支付值為梯形直覺(jué)模糊數(shù)的改進(jìn)矩陣博弈求解方法

賈 磊， 譚睿璞

(福建江夏學(xué)院a.工程學(xué)院；b.電子信息科學(xué)學(xué)院， 福州 350108)

引 言

博弈論是研究具有斗爭(zhēng)性和競(jìng)爭(zhēng)性管理決策問(wèn)題的理論和方法，廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)、政治學(xué)、心理學(xué)、生物學(xué)和軍事戰(zhàn)略等領(lǐng)域[1]。由于信息的不確定性、局中人的有限理性和決策行為的復(fù)雜性，局中人的判斷存在一定的模糊性和不確定性。模糊博弈理論尤其是模糊矩陣博弈理論得到廣泛研究[2-9]。然而，在實(shí)際博弈問(wèn)題中，由于對(duì)策所涉及的信息不完全，且涉及到經(jīng)濟(jì)、政治、心理行為、意識(shí)形態(tài)等復(fù)雜因素，局中人的判斷存在一定的猶豫程度。直覺(jué)模糊集[10]同時(shí)考慮了隸屬、非隸屬和猶豫度3方面信息，較好地刻畫了各個(gè)局勢(shì)下局中人判斷的肯定、否定和猶豫程度3種狀態(tài)信息，因此，直覺(jué)模糊博弈理論和方法成為研究熱點(diǎn)[11-17]，包括支付值為直覺(jué)模糊集、三角直覺(jué)模糊數(shù)(TIFN)和梯形直覺(jué)模糊數(shù)(TrIFN)的博弈問(wèn)題。

文獻(xiàn)[11]研究支付值為直覺(jué)模糊集的矩陣博弈求解方法。Nan等[12]提出了基于三角直覺(jué)模糊數(shù)排序函數(shù)的雙目標(biāo)線性規(guī)劃矩陣博弈求解方法。Nan等[13]提出了基于隸屬度和非隸屬度平均值排序函數(shù)的三角直覺(jué)模糊數(shù)矩陣博弈方法。Verma[14]對(duì)文獻(xiàn)[13]建立的線性規(guī)劃模型中的錯(cuò)誤假設(shè)進(jìn)行了研究。Seikh等[15]提出了支付值為三角直覺(jué)模糊數(shù)的雙目標(biāo)非線性規(guī)劃求解方法。文獻(xiàn)[16]提出基于差分指數(shù)排序函數(shù)和線性規(guī)劃的梯形模糊數(shù)矩陣博弈求解方法。文獻(xiàn)[17]定義了α-矩陣對(duì)策的概念，提出一種求解支付為梯形模糊數(shù)的矩陣對(duì)策的線性規(guī)劃新方法。文獻(xiàn)[18]提出基于加權(quán)可能性均值的直覺(jué)梯形模糊數(shù)矩陣博弈求解方法。

目前對(duì)支付值為直覺(jué)模糊數(shù)，特別是梯形直覺(jué)模糊數(shù)的博弈理論和方法研究較少。本文主要研究支付值為TrIFN的矩陣博弈問(wèn)題及其線性規(guī)劃求解方法，引入基于均值和模糊度的排序函數(shù)，在對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)分析的基礎(chǔ)上，指出其不合理的地方，并構(gòu)建改進(jìn)的線性規(guī)劃模型，最后通過(guò)實(shí)例說(shuō)明算法的有效性。

1 基礎(chǔ)理論

其中，

定義2[20]設(shè)

易證明上述運(yùn)算法則具有如下性質(zhì)：

其中

0≤α+β≤1。根據(jù)TrIFN的定義可以得到：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

其中，λ∈[0,1]為局中人的一種偏好權(quán)重，λ∈[0.5,1]表明局中人喜歡肯定的或正面信息；λ∈[0,0.5]表明局中人喜歡否定的或負(fù)面信息；λ=0.5表明局中人持中立態(tài)度。

定義7設(shè)

是任意2個(gè)梯形直覺(jué)模糊數(shù)，λ∈[0,1]，則其大小關(guān)系或排序：

2 梯形直覺(jué)模糊數(shù)矩陣博弈模型的構(gòu)建及求解

2.1 梯形直覺(jué)模糊數(shù)矩陣博弈模型構(gòu)建

設(shè)局中人P1和P2的純策略集合為S1={α1,α2,…,αm}和S2={β1,β2,…,βn}，混合策略空間為

(9)

定義8[20]設(shè)

2.2 梯形直覺(jué)模糊數(shù)矩陣博弈求解

根據(jù)定義8和定義9可知，局中人P1和P2的最優(yōu)策略(x*,y*)可分別通過(guò)求解下面一對(duì)帶有梯形直覺(jué)模糊數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型得到：

(10)

(11)

根據(jù)定義2，式(10)和式(11)分別轉(zhuǎn)化為：

(12)

(13)

根據(jù)定義6的排序方法，式(12)和式(13)轉(zhuǎn)化為：

(14)

(15)

根據(jù)式(7)和式(8)，式(14)轉(zhuǎn)化為：

(16)

式(15)可做類似轉(zhuǎn)化。

2.3 改進(jìn)的梯形直覺(jué)模糊數(shù)矩陣博弈求解方法

通過(guò)分析式(14)、式(15)和式(16)，可發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[12,20]的模型中存在錯(cuò)誤假定，其認(rèn)為

而實(shí)際上它們并不相等。因?yàn)楦鶕?jù)定義2的TrIFN運(yùn)算法則及式(7)、式(8)可得：

(17)

(18)

易得

類似可得

受文獻(xiàn)[14,16]的啟發(fā)，為易于計(jì)算，令

(19)

(20)

[λξ+(1-λ)k])

將式(19)和式(20)帶入式(14)和式(15)，可得：

(21)

(22)

為計(jì)算簡(jiǎn)便，設(shè)：

則式(21)和式(22)可轉(zhuǎn)化為：max{V1},min{A1}

(23)

min{V2},max{A2}

(24)

為求解，將式(23)和式(24)轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型：

max{V1}

(25)

和

min{V2}

(26)

進(jìn)而根據(jù)式(23)和式(24)，分別構(gòu)造線性規(guī)劃模型，

min{A1}

(27)

和

max{A2}

(28)

3 實(shí)例分析

3.1 數(shù)值例子

其中<(50,60,70,80);0.8,0.1>表示當(dāng)公司A和B都選擇策略α1即增加廣告宣傳時(shí)，公司A的產(chǎn)品銷售額為60萬(wàn)元～70萬(wàn)元之間，其最大隸屬度為0.6，最小非隸屬度為0.2，猶豫度為0.2。其它TrIFN可作類似解釋。

步驟1計(jì)算：

步驟2將步驟1得到的ξ和k值帶入式(25)，可得：

max{V1}s.t.

表1 不同λ取值時(shí)局中人的最優(yōu)策略、加權(quán)均值、加權(quán)模糊度及博弈值

3.2 對(duì)比分析

為說(shuō)明本文算法的正確性及合理性，將其與文獻(xiàn)[20]中的方法進(jìn)行比較分析，分別取不同λ值，兩種方法的最優(yōu)策略及相應(yīng)的博弈值見表2。

表2 不同λ取值時(shí)兩種方法的最優(yōu)策略及博弈值

由表2可知，采用本文方法得到的期望支付值<(33,43,67,77);0.4,0.4>不變，不受λ取值的影響，且與采用文獻(xiàn)[20]方法得到的期望支付值大致相同。隨著λ取值不同，采用文獻(xiàn)[20]的方法得到的局中人的最優(yōu)策略是不確定的，而采用本文方法得到的最優(yōu)策略是穩(wěn)定的。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了支付值為梯形直覺(jué)模糊數(shù)的矩陣博弈方法，引入了梯形直覺(jué)模糊數(shù)均值和模糊度的概念，并給出了基于加權(quán)均值模糊度排序方法的線性規(guī)劃求解方法。提出了改進(jìn)的矩陣博弈線性規(guī)劃求解方法，并應(yīng)用到市場(chǎng)產(chǎn)品銷售博弈問(wèn)題中，通過(guò)實(shí)例分析驗(yàn)證了該方法的有效性。本文的方法可拓展到其他具有類似的直覺(jué)模糊支付矩陣對(duì)策求解問(wèn)題。在今后的工作中，將進(jìn)一步對(duì)直覺(jué)模糊博弈理論和方法進(jìn)行深入研究。

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