Laplace算子的特征函數(shù)系在三個空間中的完備性證明方法

邢家省， 楊義川

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 北京 100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100191)

引 言

Laplace算子在Dirichlet邊界條件下的特征值和特征函數(shù)的性質(zhì)問題[1-11]是偏微分方程中的重要課題，引起了人們持續(xù)不斷的研究[1-22]。關(guān)于特征值的跡問題，在文獻(xiàn)[16]中有詳盡的綜述。對特征函數(shù)系的完備性[1-11]，已有多種方法給予證明。然而對特征函數(shù)系在多個空間中的完備性，現(xiàn)有文獻(xiàn)中給出的證明路線不夠明確[1-11]，甚至出現(xiàn)不嚴(yán)密的表述過程[8]，沒有達(dá)到嚴(yán)密完善的標(biāo)準(zhǔn)程度。本文在前人研究成果的基礎(chǔ)上，對特征函數(shù)系在三個空間中的完備性分別給予敘述和證明，建立一套標(biāo)準(zhǔn)的證明路線，準(zhǔn)確論述了特征函數(shù)系的理論結(jié)果，推進(jìn)學(xué)術(shù)認(rèn)識發(fā)展。

1 Laplace算子在Dirichlet邊界條件下的特征值問題

范數(shù)記為

(1)

則稱λ為算子-Δ的廣義特征值，稱u為對應(yīng)于特征值λ的廣義特征函數(shù)。

在一定條件下，定義2與定義3是等價(jià)的[1-18]。

2 第一特征值問題的存在性

若λ,u是問題(1)的特征值與特征函數(shù)，則有

此式說明泛函J(u)有正的下界，因此J(u)有下確界。

定義

(2)

即存在

經(jīng)過展開處理，可得成立

因此，λ1是算子-Δ的特征值，u為對應(yīng)于特征值λ的特征函數(shù)。

式中，取v=w，得

于是λ1是-Δ的最小特征值。

3 算子-Δ的所有特征值和特征函數(shù)系

同上可證，λ2,u2滿足

即λ2是特征值，u2為對應(yīng)于特征值λ2的特征函數(shù)。

假設(shè)已經(jīng)得出算子-Δ的m-1個特征值，

λ1,λ2,…,λm-1,(m≥1),λ1≤λ2≤…≤λm-1

(3)

對應(yīng)于λ1,λ2,…,λm-1的特征函數(shù)為u1,u2,…,um-1且

(4)

函數(shù)組(4)的所有線性組合成為L2(Ω)的一個線性子空間，叫做函數(shù)組(4)在L2(Ω)中生成的子空間，記為

Vm-1=span{u1,u2,…,um-1}=

表示Vm-1在L2(Ω)中的正交補(bǔ)空間，即

(5)

就是算子-Δ的第m個特征值。

(6)

(7)

λ1≤λ2≤…≤λm-1≤λm…

(8)

相應(yīng)的的特征函數(shù)序列

u1,u2,…,um-1,um,…

(9)

4 特征值序列{λm}及對應(yīng)的特征函數(shù)系{um}的基本性質(zhì)

性質(zhì)2[1-11]對應(yīng)于不同特征值的特征函數(shù)在L2(Ω)中是正交的。

性質(zhì)4[1-11]對應(yīng)于同一特征值只有有限個線性無關(guān)的特征函數(shù)，或者，對應(yīng)于每一個特征值的特征函數(shù)空間是有限維的。

5 特征函數(shù)系{um}是空間中的一組正交完備系

易知

證明

由=0，可得(v,uk)=0，(k=1,2,…)。假若v≠0，可設(shè)

6 特征函數(shù)系{um}是空間L2(Ω)中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交完備系

得到{Sn}在L2(Ω)中收斂于u。

7 特征函數(shù)系{um}是空間中的一組完備系

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