關(guān)于π-余模子余代數(shù)的一個(gè)注記

陳華喜，魯 琦

（蚌埠學(xué)院理學(xué)院，安徽蚌埠233030）

Hopf代數(shù)是代數(shù)學(xué)的新分支，由于其與李代數(shù)、微分幾何以及統(tǒng)計(jì)物理等學(xué)科有著密切聯(lián)系，所以近些年來(lái)一直被廣泛地研究，并成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)之一。作為通常的Hopf代數(shù)的推廣，Hopf π-余代數(shù)和Hopf π-代數(shù)（其中π為一乘法群）自V.G.Turaev引進(jìn)以來(lái)，已經(jīng)得到廣泛地關(guān)注和研究。2002年，Virelizer A［1］研究了 Hopf π-余代數(shù)的一些重要性質(zhì)；2004 年，WANG Shuanhong［2］首次提出了 π-H-余模代數(shù)的概念，并在此基礎(chǔ)上討論了與π-H-余模代數(shù)相關(guān)的Maschke-type定理；2006年，WANG Shuanhong［3］又研究了 Hopf π-余代數(shù)的π-Galois擴(kuò)張及Morita Context；緊接著在 2007年，WANG Shuanhong［4］進(jìn)一步研究了 Hopf π-余代數(shù)與余擬三角 Hopf π-代數(shù)有關(guān)的 Drinfeld co-double；2009 年，趙士銀等［5］研究了Hopf π-余理想的相關(guān)重要性質(zhì)。

本文首先引進(jìn)了π-H-余模余代數(shù)以及π-H*-模代數(shù)等概念，然后給出了局部有限維的π-H-余模余代數(shù)與π-H*-模代數(shù)間的對(duì)偶關(guān)系，接著又引進(jìn)了π-H-余模子余代數(shù)以及π--模理想的概念，最后給出并證明了Hopf π-余代數(shù)上的π-余模余代數(shù)的一簇子空間J構(gòu)成Hopf π-余代數(shù)上π-H-余模子余代數(shù)的充要條件。

在本文中，約定π表示單位元為1的任一乘法群，K表示一個(gè)域，所涉及到的向量空間均為K向量空間，所有的映射均為K-線性映射，且A?KB寫(xiě)成A?B。除特殊說(shuō)明外，在本文中涉及到的π-（余）模均指的是右π-（余）模。有關(guān)π-余代數(shù)、π-代數(shù)、π-H-余模同態(tài)以及π--模同態(tài)等定義可參考文獻(xiàn)［1］和［6］。下面給出本文中所涉及到的Hopf π-余代數(shù)、Hopf π-代數(shù)、π-H-余模以及π--模的定義。

定義1［1］設(shè)H=（｛Hα｝α∈π，Δ，ε）為π-余代數(shù)，給定一簇K-線性映射S=｛Sα│Hα→Hα-1｝α∈π（反極元），若滿足以下 3 個(gè)條件：1）對(duì)任意的 α∈π，（Hα，mα，uα）是 K-代數(shù)；2）對(duì)任意的 α，β∈π，K-線性映射 Δα，β∶Hα，β→Hα?Hβ和 ε∶H1→K都為代數(shù)同態(tài)；3）對(duì)任意的

則稱 H=（｛Hα，mα，uα｝α∈π，Δ，ε，S）為 Hopf π-余代數(shù)。

注 由此可見(jiàn)，Hopf π-余代數(shù)是Hopf代數(shù)的一種推廣。

定義2［6］設(shè)=（｛α｝α∈π，m，u）為π-代數(shù)，給定一簇K-線性映射s=｛sα∶α→α-1｝α∈π（反極元），若滿足以下3個(gè)條件：1）?α∈π，｛H~α，Δα，εα｝是K-余代數(shù)，記Δα（h）=∑h（1，α）?h（2，α）∈α?α，?h∈α；2）對(duì)任意的 α，β∈π，K-線性映射，u∶K→1和 mα，βα?β→α，β都為余代數(shù)同態(tài)；3）對(duì)任意的 α∈π，則稱為 Hopf π-代數(shù)。

注 當(dāng)π=｛1｝，此時(shí)Hopf π-代數(shù)就是通常意義下的Hopf代數(shù)。

定義 3［1］設(shè) H=（｛Hα｝α∈π，Δ，ε）是一個(gè) π-余代數(shù)，若存在一簇 K-向量空間 M=｛Mα｝α∈π，以及一簇K-線性映射 ρ=｛ρα，β∶Mαβ→Mα?Hβ｝α，β∈π，使得對(duì)于任意的 α，β，γ∈π，下式成立

則稱（M，ρ）為H上的π-余模，記作π-H-余模M。

注 （1）對(duì)任意 m∈Mαβ，α，β∈π。

（2）對(duì)于任意的 α，β，γ∈π，m∈Mαβγ，式（1）可寫(xiě)成可記為這樣的記號(hào)可推廣到 n 個(gè)分量的情形。

定義 4［6］設(shè)是一個(gè) π-代數(shù)，若存在一簇線性空間 P=｛Pα｝α∈π，以及一簇 K-線性映射且使得對(duì)于任意的 α，β，γ∈π，下式成立

則稱（P，ηP）為上的 π-模，記作 π--模 P。

以下討論中，所涉及到的Hopf π-余代數(shù)以及π-余模均指的是局部有限維的。其中局部有限維的π-余模M=｛Mα｝α∈π是指其每一個(gè)K-向量空間Mα（?α∈π）都是有限維的。

首先引入映射：如果 H=（｛Hα｝α∈π，Δ，ε）是一個(gè) π-余代數(shù)，由Δα，β∶Hαβ→Hα?Hβ，ε∶H1→K 可以導(dǎo)出映射和ε*∶K*→H1*，記映射其中是合成映射Hα*?記映射是合成映射

定義 5 設(shè) H=（｛Hα｝α∈π，Δ，ε，S）是一個(gè) Hopf π-余代數(shù)，C=（Cα，Δ'α，ε'α）α∈π是一簇余代數(shù)，其中余代數(shù) Cα的余乘法為 Δ'α（c）=∑c（1，α）?c（2，α），?c∈Cα，α∈π。若存在一簇 K-線性映射 ρ=｛ρα，β∶Cαβ→Cα?Hβ｝α，β∈π，且使得下列條件成立：

（1）C=｛Cα｝α∈π，ρC=｛ρCα，β｝α，β∈π是一個(gè) π-H-余模；

（2）對(duì)于任意的即對(duì)于任意的 c∈Cαβ，有

（3）對(duì)于任意的其中

則稱為 π-H-余模余代數(shù)。

注 兩個(gè) π-H-余模的張量積 C?C=｛Cα?Cα｝α∈π仍然是一個(gè) π-H-余模，其中映射為該余模作用結(jié)構(gòu)映射［6］。

定義 6 設(shè)是一個(gè) Hopf π-代數(shù)，若存在一簇代數(shù) A=｛Aα，m'α，u'α｝α∈π，以及一簇K-線性映射且使得下列條件成立：1）是一個(gè)-模；2）對(duì)于任意的；3）對(duì)于任意的，其中則稱為 π--模代數(shù)。

注 兩個(gè)π-H-模的張量積A?A=｛Aα?Aα｝α∈π還是一個(gè)π--模，其模作用結(jié)構(gòu)映射為

引理 1 設(shè)=（｛α｝α∈π，m，u，s）是一個(gè) Hopf π-代數(shù)，A=｛Aα，m'α，u'α｝α∈π是一簇代數(shù)，且 A 是 π--模，則A成為π--模代數(shù)的充分必要條件為下面兩個(gè)交換圖成立

證明 由定義6中條件2），3）可得證。

引理 2［4］設(shè) H=（｛Hα，mα，uα｝α∈π，Δ，ε，S）是一個(gè)局部有限維的 Hopf π-余代數(shù)，則是一個(gè) Hopf π-代數(shù)，其中映射是映射的合成；映射是映射的合成。

定理 1［7］設(shè) H=（｛Hα｝α∈π，Δ，ε，S）是 Hopfπ-余代數(shù)，則 H 上的 π-H-余模余代數(shù) C=（｛Cα｝α∈π，ρ=｛ρα，β｝α，β∈π）的對(duì)偶是一個(gè) π-H*-模代數(shù)。

定義7 設(shè)M是π-余代數(shù)C的一個(gè)π-余模，N=｛Nα｝α∈π是一簇向量空間，Nα是Mα的子空間（其中，α∈π），并且ρα，β（Nαβ）?Nα?Cβ（其中，α，β∈π），則稱N是M的一個(gè)π-H-子余模。

定義 8 設(shè) H=（｛Hα｝α∈π，Δ，ε，S）是一個(gè) Hopf π-余代數(shù)，C=（｛Cα，Δ'α，ε'α｝α∈π，ρ=｛ρα，β｝α，β∈π）是 π-H-余模余代數(shù)，J=｛Jα│Jα?Cα｝α∈π是 C 的一簇子余代數(shù)（即對(duì)任意的 α∈π，Jα是 Cα的子余代數(shù)），且 J是 C的π-H-子余模，則稱J是C的一個(gè)π-H-余模子余代數(shù)。

設(shè) A=｛Aα｝α∈π是一簇代數(shù)，D=｛Dα│Dα?Aα｝α∈π是 A=｛Aα｝α∈π的一簇子空間，若對(duì)于任意 α∈π，Dα都是 Aα的理想，則稱 D=｛Dα｝α∈π是 A=｛Aα｝α∈π的一簇理想。

定義 9 設(shè)是一個(gè) Hopf π-代數(shù)，為 π--模代數(shù)。D=｛Dα│Dα?Aα｝α∈π是 A 的一簇理想，且 D=｛Dα│Dα?Aα｝α∈π是 A 的 π--子模，則稱 D 是 A 的一個(gè)的π--模理想。

引理 3［7］設(shè) C=｛Cα｝α∈π是一簇代數(shù)，且 Cα都是有限維的，J=｛Jα│Jα?Cα｝α∈π是 C=｛Cα｝α∈π的一簇子空間，則J是C的一簇子余代數(shù)的充要條件為J⊥=｛J⊥｝α∈π是C*的一簇理想。

引理 4 設(shè) H 為 Hopf π-余代數(shù)，（M，ρ）為 π-H-余模，N=｛Nα｝α∈π是 M=｛Mα｝α∈π的一簇子空間，則 N是M的一個(gè)π-H-子余模的充分必要條件為N⊥是M*的一個(gè)π-H*-子模。

證明 對(duì)任意的 α，β∈π，a∈Mα*，b∈Mβ*，c∈Mαβ，若設(shè) I=｛iα｝α∈π，其中 iα∶Nα→Mα為嵌入映射，顯然可得 ρα，βiαβ=（iα?idHβ）ρα，β，即 I=｛iα｝α∈π為 π-H-余模同態(tài)?？紤] I*=｛iα*｝α∈π，其中 iα*∶Mα*→Nα*為 iα的對(duì)偶映射，則有所以即 I*=｛iα*｝α∈π為 π-H*-模同態(tài)。

又由于且即 Nα⊥=再由所以即N⊥是M*的一個(gè)π-H*-子模。

定理 2 設(shè) H=（｛Hα｝α∈π，Δ，ε，S） 是一個(gè) Hopf π-余代數(shù)，C=｛Cα｝α∈π是一個(gè) H 上的 π-余模余代數(shù)，J=｛Jα│Jα?Cα｝α∈π是 C=｛Cα｝α∈π的一簇子空間，則 J 是 C 的 π-H-余模子余代數(shù)的充要條件為 J⊥=｛J⊥｝α∈π是 C*的 π-H*-模理想。

證明 由于 H=（｛Hα｝α∈π，Δ，ε）為局部有限維的 Hopf π-余代數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)［8］知，H*是一個(gè)局部有限維的Hopf π-余代數(shù)。

由定理1可知，H上的π-H-余模余代數(shù)C的對(duì)偶C*是一個(gè)π-H*-模代數(shù)，再由引理3知，J是C的一簇子余代數(shù)的充要條件為J⊥=｛J⊥｝α∈π是C*的一簇理想；最后，由引理4知，J是C的一個(gè)π-H-子余模的充分必要條件為J⊥是C*的一個(gè)π-H*-子模。

綜上可知，J是C的π-H-余模子余代數(shù)的充要條件為J⊥=｛J⊥｝α∈π是C*的π-H*-模理想。

［1］VIRELIZER A.Hopf group-coalgebras［J］.Journal of Pure and Applied Algebra,2002,171（1）:75-122.

［2］WANG Shuanhong.A Maschke type theorem for Hopf π-comodules［J］.Tsukuba J Math,2004,28（2）:377-388.

［3］WANG Shuanhong.Morita Contexts,π-Galois extension for Hopf π-coalgebras［J］.Communications in Algebra,2006,34（2）:521-546.

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［7］陳華喜,殷曉斌.Hopfπ-余模余代數(shù)的對(duì)偶［J］.山東大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版）,2011,46（12）:46-50.

［8］趙士銀.Hopfπ-余代數(shù)與單側(cè)π-余理想［J］.山東理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2008,29（2）:163-165.