基于兒童思維 構(gòu)建幾何直觀

摘 要：數(shù)學(xué)家克萊因說過：“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握。”幾何直觀作為最新提出的核心概念之一，得到了普遍的認(rèn)可，但是由于受兒童的思維特質(zhì)的影響，該概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用還存在一定的問題。因此為了更好地實現(xiàn)幾何直觀的價值，教師就需要依據(jù)兒童的思維，填補(bǔ)兒童的思維斷層，使其得到長足的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：兒童思維；幾何直觀；表象；語言

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 收稿日期：2018-03-07

作者簡介：喬國鋒（1976—），男，江蘇蘇州人，江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤實驗小學(xué)教師，一級教師，本科，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將“幾何直觀”定位為十大核心概念之一，同時指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題?！苯柚鷰缀沃庇^可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路、預(yù)測結(jié)果，幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！庇纱丝梢?，幾何直觀對學(xué)生的思維發(fā)展有著極其重要的價值，同時也是一種解決數(shù)學(xué)問題的思維方式，而這樣的思維方式的建立對學(xué)生一生的數(shù)學(xué)發(fā)展都有著決定性的作用。但是由于“幾何”本來帶有一定的嚴(yán)格抽象的推理邏輯，對兒童而言是存在一定難度的。那么如何依據(jù)兒童的思維，填補(bǔ)兒童的思維斷層，真正實現(xiàn)其發(fā)展呢？可以從以下幾個方面做好鋪墊：

一、重視兒童的直觀感知

教育家夸美紐斯把“直觀”理解為利用一切感覺器官，更好地、更鮮明地、更牢固地掌握事物。西方哲學(xué)家通常認(rèn)為：“直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質(zhì)的認(rèn)識?！睂τ趦和瘉碚f，他們的認(rèn)知都不是空白的，并且進(jìn)入群體生活后，他們在日常的生活體驗中會積累一定的經(jīng)驗。例如，兒童在玩耍蹺蹺板時，通過哪頭翹起可以判斷物體的輕重，這為他們將來認(rèn)識天平方程等式積累直觀經(jīng)驗。再如，兒童在用積木拼搭物體時，會考慮使用幾何形狀來代替某些部件，甚至還會考慮數(shù)量的關(guān)系，比如搭一個餐桌，他們肯定會找四根一樣長度的積木，這樣的體驗雖然是直觀的，但是又觸及了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，同時這些直觀感知為兒童建立后期的幾何直觀奠定了基礎(chǔ)。

同時進(jìn)入小學(xué)階段學(xué)習(xí)后，低年級兒童正處于直觀思維階段，教師可以順應(yīng)兒童的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，采用“做中學(xué)”的方式，加強(qiáng)和擴(kuò)充他們的直觀感知素材，以此來進(jìn)一步發(fā)展他們的空間觀念。例如，學(xué)生可以通過對基本圖形的分類、剪拼加深理解圖形的本質(zhì)，教師還可以通過讓學(xué)生觀察某一個圖形，讓其重構(gòu)一個圖形。如學(xué)生觀察一個正方形塑料片后，可以通過選擇合適的木棒進(jìn)行重構(gòu)，這不僅可以加深他們對圖形的表征能力，更能理解正方形的本質(zhì)特征，還能使他們的思維有一定的飛躍，感覺到所學(xué)的知識是“具體現(xiàn)實的，親身體驗的，眼睛能看到的或是感覺到的，甚至想象的”，這樣的感性認(rèn)識可以將枯燥的知識直觀化、形象化、趣味化，為“幾何直觀”奠定基礎(chǔ)，打開思維大門。

二、加強(qiáng)兒童的數(shù)學(xué)表象

著名數(shù)學(xué)家徐利治先生也有過對幾何直觀的描述：“幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系，產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知?！睆倪@個角度而言，幾何直觀是兒童走向數(shù)學(xué)本質(zhì)的一種路徑。小學(xué)階段的兒童還離不開具體事物的支持，這時候教師需要利用幾何直觀圖形的直觀性，將其深刻地植入兒童的頭腦中，以便于他們在日后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有效提取。例如，在《認(rèn)識小數(shù)》的教學(xué)中，學(xué)生雖然已經(jīng)在日常生活中見過小數(shù)，同時在具體的學(xué)習(xí)情境中能使用小數(shù)，甚至能比較小數(shù)的大小，但未必能對小數(shù)有本質(zhì)的理解。因此，在教學(xué)中，教師可以將抽象的數(shù)和具體的形相結(jié)合，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行教學(xué)。在教學(xué)時教師出示一把米尺，在米尺中上找到1分米，從分?jǐn)?shù)的角度得到1/10米，接著得到0.1米。教師在這樣的過程中，利用一把米尺讓原來抽象的小數(shù)顯現(xiàn)出來，并讓學(xué)生明確小數(shù)的來歷，更容易感受部分與整體的關(guān)系。同時通過這樣的方式，還能為學(xué)生未來學(xué)習(xí)小數(shù)的相關(guān)知識奠定基礎(chǔ)，比如0.5和0.50的理解，通過圖形能清晰表示出兩者的異同點。

“幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識別或猜想的心理狀態(tài)?！眱和臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)依賴于幾何直觀來幫助他們理解和思考，通過圖形的直觀性，他們可以一覽無余地感受到數(shù)之間的關(guān)系，從而快速識別，拓展思維廣度，更為自己解決數(shù)學(xué)問題提供思路。

三、實現(xiàn)文字語言與幾何語言的轉(zhuǎn)化

華羅庚說：“數(shù)無形不直觀，形無數(shù)難入微。”從這個角度而言，其實質(zhì)是把數(shù)學(xué)問題中的運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系等與幾何圖形與直觀圖像聯(lián)系起來進(jìn)行思考，用“形”的直觀補(bǔ)足“數(shù)”的抽象，從而使“數(shù)”與“形”相互依存，優(yōu)勢互補(bǔ)，相輔相成，為順利解決問題提供有效的抓手。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，基本都是以文字來說明條件、以文字來提出問題的。在小學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)，由于整數(shù)、小數(shù)日常生活常見，所以學(xué)生在理解上難度不是很大，但是，學(xué)生在五、六年級的時候?qū)W習(xí)分?jǐn)?shù)，明顯會感覺到難度很大，因為分?jǐn)?shù)的形式是用兩個整數(shù)表示一個不是整數(shù)的數(shù)，因此其表征性更加隱蔽，造成了學(xué)生解答上的困惑。例如，在“每小時刷一面墻的1/5，1/4小時刷這面墻的幾分之幾？”這個問題上，1/5表示的是一個分率，是把墻看成了單位“1”，但是學(xué)生在理解這個問題的時候，眼中只有分?jǐn)?shù)1/5，很難將整面墻聯(lián)系起來，而教師如果在講解這個問題時，只是讓學(xué)生機(jī)械理解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題步驟，那么將毫無意義。因此學(xué)生要將語言文字進(jìn)行幾何表達(dá)，在這個轉(zhuǎn)化的過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生用圖畫的形式表示出條件，先用粉色表示1/5，接著再思考1/4小時如何表示，這是一個需要慢慢思考的過程，因為這個過程需要學(xué)生抓住抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言之間的聯(lián)系，從而為發(fā)展幾何直觀的能力提供路徑，啟發(fā)思路，促進(jìn)數(shù)學(xué)思考方法的發(fā)展，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上的一次思維飛躍。

四、推理中展現(xiàn)幾何直觀的思維路徑

推理是從已有的判斷得出新判斷的思維形式。在小學(xué)階段，學(xué)生比較常用合情推理來解釋問題，雖然合情推理能避免高度抽象給他們帶來的學(xué)習(xí)障礙，但是推理究其思維難度比較高，所以對絕大部分學(xué)生來說問題還是比較多。因此這就需要學(xué)生把抽象的數(shù)學(xué)問題變成直觀的幾何直觀問題，使它們成為解決數(shù)學(xué)問題的向?qū)?，從而產(chǎn)生更為合理的理解，實現(xiàn)數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來的，而不是“證”出來的。例如，在五年級奇偶性問題時，教師讓學(xué)生說明兩個奇數(shù)相加的和是什么數(shù)，大部分學(xué)生都舉例子進(jìn)行說明，如1+3=4、3+5=8等，其中有學(xué)生進(jìn)行了幾何直觀證明，他把1畫成了一個正方形，3畫成了3個正方形，“1+3=4”，4個正方形他畫成了“2×2”的正方形矩陣形式。以此類推，在畫的過程中我們可以發(fā)現(xiàn)，怎么畫都可以是2個倍數(shù)，不會出現(xiàn)余1個的情況，這樣直觀的發(fā)現(xiàn)不僅有助于學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)數(shù)字間的規(guī)律，還能開辟學(xué)生新的思維路徑。正如有數(shù)學(xué)家說，所謂的“看”是一種直接判斷，是建立在長期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化。這是一種難能可貴的數(shù)學(xué)潛質(zhì)，通過直觀引發(fā)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)中得到結(jié)論，既簡潔明了又格外深刻，這就是幾何直觀的妙處。

幾何通常被喻為“心智的磨刀石”，在數(shù)學(xué)研究中起著聯(lián)絡(luò)、理解，甚至是提供方法的作用。而幾何直觀則沿著一條“具體—抽象—具體”的思維路徑，用圖形闡述數(shù)學(xué)問題、用圖形描述問題、用圖形討論問題，形成生動的表象，實現(xiàn)讓數(shù)學(xué)在抽象與直觀間不斷轉(zhuǎn)化，以此形成概念、發(fā)展規(guī)律，最后幫助學(xué)生實現(xiàn)自己的創(chuàng)造性。

參考文獻(xiàn)：

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