深挖教材,優(yōu)化解題

肖啟斌

(福建省武平一中 福建 武平 364300)

目前,在不少中學(xué)數(shù)學(xué)老師中有這樣一種傾向：在教學(xué)過程中不重視教材中的例題,喜歡另外選題進(jìn)行教學(xué),這樣無形中增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān)!課本是重要的教學(xué)資源,例題是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分,是連接理論知識(shí)與問題之間的橋梁,不是題目的簡(jiǎn)單堆砌,而是教材的精華,其特點(diǎn)是緊扣教材,難度適中,面向全體學(xué)生,例題對(duì)引導(dǎo)學(xué)生如何由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力具有很好的示范功能和模型功能。著名數(shù)學(xué)家G·波利亞說：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目,去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個(gè)方面,使其通過這道題,就好像通過一道門戶,把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域．”老師應(yīng)該立足教材,開發(fā)教材,做透教材中的典型例題和習(xí)題,我們不但應(yīng)該會(huì)做,而且還應(yīng)該對(duì)課本例題進(jìn)行反思,不僅要反思解題過程,更要反思教材通過例題向我們傳達(dá)些什么,在解題思路和方法上提示規(guī)律,啟發(fā)思維,幫助學(xué)生了解和掌握其豐富的內(nèi)涵,促使學(xué)生不僅要學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí),而且更重要的是提高學(xué)生的思維水平;最終實(shí)現(xiàn)在日常學(xué)習(xí)中跳出題海,高效備考。

下面通過幾道課本例題的探究,結(jié)合自己教學(xué)實(shí)踐談?wù)勛疽姟?/p>

在人教A版必修1中§1．2函數(shù)及其表示,例題1：

(1)求函數(shù)的定義域。

(2)求f(－3),f()的值。

(3)當(dāng)a＞0時(shí),求f(a),f(－1)的值。

在實(shí)際教學(xué)中,很多老師一帶而過;其實(shí)當(dāng)我們深入體會(huì),認(rèn)真分析,我們會(huì)發(fā)現(xiàn),這是一道信息量非常大的題目：如能講清這一道題,對(duì)指導(dǎo)學(xué)生突破高中數(shù)學(xué)第一個(gè)難點(diǎn),掌握函數(shù)概念,深刻理解數(shù)學(xué)思想,會(huì)具有很好的示范作用。

一、求函數(shù)的定義域

由第(1)小題可知,x＋3≥0且x＋2≠0,可以得到結(jié)論,進(jìn)而概括有具體解析式的函數(shù)的定義域的求法,但我們不該只到此為止,結(jié)合第(3)小題,當(dāng)把x換成a與a－1時(shí),可求出f(a),f(a－1)的值;深入分析,f(x)與f(x－1)中,x的取值范圍一樣嗎?通過分析,其實(shí)應(yīng)該是x與x－1的取值范圍是一樣的。如此推廣,就可以求抽象函數(shù)的定義域。

如“已知函數(shù)f(2x－1)的定義域,求f(1－3x)的定義域”。

從而可以得到更為一般性的結(jié)論：已知函數(shù)f(x)的定義域,可以把x代換成g(x),h(x),進(jìn)而求函數(shù)f(g(x)),f(h(x))的定義域,或者已知f(g)(x))的定義域,求函數(shù)f(h(x))的定義域,這里面x,g(x),h(x)的取值范圍相同,這是求抽象函數(shù)定義域的關(guān)鍵。

二、求函數(shù)的值

在第(2)小題中,分別把－3,代入,可以求出f(－3),f的值,其本質(zhì)是一般到特殊的代換。若我們進(jìn)而設(shè)問,如何求f(f(－3))的值?這樣實(shí)際就是重復(fù)代換的過程,先求出f(－3)＝－1,然后把－1代入求出。在此基礎(chǔ)之上,就可以引出分段函數(shù)或復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式及函數(shù)值的求解。

如：已知(2))的值,或求f(g(x))與g(f(x))的解析式。

通過比較,我們還可以得到結(jié)論,一般情況下,f(g(x))與g(f(x)),因?yàn)檫\(yùn)算順序不同,所以所得函數(shù)也不同。

三、求函數(shù)解析式

在第(3)小題中,求出了f(a),f(a－1)的值之后,繼續(xù)設(shè)問,如何求f(x－1)?這個(gè)問題不難。我們要再深入下去,這是由f(x)求f(x－1),那么反過來,已知f(x－1),又如何求f(x)呢?這顯然就是逆向思維,前面是把x換成x－1,后面是把x－1換成x,進(jìn)而,我們又可以概括出,已知的解析式,如何逆求f(x)的解析式,其本質(zhì)就是一種化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

如：已知求f(x)的解析式。

通過對(duì)本例的分析、拓展,我們就可以把函數(shù)這一節(jié)中的幾個(gè)難點(diǎn)有機(jī)地聯(lián)系在一起,從而降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度,提高學(xué)習(xí)效率。

結(jié)束語：數(shù)學(xué)例題的設(shè)計(jì)與運(yùn)用不能只滿足一題一解一問一答,還需要老師在 “活”字上做文章,對(duì)于一道例題,老師可以通過對(duì)題目進(jìn)行變化：如一題多問,從多方面提出問題,讓學(xué)生思考問題;也可以一題多解,結(jié)合學(xué)生實(shí)際,從不同方面啟發(fā),引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去思考,用多種方法來解答;還可以一題多變,因敘述方法不同,所反映問題的深淺程度也不一樣,可以設(shè)計(jì)順向性和逆向性的例題,也可以是求同性和求異性的例題。通過對(duì)例題的活用,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展與變化過程,能夠較好地幫助學(xué)生形成一定的分析問題,解決問題的能力,更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)字素養(yǎng)。

[1]一道課本例題的探究與應(yīng)用 山西省孝義中學(xué) 張立政談高中數(shù)學(xué)課本習(xí)題功能 田素欣《讀寫算教研版》15年第8期利用課本習(xí)題功能增強(qiáng)教學(xué)效果,江蘇省張家港市梁豐中學(xué) 吳靜