方程求根的一個四階迭代算法

龍愛芳

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430074)

1 引言

求解非線性方程和超越方程f(x)＝0的方法很多，迭代法是應(yīng)用非常廣泛的一種方法，迭代算法有很多新的研究成果[1－7]而Newton迭代法是最常用的方法，它具有形式簡單，收斂速度快等特點，具有二階的收斂速度.除此之外還有很多修正的Newton迭代算法[8－13].應(yīng)用微分中值定理的漸近性，結(jié)合線性插值，構(gòu)造出了一個具有四階收斂速度的新的迭代算法.

2 主要成果

先給出微分中值定理中間點的漸近性.

定理1[14](Taylor中值定理)如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個開區(qū)間(a，b)內(nèi)具有直到(n＋1)階的導(dǎo)數(shù)，則對任一x∈(a，b)有

其中，這里ξ是x0與x之間的某個值.

取n＝1，得1階的Taylor公式

定理2設(shè)f(x)在含有x0的某個開區(qū)間內(nèi)具有直到3階導(dǎo)數(shù)，且f'″(x0)≠0，則(1)式中的ξ具有如下的漸近性:

一方面，應(yīng)用羅必塔法則及3階導(dǎo)數(shù)的定義，有

另一方面，應(yīng)用(1)式及羅必塔法則，有

下面構(gòu)造迭代公式.

設(shè)y＝f(x)的反函數(shù)為x＝φ(y)，按照反函數(shù)的求導(dǎo)法則有

設(shè)f(x*)＝0，f(xk)＝y(tǒng)k則有x*＝φ(0)，xk＝φ(yk)，φ(0)應(yīng)用(4)式得

下面給出收斂性證明.

定義1[15]設(shè)迭代公式xk＋1＝φ(xk)收斂于方程x＝φ(x)的根x*，如果迭代誤差ek＝xk－x*當(dāng)k→∞時成立下列漸近關(guān)系式:，則稱迭代公式是p階收斂的.

定理3設(shè)方程f(x)＝0的根為x*，函數(shù)f(x)在x*的某領(lǐng)域內(nèi)具有連續(xù)的4階導(dǎo)數(shù)，且f'(x*)≠0，則迭代公式(7)在x*鄰近至少是4階收斂的.

證明把f(xk)，f'(xk)在x*處Taylor展開，設(shè)并注意到f(x*)＝0，得

應(yīng)用以上兩式，得

在兩邊同時減去x*，并應(yīng)用(10)式得

把f″(xk) 在x*處Taylor展開，得

應(yīng)用(8)式、(9)式及(12)式得

把f'(yk)，f″(yk)在x*處Taylor展開，并應(yīng)用(11)式得

應(yīng)用(8)式、(14)式及(15)式得

在公式兩邊同時減去x*，并應(yīng)用(11)式、(13)式及(16)式得ek＋1＝，因而有，由定義1知迭代公式(7)有4階的收斂速度.

3 數(shù)值試驗

例1 求方程f(x)＝x3－x－1＝0在區(qū)間[1，2]上的根.精確根為x*＝1.324717957244746….

表1 例1的數(shù)值試驗結(jié)果(取迭代初值x0＝8)Table 1 The numerical result of example 1(The initial value of the iteration x0＝8)

例2求方程f(x)＝cosx－xex＋x2＝0在區(qū)間[1，2]上的根.精確根為x*＝0.639154096332….

表2 例2的數(shù)值試驗結(jié)果(取迭代初值x0＝5)Table 2 The numerical result of example 2(The initial value of the iteration x0＝5)

例3求方程f(x)＝x5＋x4＋4x2－15在區(qū)間[1，2]上的根.精確根為x*＝1.347428098968….

表3 例3的數(shù)值試驗結(jié)果(取迭代初值x0＝8)Table 3 The numerical result of example 3(The initial value of the iteration x0＝8)

從以上表1-3三個算例可以看出，迭代公式(7)的收斂速度是相當(dāng)快的，說明該迭代公式是非常有效的.

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