淺析中學(xué)幾何解題中蘊(yùn)含的方程思想

孫玉勇

【摘要】本文討論了中學(xué)幾何解題中所蘊(yùn)含的方程思想，主要包括平面幾何和解析幾何.通過(guò)具體例題展現(xiàn)了如何運(yùn)用其中所蘊(yùn)含的方程思想來(lái)解幾何題，充分體現(xiàn)了方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想.

【關(guān)鍵詞】中學(xué)幾何；方程思想；圓錐曲線

數(shù)學(xué)是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).許多數(shù)學(xué)對(duì)象都存在某種形式的數(shù)量關(guān)系，最基本的數(shù)量關(guān)系是相等和不等.當(dāng)我們將數(shù)學(xué)量的相等關(guān)系用等式來(lái)表示，且把其中一個(gè)或幾個(gè)數(shù)學(xué)量當(dāng)作未知量時(shí)，就得到了方程.有關(guān)方程的基本知識(shí)主要包括方程解的定義、韋達(dá)定理、方程有解或無(wú)解的充要條件、方程在某個(gè)范圍有解或無(wú)解的充要條件、方程有無(wú)窮多個(gè)解或有限多個(gè)解的充要條件等內(nèi)容.利用方程的基本知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想，可以稱(chēng)為方程思想.

方程的思想可追溯到偉大的數(shù)學(xué)家笛卡兒，在《指導(dǎo)思維的法則》一書(shū)中他提出了一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的所謂“萬(wàn)能方法”，其模式是首先將任何種類(lèi)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，其次將任何種類(lèi)的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，最后將任何種類(lèi)的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程或者方程組的問(wèn)題.在得到方程（組）后，討論方程（組）的解的問(wèn)題，得到解之后再對(duì)解進(jìn)行解釋.這一模式現(xiàn)在看來(lái)雖不能說(shuō)是萬(wàn)能，但在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)確有廣泛的應(yīng)用.這種過(guò)程可用下表描述：

在中學(xué)數(shù)學(xué)里，大量的數(shù)學(xué)知識(shí)是以相等關(guān)系反映的，而數(shù)學(xué)問(wèn)題也常常明顯地或隱含地存在著相等關(guān)系.近幾年來(lái)，中學(xué)數(shù)學(xué)試題更加注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查，方程的思想尤為突出.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中有意識(shí)地滲透方程思想是十分必要的，指導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)應(yīng)用方程思想解題對(duì)培養(yǎng)能力、提高思維素質(zhì)都具有重要意義.本文主要討論中學(xué)幾何包括平面幾何和解析幾何解題中所蘊(yùn)含的方程思想.

我們知道，幾何中的許多計(jì)算問(wèn)題其實(shí)都可以轉(zhuǎn)化成方程問(wèn)題，即都可以通過(guò)列方程來(lái)求解.不但如此，即使是一些證明問(wèn)題、曲線問(wèn)題，也可借助方程作為工具去求解，而且這樣的解題方法往往更加直接、簡(jiǎn)便.

（一）幾何最值問(wèn)題

在最近幾年各地的數(shù)學(xué)中考試卷中，經(jīng)常出現(xiàn)一些最值問(wèn)題，這些最值問(wèn)題的提出通常是在平面直角坐標(biāo)系中，與二次函數(shù)的知識(shí)綜合在一起，有些問(wèn)題可以用函數(shù)最值的知識(shí)去解決，但有些卻不能.因此，這些最值問(wèn)題給學(xué)生的中考答卷造成了相當(dāng)大的困難.實(shí)際上，解決這種最值問(wèn)題只是用到了平面幾何中的相關(guān)知識(shí)，而解決這些問(wèn)題往往可以利用方程的思想，下面的題目就是利用一元二次方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決平面幾何的最值問(wèn)題.

評(píng)注本題考查直線與橢圓的基本概念及性質(zhì)、解析幾何的基本思想及綜合靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.用待定系數(shù)法求方程是解析幾何中的常規(guī)方法，本題的關(guān)鍵是運(yùn)用對(duì)稱(chēng)軸的有關(guān)性質(zhì)和韋達(dá)定理建立方程組求解.這些都要求對(duì)方程思想的內(nèi)涵理解深透，會(huì)靈活運(yùn)用.

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，是將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，幾乎滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，應(yīng)該說(shuō)方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用是非常廣泛的，不僅僅體現(xiàn)在幾何題的解法中，在其他如代數(shù)問(wèn)題、三角函數(shù)問(wèn)題中，它都起著舉足輕重的作用.因此在解題時(shí)自覺(jué)運(yùn)用方程的思想，不僅有利于解題思路的尋求和優(yōu)化，也有利于溝通知識(shí)的縱橫聯(lián)系，對(duì)拓寬學(xué)生的思路、發(fā)展他們的智力、培養(yǎng)創(chuàng)造性思維等都具有十分重要的意義.

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