淺談高斯分布的原理和應(yīng)用

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(佛山市第一中學(xué))

一、高斯分布的起源與發(fā)展

在一個(gè)釘滿釘子的三角木板頂端投放一個(gè)小球，讓其自由下落，若其下落到規(guī)定位置，便能得到獎(jiǎng)品。這便是高爾頓的釘板試驗(yàn)。參與者們覺(jué)得試多幾次便能將獎(jiǎng)品要到手，但事與愿違，像是被一股“神力”牽引著一般，小球就是不落到人們期待的那個(gè)位置。最終人們發(fā)現(xiàn)，中獎(jiǎng)的概率實(shí)在是太低了！

倘若拋開(kāi)中獎(jiǎng)與否的問(wèn)題，細(xì)心觀察，便不難發(fā)現(xiàn)：這個(gè)小球下落的軌跡近似一條優(yōu)美的曲線。而這條曲線，早在幾百年前，便被冠以“正態(tài)分布的密度曲線”的稱號(hào)。正態(tài)分布是最重要的一種概率分布。起初，它是由德國(guó)的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家德莫佛于1733年提出的。

后來(lái)，因德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯率先將其運(yùn)用到天文學(xué)研究中，故正態(tài)分布又稱為高斯分布?，F(xiàn)今德國(guó)10馬克的紙幣上不僅印有高斯的頭像，更印有正態(tài)分布的密度曲線，足見(jiàn)其對(duì)于正態(tài)分布應(yīng)用取得的成就之偉大。高斯發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象時(shí)，人們還未認(rèn)識(shí)到其全部影響。后來(lái)拉普拉斯將這個(gè)發(fā)現(xiàn)與自己的中心極限定理相聯(lián)系，指出：“若誤差能看作許多量的疊加，誤差也應(yīng)服從高斯分布?！倍履?拉普拉斯中心極限定理也被許多數(shù)學(xué)家運(yùn)用于其他領(lǐng)域，并發(fā)現(xiàn)對(duì)于一系列重要的統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)樣本N趨于無(wú)窮時(shí)，其極限分布都有正態(tài)的形式，這構(gòu)成了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中大樣本理論的基礎(chǔ)。

二、高斯分布的原理

1.正態(tài)分布

μ和σ作為正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的兩個(gè)重要參數(shù)，對(duì)于曲線的位置和形狀具有決定性的作用。μ是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的均值，稱為位置參數(shù)：當(dāng)μ減小時(shí)，曲線向左移動(dòng)；當(dāng)μ增大時(shí)，曲線向右移動(dòng)(如圖1)；σ是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，稱為變異參數(shù)：當(dāng)σ越小時(shí)，數(shù)據(jù)越集中，曲線越“瘦”；當(dāng)σ越大時(shí)，數(shù)據(jù)越離散，曲線越“胖”(如圖1)；由于對(duì)于任意一個(gè)時(shí)間，所有可能結(jié)果的概率之和均為1，故曲線下的面積是1；故正態(tài)分布的概率密度曲線的期望值μ決定了其位置，其標(biāo)準(zhǔn)差σ決定了其幅度，又其曲線呈鐘形，所以又稱之為“鐘形曲線”。

分布函數(shù)(如圖2所示)為：

(3)3σ準(zhǔn)則

當(dāng)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí)，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可得：

3.正態(tài)分布與二項(xiàng)分布的對(duì)比(略)

三、高斯分布的應(yīng)用

1.正態(tài)分布在確定優(yōu)生分?jǐn)?shù)線中的應(yīng)用

在每一場(chǎng)考試中，總有一些刻苦學(xué)習(xí)同學(xué)能取得比較好的分?jǐn)?shù)。那么應(yīng)該以怎樣的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)將劃分出這些優(yōu)等生呢？如果單單以一個(gè)“得分率90%”來(lái)劃分，看似簡(jiǎn)單快捷，但由于每場(chǎng)考試的難易程度都不盡相同，故這樣的評(píng)價(jià)方法未免太過(guò)粗糙，無(wú)法實(shí)現(xiàn)一般化。那么該如何確定優(yōu)等生的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)呢？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，運(yùn)用正態(tài)分布理論便可以輕松解決(證明略)。

2.正態(tài)分布在等級(jí)評(píng)定中的應(yīng)用

在每個(gè)學(xué)期的期末，在每位學(xué)生的學(xué)生手冊(cè)上，個(gè)別科目會(huì)打出A、B、C、D四個(gè)等級(jí)來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生本學(xué)期在該科目的表現(xiàn)情況。假設(shè)某位同學(xué)得到了A等級(jí)，可雖然這位同學(xué)拿到了A等級(jí)，但他卻不知道還有多少同學(xué)也拿到了A等級(jí)，換言之，他不知道自己在年級(jí)中大概處于什么位置。這個(gè)問(wèn)題看似棘手，可倘若運(yùn)用正態(tài)分布原理，答案便會(huì)變得清晰起來(lái)。

3.正態(tài)分布在車門高度設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

在公共汽車的制造過(guò)程中，有一個(gè)問(wèn)題是不可回避的：車門的高度應(yīng)該如何確定，才能確保大部分的人都不碰頭而通過(guò)呢？如果只是簡(jiǎn)單地以2m作為車門高度，的確能讓大部分的人不碰頭，但是這樣設(shè)計(jì)未免會(huì)讓車高過(guò)高，增加制造成本，所以這個(gè)方法不可取，應(yīng)設(shè)計(jì)一個(gè)更為科學(xué)的確定方案。結(jié)合“讓大部分人不碰頭”的本質(zhì)是一個(gè)概率問(wèn)題，不難想到，可以運(yùn)用正態(tài)分布原理，將該問(wèn)題抽象成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布模型，再根據(jù)概率取值要求得出相應(yīng)的身高取值，從而得出車門的合適高度。

四、結(jié)語(yǔ)

正態(tài)分布作為最重要的一種概率分布，在生活中的各個(gè)領(lǐng)域都有著舉足輕重的作用。如在醫(yī)學(xué)中，可用于估計(jì)醫(yī)學(xué)參考值，并以此來(lái)確定個(gè)體的指標(biāo)是否處于正常狀態(tài)；在教育行業(yè)，可用于教學(xué)質(zhì)量評(píng)估；在生產(chǎn)中則可用于產(chǎn)品質(zhì)量的檢測(cè)等?？梢?jiàn)，研究正態(tài)分布對(duì)于現(xiàn)實(shí)的生產(chǎn)具有重要意義。

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