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    集合Λ上的簡單半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ)的冪等元和極大子群

    2018-07-02 08:44:00林屏峰
    關鍵詞:半格子群情形

    林屏峰

    (西南民族大學預科教育學院,四川 成都 610041)

    上世紀九十年代末,Ralpha N.Mckenzie和Boris M.Schein在文獻[1]中指出,任意半群都可以同構于某個二元關系半群的子半群,這說明對二元關系半群的研究具有非常重要的意義.對二元關系半群的研究始于二十世紀中葉,R.J.Plemmons[2-3]等人對集合上的二元關系半群的進行了研究,獲得了一些基本性質和一些子半群結構;S.Schwarz[4]對集合上的二元關系半群的冪等元進行了研究.至本世紀初,J.Konieczny[5]對集合上的二元關系半群的正則元也進行了研究.二十世紀七、八十年代,Karen Chase在文獻[6-8]中構造了夾心二元關系半群,并研究了這類半群的基本性質和極大子群.本世紀初,作者在文獻[9-10]通過推廣Karen Chase的夾心二元關系半群,獲得從一個集合到另一個集合的二元關系半群,并且對其中一類進行了深入研究.雖已取得許多成果,但是對二元關系半群的研究卻還未完成.近年來,作者在文獻[10-14]中利用半格的性質構造了集合上的半格確定的二元關系半群,并且對這類半群的Green-關系、一些特殊元(冪等元、不可分解元)進行了深入的研究.作者將在文獻[10-14]的基礎之上,對集合上的一類特殊半格確定的二元關系半群進行了系統(tǒng)的研究,獲得了冪等元的結構和極大子群.

    下面給出需要使用的重要符號和概念,主要來源于文獻[12].

    設Λ是一個非空集合,令P(Λ)={U:U?Λ},P*(Λ)={U:Φ?U?Λ}.集合P(Λ)關于集合的并運算構成一個半格.若Γ是P(Λ)的一個子半格,則稱Γ是集合Λ上的一個半格.設Γ是集合Λ上的一個半格,令,則sup(Γ) 是 Γ 的最大元.

    設min(Γ)是集合Λ上的半格Γ的所有極小元構成的集合.則顯然有下列性質:

    引理1 設Γ是集合Λ上的半格,U∈Γ,U∈min(Γ).若

    設Λ是一個非空集合,令P(Λ×Λ)={σ=U×V|U,V?Λ},即P(Λ×Λ)是Λ上的所有二元關系構成的集合.設ρ∈P(Λ×Λ),Γ是集合Λ上的一個半格.定義如下集合,W(ρ,Γ)={ρK:K∈ Γ},則顯然W(ρ,Γ)也是集合Λ上的一個半格.

    設f:Λ→Γ是一集值變換.定義{λ}, 則αf∈P(Λ×Λ).令PΓ(Λ×Λ)={αf:f是Λ到Γ的集值變換}.在文獻[11]中證明了PΓ(Λ×Λ)在二元關系的乘積運算下構成半群,稱為集合Λ上的半格Γ確定的二元關系半群.

    定義1 若集合Λ上的半格Γ滿足下列兩個條件:(1)對任意U,V∈ Γ,且U≠V,有U∪V=sup(Γ);(2)對任意U,V∈Γ,有U∩V≠Φ.則稱Γ是集合Λ上的簡單半格.

    顯然集合Λ上的簡單半格Γ具有如下性質:Φ?Γ;對任意U,V∈Γ-{sup(Γ)},且U≠V,有U-V≠Φ ;min(Γ)=Γ-{sup(Γ)},并且min(Γ)是Γ的生成集.

    文中涉及的半格理論可參看文獻[15].

    1 集合Λ上的簡單半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ ×Λ)的冪等元

    集合Λ上的簡單半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ)的冪等元具有下列特征.

    定理1 設Γ是集合Λ上的簡單半格,ε∈PΓ(Λ×Λ).則ε是冪等元當且僅當

    先證明如下性質:

    引理2設α,β∈PΓ(Λ×Λ).若存在σ∈PΓ(Λ×Λ) ,使得β°σ=α, 則W(α,P*(Λ))?W(β,Γ),反之亦然.

    證明根據文獻[12]中引理2易得.

    由引理2容易獲得如下性質:

    推論1設Φ?Γ,ε是半群PΓ(Λ×Λ)的冪等元,則W(ε,P*(Λ))=W(ε,Γ).

    引理3設Γ是集合Λ上的簡單半格,ε∈PΓ(Λ×Λ).若 ?!洌絎(ε,Γ) ,且ε是冪等元,則半格?!涫且粭l長度不超過2的鏈.

    證明 設U1,U2∈ ?!洹?min(Γ) ,則U1,U2?sup(Γ).根據簡單半格Γ的定義知,存在λ∈U1∩的下界構成的集合.定義中的最大下界.于是.根據引理1 知,只能是下面三種情形之一:

    即?!涫且粭l長度不超過2的鏈.

    根據推論1和引理3,顯然有如下性質.

    推論2設Γ是集合Λ上的簡單半格,ε∈PΓ(Λ×Λ).若ε是冪等元,則W(α,P*(Λ))只能是如下三種情形之一:

    定理1的證明設Γ是集合Λ上的簡單半格,若ε∈PΓ(Λ×Λ)是冪等元,則根據推論2知,W(α,P*(Λ))只能是如下三種情形之一:

    文獻[13]研究了集合Λ上的簡單半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ)上的冪等元具有的基本性質,進而利用傳遞二元關系構造了一類冪等元,但并未刻畫冪等元的的基本結構.而定理1將集合上的一般半格這一條件特殊化,變成簡單半格,就完全刻畫了集合Λ上的簡單半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ)的冪等元的基本結構.并且集合Λ上的簡單半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ)的所有冪等元構成一個子半群,見如下定理.

    定理2設Γ是集合Λ上的簡單半格,EΓ(Λ)是半群PΓ(Λ×Λ)的所有冪等元構成的集合,則EΓ(Λ)是PΓ(Λ×Λ)的子半群.

    證明設U1,U2∈ min(Γ).令

    情形1 設U1=U2,則有

    情形2 設U1≠U2.由于U1∩U2≠Φ,則有U2∩Λ1≠Φ ,sup(Γ)∩Λ1≠Φ .假設U2∩(Λ-Λ1)=Φ ,則U2?Λ1,從而sup(Γ)=U1∪U2?Λ1,即sup(Γ)-Λ1=Φ,這與sup(Γ)-Λ1≠Φ矛盾.因此U2∩(Λ-Λ1)≠Φ.又假設sup(Γ)∩(Λ-Λ1)=Φ ,則有sup(Γ)?Λ1,進而sup(Γ)-Λ1≠Φ ,這與sup(Γ)-Λ1≠Φ矛盾.因此sup(Γ)∩(Λ-Λ1)≠Φ.于是有

    2 集合Λ上的簡單半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ ×Λ)的極大子群

    根據集合Λ上的簡單半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ)的冪等元的結構,可以獲得半群PΓ(Λ×Λ)的極大子群.下面討論過程中,EΓ(Λ)始終是半群PΓ(Λ×Λ)的所有冪等元構成的集合.

    定理3設Γ是集合Λ上的簡單半格.則半群PΓ(Λ×Λ)的極大子群是由1個冪等元構成的單位元群.

    證明設ε∈EΓ(Λ),Gε是半群PΓ(Λ×Λ)的以ε作為單位元的極大子群.若α∈Gε,則ε°α=α,并且存在α′∈Gε,使得α°α′=α′°α=ε.根據引理2 知,W(α,P*(Λ)) ?W(ε,Γ) ,W(ε,P*(Λ)) ?W(α,Γ).由于Φ?Γ,則顯然有Γ?P*(Λ).因此W(α,Γ) ?W(α,P*(Λ)).又根據推論 1 知,W(ε,Γ) ?W(ε,P*(Λ)).因此

    即W(α,Γ)=W(α,P*(Λ))=W(ε,P*(Λ))=W(ε,Γ).又根據引理3知,W(ε,Γ) 只能是下面三種情形之一:

    [1] MCKENZIE R N,SCHEIN B M.Every semigroups is isomorphic to a transitive semigroup of binary relations[J].Transactions of the American Mathematical Society,1997,349:271-285.

    [2] PLEMMONS R J,WEST M T.On the semigroup of binary relations[J].Pacific Journal of Mathematics,1970,35:743-753.

    [3] PLEMMONS R J,SCHEIN B M.Groups of binary relations[J].Semigroup Forum,1970,1:267-271.

    [4] SCHWARZ S.On idempotent binary relations on a finite set[J].Czechoslovak Mathematical Journal,1970,20:696-702.

    [5] KONIECZNY J.The semigroup generated by regular Boolean matrices[J].Southeast Asian Bulletin of Mathematics,2002,25:627-641.

    [6] CHASE K.New semigroups of binary relations[J].Semigroup Forum,1979,18:79-82.

    [7] CHASE K.Sandwish semigroups of binary relations[J].Discrete Mathematical,1979,28:231-236.

    [8] CHASE K.Maximal groups in sandwish semigroups of binary relations[J].Pacific Journal of Mathematics,1982,100:43-59.

    [9] 林屏峰.集合I到集合Λ上的二元關系半群Pθ(I×Λ)的正則性[J].西南民族大學學報 (自然科學版),2009,35(5):951-946.

    [10] 林屏峰.集合I到集合Λ上的二元關系半群Pθ(I×Λ)的生成集和Green-關系[J].西南民族大學學報 (自然科學版),2010,36(1):44-49.

    [11] 林屏峰.集合Λ上的半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ)的基本性質[J].西南民族大學學報 (自然科學版),2012,38(4):529-532.

    [12] 林屏峰.集合Λ上的半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ)的Green-關系[J].西南民族大學學報 (自然科學版),2013,39(1):26-29.

    [13] 林屏峰,曾偉,曾純一.集合Λ上的半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ) 的冪等元[J].山東大學學報(理學版),2013,48(8):36-40.

    [14] 林屏峰.集合Λ上的半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ)的不可分解元[J].山東大學學報 (理學版),2016,51(2):12-15.

    [15] BIRKHOFF G.Lattice Theory[M].New York:American Mathematical Society,1967.

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