)知難點，這樣才能更好地幫助教師們“因材施教”，才能讓學(xué)生們學(xué)得輕松，真正做到樂學(xué)、善學(xué)。?