從對數(shù)感的表現(xiàn)性分析談小學生數(shù)感的有效培養(yǎng)

閆云梅

【編者按】建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關系?？梢钥闯?，數(shù)感是學生應當具備的一種數(shù)學素養(yǎng)，其掌握程度直接影響到學生能否以“數(shù)學的方式”觀察、思考生活中實際問題。本期話題“小學階段學生數(shù)感培養(yǎng)途徑”展開。

一、對數(shù)感的理解與認識

數(shù)感易于理解，但是很難界定。目前，國內外學者對數(shù)感的內涵有“意識說”“感知說”“直覺說”“能力說”等不同認識，這為數(shù)感的深入研究帶來了困難。茱莉婭.安吉萊瑞（英）指出：對數(shù)字之間關聯(lián)的意識，以及靈活地解決數(shù)字問題的能力稱為其對數(shù)字的“感覺”或“數(shù)感”。霍雨佳、郭成、楊新榮認為：數(shù)感是一種對數(shù)量非精確、快速的知覺過程。這種知覺過程具有以下兩個特點：第一，數(shù)感具有非精確性。第二，數(shù)感具有快速性。張力雄指出：數(shù)感是對數(shù)字關系和數(shù)字模式的意識，以及運用這種意識靈活地解決數(shù)字問題的能力。郭民、史寧中認為：數(shù)感是人們對數(shù)和數(shù)的關系的一種感悟，以及運用數(shù)字關系和數(shù)字模式進行推理與解決問題的能力。

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：數(shù)感主要指關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關系。這里將數(shù)感定義為一種“感悟”，對廣大一線教師而言似乎缺少可觀察、可操作的描述。在《義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》中，對數(shù)感的主要表現(xiàn)給出了詳細的表述：理解數(shù)的意義；能用多種方法表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關系；能用數(shù)來表達和交流信息；能為解決問題而選擇適當?shù)乃惴?；能估計運算的結果，并對結果的合理性作出解釋。這為我們觀察、研究與培養(yǎng)學生的數(shù)感提供了可參考的依據(jù)。

二、數(shù)感的表現(xiàn)性分析框架的構建

數(shù)感由哪些成分構成？數(shù)感有哪些具體的表現(xiàn)？有了關于數(shù)感的表現(xiàn)性分析框架，才會使數(shù)感的培養(yǎng)有的放矢。

張力雄認為，數(shù)感的成份有以下6個方面：對數(shù)的意義的理解；對數(shù)與數(shù)之間關系的理解；對運算意義的理解；用數(shù)表達與交流信息；選擇適當算法解決問題；靈活使用計算策略（包括估算、心算、筆算），并對結果的合理性作出解釋。郭民、史寧中認為，數(shù)感的構成要素應該包括以下6個方面內容：數(shù)的意義；數(shù)的表示；數(shù)的關系；數(shù)的運算；數(shù)的估算；數(shù)的問題解決。霍雨佳、郭成、楊新榮的觀點：數(shù)感是由數(shù)、運算、估計和情境所組成的一個四面體形狀的結構模型，數(shù)感的大小由四面體體積的大小所決定。（圖1）

與其他學者不同的是，霍雨佳、郭成、楊新榮強調了情境的重要作用。PISA測試中最為突出的一個特點，也是強調了試題的“情境”。參考PISA測試中對情境的分類及小學生的身心特點，結合《課程標準（實驗稿）》和上述學者對數(shù)感構成要素的分析，本文構建了對數(shù)感的表現(xiàn)性分析框架。

構建對數(shù)感的表現(xiàn)性分析框架有以下兩方面價值：1. 對數(shù)感的構成要素進行了清晰的分解，將不好把握的“感覺”與“感悟”用可觀察、可操作、可測量的表現(xiàn)性行為描述出來，使模糊的“數(shù)感”變得清晰可見。2. 便于教師反思、改進自己的教學。針對學生數(shù)感的培養(yǎng)，教師可反思自己已經(jīng)做了什么，做的怎么樣，還有哪些方面沒有重視，及時跟進，使數(shù)感的培養(yǎng)更有實效。

三、人教版教材中有關數(shù)感學習內容的梳理

應用數(shù)感的表現(xiàn)性分析的框架，筆者對人教版小學階段教材中有關數(shù)感學習的例題（不包括練習題）進行了梳理，各方面內容數(shù)量整理如表1。

從上表可以看出，人教版教材在數(shù)感培養(yǎng)方面有以下一些特點：

1. 在教材整體編排上重視數(shù)感的培養(yǎng)。在小學階段，共計148道例題（不包括練習題）的編排都體現(xiàn)了對學生數(shù)感的培養(yǎng)，而且無論是從“構成要素與表現(xiàn)”的維度看，還是從“情境”的維度看，都有所涉及，覆蓋比較全面。

2. 在“數(shù)與關系”方面編排內容較多，在“運算”和“估計”方面編排的內容較少。教材在“數(shù)與關系”方面編排的例題共99道，在“運算”方面編排24道，在“估計”方面編排25道，題目數(shù)量差異較大。實際上，數(shù)感的培養(yǎng)不僅僅體現(xiàn)在有關“數(shù)”的學習中，更多的體現(xiàn)在數(shù)的應用中，也就是選擇合適的算法和估計方面的內容應有所增加。

3. 學習的情境較為單一。

教材中所編例題的學習情境大多為“個人生活情境”和“社會生活情境”，數(shù)量分別為58道和65道，且“社會生活情境”中所涉及的內容也都是學校生活、游樂場及購物情境，而“科學情境”和“職業(yè)情境”均為11道，題目數(shù)量明顯不足，應引起教育者對這兩方面情境的重視。另外，由于目前所倡導的學習情境力求真實，根據(jù)兒童的學習特點和心理特征，童話情境可以適當編排但不宜過多。

四、培養(yǎng)小學生數(shù)感的教學策略

1. 開發(fā)與積累豐富的學習情境，為數(shù)感的培養(yǎng)提供多樣化的教學資源。

研究表明，數(shù)感的形成和發(fā)展與學習情境有著密切的聯(lián)系，學習情境越豐富多樣，學生的數(shù)感發(fā)展越好。因此，教師應在尊重教材的基礎上，不斷開發(fā)與積累更為豐富的學習資源，特別是有關“科學情境”和“職業(yè)情境”方面的素材，讓學生在豐富的現(xiàn)實情境中進一步體會數(shù)的意義，感悟數(shù)與數(shù)量的關系，并在用數(shù)解決問題的過程中，不斷提升數(shù)感發(fā)展的水平，同時也使學生其他方面的素養(yǎng)（如科學精神、實踐創(chuàng)新等）得以培養(yǎng)。

2. 加強數(shù)的意義的學習，為數(shù)感的發(fā)展夯實基礎。

學生對數(shù)的意義的理解是數(shù)感發(fā)展的基礎。數(shù)的意義的學習包括數(shù)的數(shù)學意義和現(xiàn)實意義兩方面內容。數(shù)學意義主要指的是“數(shù)”是由計數(shù)單位及其計數(shù)單位的個數(shù)構成的，其背后滲透的是十進制和位值制。除數(shù)學意義外，數(shù)概念還蘊含著豐富的現(xiàn)實意義，例如自然數(shù)、小數(shù)和分數(shù)表示數(shù)量的意義；自然數(shù)表示順序的序數(shù)意義；分數(shù)還具有表示“關系”的“率”的意義等。學生理解數(shù)的多維多重含義的重要表現(xiàn)就是能用多種方法表示數(shù)，即數(shù)的多模式表征與數(shù)的等價性表征。數(shù)的多模式表征是指用實物、不同的學具（如點子圖、幾何圖形、小棒、第納斯木塊、計數(shù)器、數(shù)線圖等）、數(shù)學符號等多種方式表示數(shù)。學生對數(shù)的表征模式越多，并能實現(xiàn)多種表征模式的相互轉換，對數(shù)的理解就越深刻。數(shù)的等價性表征形如：24=20+4=12+12=6+6+6+6=4+4+4+4+4+4=25-1=30-6=3×8=4×6=12×2=48÷2=……數(shù)的等價性表征越多越靈活，在解決問題時，學生才會根據(jù)數(shù)的特點靈活選擇某種形式解決問題。因此，重視數(shù)的意義的教學，鼓勵學生用多種方法表示數(shù)，是培養(yǎng)學生數(shù)感的首要條件。

3. 增強培養(yǎng)學生數(shù)感的意識，讓數(shù)感的培養(yǎng)滲透在各方面。

教材中有關培養(yǎng)學生數(shù)感的例題共148道，但實際教學時遠不止這些，關鍵還要看教師如何使用教材。教師如果具備了培養(yǎng)學生數(shù)感的意識，面對同樣的內容，采用不同的處理方式，效果會截然不同。例如：在有關統(tǒng)計的學習中，面對搜集與整理后的數(shù)據(jù)，引導學生結合情境體會數(shù)的現(xiàn)實意義，感悟數(shù)與數(shù)之間的關系，再作出分析和判斷，既發(fā)展了數(shù)據(jù)分析觀念，也發(fā)展了學生的數(shù)感。在計算教學中，教師不急于計算方法的教學，可以組織學生先對數(shù)據(jù)進行觀察，對運算的結果進行估計，再根據(jù)數(shù)據(jù)特點選擇合適的算法；在圖形與幾何的學習中，教師可以組織學生進行估測，體會數(shù)量的實際意義；在問題解決中，讓學生對結果進行估計，也可以對結果的合理性作出解釋……這些都是對學生數(shù)感的培養(yǎng)。無心的教師會認為數(shù)感看不見、摸不著，有心的教師會發(fā)現(xiàn)數(shù)感無處不在，因此增強自身培養(yǎng)學生數(shù)感的意識至關重要。

4. 轉變教學評價方式，確保數(shù)感培養(yǎng)的有效落實。

數(shù)感是學生重要的數(shù)學素養(yǎng)，對它的評價也不能用“對”與“錯”或者“好”與“不好”來區(qū)別，如何判斷學生數(shù)感的發(fā)展水平？這就需要教師能設計展現(xiàn)學生數(shù)感的“表現(xiàn)性任務”，包括解釋性任務、設計性任務和問題解決性任務，將學生“內隱”的思維“外顯”出來，再依據(jù)學生的不同表現(xiàn)，將他們的作品劃分為不同的層次水平，即表現(xiàn)性評價。通過展示、交流、研討不同水平學生的作品，讓學生看到低水平與高水平之間的差距，引領學生由低水平向高水平發(fā)展。運用表現(xiàn)性評價，既可以促進教師教學內容與方式的變化，又使學生在數(shù)感某一方面的發(fā)展水平清晰可見，確保數(shù)感培養(yǎng)的有效落實。

（作者單位：北京教育學院石景山分院）