反例在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

何艷萍

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用反例展開教學(xué)可以有效促進(jìn)學(xué)生對概念、定理、公式等的理解和掌握，更直觀地引導(dǎo)學(xué)生判斷命題的真假，幫助學(xué)生克服思維定式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教師應(yīng)結(jié)合實(shí)際選取具有針對性的反例并在課堂教學(xué)時選擇恰當(dāng)時機(jī)引入。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 反例教學(xué) 意義與策略

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）04A-0125-02

在初中數(shù)學(xué)八年級的教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)了“命題與證明”這一內(nèi)容，接觸到了反例這一概念。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，證明在幾何教學(xué)中的地位舉足輕重，反例的地位與之不相上下。反例的構(gòu)建和應(yīng)用是一種非常重要的教學(xué)手段和方式，它有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，幫助學(xué)生有效進(jìn)行知識的整合。如果教師能對反例運(yùn)用得當(dāng)，可事半功倍。

一、有效促進(jìn)學(xué)生對概念的理解和掌握

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，小學(xué)數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)比較生活化、直觀化，而初中概念教學(xué)由生活化向抽象化轉(zhuǎn)換，更具有邏輯性。學(xué)生在學(xué)習(xí)概念時容易出現(xiàn)理解或認(rèn)識錯誤的現(xiàn)象，要是教師只運(yùn)用正面的例子來引導(dǎo)學(xué)生，學(xué)生的理解不夠深刻，若教師在這個時候適當(dāng)?shù)亓信e反例，從反面消除學(xué)生出現(xiàn)的疑惑，從側(cè)面抓住概念的本質(zhì)，彌補(bǔ)正面例子的不足，可以加深學(xué)生對概念的理解，讓學(xué)生不僅弄清“是什么”，還弄清“不是什么”。

例如，在“有理數(shù)”的概念教學(xué)當(dāng)中，教師可以通過練習(xí)“請?jiān)谙铝袛?shù)中找出所有的有理數(shù)：-2，[13]，0.56，1.1010010001……（1和1之間每次增加一個0），[1π]”展開概念教學(xué)，學(xué)生有可能會得出1.1010010001……（1和1之間每次增加一個0）和[1π]也是有理數(shù)的結(jié)論，教師可引導(dǎo)學(xué)生著重分析“有理數(shù)”的概念“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)”表達(dá)的更具體的含義——分?jǐn)?shù)可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，所以又可以說有理數(shù)包括整數(shù)、有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)。1.1010010001……（1和1之間每次增加一個0）和[1π]都是無限的，但是它們是不循環(huán)小數(shù)，所以它們不是有理數(shù)。

再例如，在八年級學(xué)到“函數(shù)”概念時，學(xué)生認(rèn)為只要一個變量隨另一個變量變化而變化，就是函數(shù)。教師可以讓學(xué)生思考以下問題：“下列變量關(guān)系中，說法正確的有哪些：①若[y]=x，則y是x的函數(shù)；②若y=2[x]（x≥0），則y是x的函數(shù)；③水管中水流的速度和水管的長度成函數(shù)關(guān)系?！闭_的答案是②。說法①：設(shè)x=5，[y]=5，y=±5，在函數(shù)關(guān)系中，當(dāng)給定了x的值，y只能有唯一的值與它對應(yīng)，所以①的說法是錯誤的。說法③：水管中水流的速度不會受到水管的長度的影響，所以它們之間不存在函數(shù)關(guān)系。通過恰當(dāng)?shù)姆蠢?，學(xué)生深刻理解和掌握了所要學(xué)習(xí)的概念。

二、有效且直觀地判斷真假命題

肯定一個命題的正確性，需要經(jīng)過嚴(yán)密的推理和論證，而要推翻一個命題，只需要一個反例即可。一個具體的實(shí)例讓學(xué)生在矛盾沖突中，更深刻地理解和掌握與命題相關(guān)的概念性質(zhì)。

例如：①如果[a]=[b]，那么a=b。

反例：當(dāng)a和b互為相反數(shù)，如2和-2時，[2]=[-2]，但2≠-2。

②帶有負(fù)號的數(shù)是負(fù)數(shù)或-a是負(fù)數(shù)。

反例：-0=0，或當(dāng)a=-5時，-a=-（-5）=5，但0和5都不是負(fù)數(shù)。

③相等的角是對頂角。

反例：圖1中互為鄰補(bǔ)角的兩個直角∠ACB=∠ACD，圖2等腰直角三角形ABC中∠A=∠B，但是∠ACB和∠ACD、∠A和∠B都不是對頂角。

④帶根號的數(shù)都是無理數(shù)。

反例：[9]=3，但是3不是無理數(shù)。

⑤如果a2=b2，那么a=b。

反例：（-4）2=42，但是-4≠4。

三、使學(xué)生正確掌握數(shù)學(xué)定理、公式和性質(zhì)

學(xué)生在學(xué)習(xí)一個新的定理、公式和性質(zhì)時，往往會忽視定理、性質(zhì)中的關(guān)鍵詞，不注意使用的條件，只側(cè)重記住結(jié)論，生搬硬套從而造成解題錯誤。為了改善這一現(xiàn)象，教師可適當(dāng)引入反例，幫助學(xué)生理解與掌握定理和性質(zhì)。

例如，在學(xué)習(xí)八年級全等三角形的判定方法“兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等，記為邊角邊或SAS”時，學(xué)生往往忽略掉“夾角”這一個判定的關(guān)鍵，錯誤地記成“兩邊和一角”即SSA，此時，教師可以出示反例：如圖3，AB=AB，AC=AD，∠ABC=∠ABD，已具備了“兩邊和一角”的條件，但顯然第三邊BC與BD的長度不相等，△ABC和△ABD并不全等。所以在滿足了“兩邊和一角”的條件后，“一角”必須是“兩邊”的“夾角”才可以由“邊角邊”的判定方法得到三角形全等。學(xué)生理解了這個定理中夾角的“夾”的深刻含義，達(dá)到準(zhǔn)確掌握和運(yùn)用定理的目的。

再例如，學(xué)生在運(yùn)用一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與性質(zhì)時會忽略k≠0。教師在教學(xué)時可以有針對性地引入這樣一道題：“一次函數(shù)y=（4a-5）x-（2a-2），當(dāng)a，b為何值時，函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方？甲乙兩名學(xué)生解答得到不同答案。甲的解答：-（2a-2）<0，解得a>1；乙的解答：4a-5≠0且-（-2a-2）<0，解得a>1且a≠[54]。誰是正確的呢？”學(xué)生在經(jīng)過思考和討論后，得出甲錯、乙對的結(jié)論，教師此時就可以引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，分析發(fā)現(xiàn)甲同學(xué)在解題過程中，忽略了一次函數(shù)斜率k≠0的條件，而乙同學(xué)在解題過程中考慮到了k≠0的條件。通過這一反例，教師引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上理解如何正確運(yùn)用定理與性質(zhì)，學(xué)生認(rèn)識到在實(shí)際解題過程中，必須要全面考慮滿足定理、性質(zhì)所需要的條件，注意當(dāng)中的關(guān)鍵詞，按要求去做。

四、有效克服思維定式

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易產(chǎn)生思維定式，反例的應(yīng)用能夠有效解決此問題。例如，在學(xué)習(xí)了勾股定理后，學(xué)生把“勾3、股4、弦5”念成了順口溜，他們只要看到一個直角三角形的兩邊的長分別是3和4，就得到第三邊的長為5，此時就有必要舉出反例了：當(dāng)邊長為4的邊不是直角邊而是斜邊時，第三邊的長為[7]。這樣一來，學(xué)生就會從多個角度去考慮問題，避免機(jī)械記憶。

五、有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思維

心理學(xué)試驗(yàn)告訴我們，差別大的東西、異常的信號，往往會刺激到我們的大腦，首先引起我們的注意；同樣的東西，從不同的角度去看，會有不同的感覺，給人以新鮮感，讓人產(chǎn)生繼續(xù)了解的欲望。反例教學(xué)具有直觀、生動、易懂的特點(diǎn)，教師恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反例能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生在探索的過程中展開想象，享受創(chuàng)造的樂趣。

在講授《實(shí)數(shù)》一節(jié)時，筆者在練習(xí)中設(shè)計了一道題：“請判斷以下說法是否正確：①兩個有理數(shù)的和一定是有理數(shù)；②兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)?！睂W(xué)生對這兩種說法的正確性展開了討論，尤其是在對②進(jìn)行討論時，舉出了如[3]和-[3]，[π]和-[π]等反例，它們都互為相反數(shù)，和都等于0，0是有理數(shù)。有一名學(xué)生給出這樣的例子：a=1.01001000100001……，b=2.10110111011110……，a與b都是無理數(shù)且不互為相反數(shù)，但a+b=3.11111111111111……卻是一個無限循環(huán)小數(shù)，是有理數(shù)。這名學(xué)生給出的例子更進(jìn)一步說明了說法②是錯誤的。通過舉反例，學(xué)生對有理數(shù)與無理數(shù)的學(xué)習(xí)充滿興趣，更深刻地認(rèn)識有理數(shù)和無理數(shù)，也引發(fā)了學(xué)生進(jìn)行更深刻討論：兩個無理數(shù)的差會是有理數(shù)還是無理數(shù)呢？積呢？一個有理數(shù)與一個無理數(shù)的和、差、積又會分別得到有理數(shù)還是無理數(shù)呢？學(xué)生由被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向主動學(xué)習(xí)。

反例教學(xué)是借助少量有針對性、有代表性的反面例子與正面例子進(jìn)行比較，讓學(xué)生獲得全面的、完整的知識，掌握概念的本質(zhì)。但是如果反例的引入時機(jī)不對，或反例繁雜、沒有針對性，就會讓學(xué)生更迷糊，弄巧成拙。所以，教師選取的反例必須從教學(xué)實(shí)踐中來，真實(shí)而生動；必須少而精煉、有針對性、典型性；必須適時而入，循序漸進(jìn)。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反例教學(xué)，能使學(xué)生全面、深刻地認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)概念，鞏固和掌握性質(zhì)、定理，克服思維定式，發(fā)現(xiàn)問題、糾正錯誤，發(fā)散思維。因此，教師應(yīng)加強(qiáng)對反例教學(xué)的研究，在教學(xué)中更靈活地運(yùn)用反例教學(xué)、更好地把控課堂。

（責(zé)編 劉小瑗）