基于三參數(shù)Weibull分布的粘性泥石流一次總量計(jì)算模型

李 俊， 陳寧生， 趙苑迪

(1.四川理工學(xué)院土木工程學(xué)院， 四川 自貢 643000；2.中國(guó)科學(xué)院、水利部成都山地災(zāi)害與環(huán)境研究所， 成都 610041)

引 言

粘性泥石流是由寬級(jí)配土體構(gòu)成的固液氣三相流體，其運(yùn)動(dòng)過(guò)程多呈陣性流態(tài)，對(duì)具有陣性流態(tài)的粘性泥石流也稱陣性泥石流[1-5]。這種高流速(4 m/s～8 m/s)、沖擊力大和搬運(yùn)固體物質(zhì)能力強(qiáng)的泥石流對(duì)世界各地山區(qū)城鎮(zhèn)、交通和礦山等極具威脅。例如1999年11月15～16日委內(nèi)瑞拉Nianguaa城暴發(fā)了世界上規(guī)模最大的粘性泥石流，造成30000人死亡和嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失[6]。在中國(guó)西南山區(qū)，尤其是汶川地震、蘆山地震和魯?shù)榈卣鸷螅嗵幈┌l(fā)的粘性泥石流均對(duì)城鎮(zhèn)、公路和礦山造成了嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失和人員傷亡[7-13]。為了減輕粘性泥石流危害，世界各地廣泛采用了攔擋壩和排導(dǎo)槽等泥石流穩(wěn)、攔、排防治工程。

粘性泥石流的一次總量是粘性泥石流穩(wěn)、攔、排防治工程的重要設(shè)計(jì)參數(shù)，但該類泥石流一次總量的準(zhǔn)確評(píng)估較為困難，尤其是具有陣性流態(tài)的粘性泥石流。有關(guān)粘性泥石流一次總量計(jì)算方法主要有三類，分別為直接觀測(cè)測(cè)量法、經(jīng)驗(yàn)公式和統(tǒng)計(jì)模型。這三類計(jì)算方法分別存在如下問(wèn)題：(1)通過(guò)直接測(cè)量泥石流堆積區(qū)的固體物質(zhì)得出一次泥石流總量的計(jì)算方法只適用于小規(guī)模、短歷時(shí)和高阻力的泥石流溝，其最大缺陷是要求粘性泥石流搬運(yùn)的固體物質(zhì)全部堆積于堆積扇上。(2)一次泥石流總量經(jīng)驗(yàn)公式主要有五邊形法、泥石流防治工程勘查規(guī)范提供的方法和Crosta方法(表1)。五邊形法和泥石流規(guī)范方法在計(jì)算粘性泥石流一次總量的過(guò)程中存在泥石流運(yùn)動(dòng)時(shí)間難以估計(jì)的問(wèn)題，而Crosta方法只適用國(guó)外于局部山區(qū)。(3)根據(jù)蔣家溝粘性泥石流多年觀測(cè)數(shù)據(jù)，陳寧生提出的基于峰值流量和運(yùn)動(dòng)時(shí)間的一次總量統(tǒng)計(jì)模型能夠較好地計(jì)算粘性泥石流一次總量(表1)，但這種方法仍然存在2個(gè)問(wèn)題[14]。第一，泥石流間斷流歷時(shí)大于3 min的流體視為兩場(chǎng)泥石流，這使得某一場(chǎng)完整的粘性泥石流被人為分割，而且在實(shí)際應(yīng)用中泥石流間斷歷時(shí)的調(diào)查十分困難。第二，該統(tǒng)計(jì)模型中穩(wěn)定分位點(diǎn)流量與最大峰值流量的回歸模型相關(guān)系數(shù)存在相關(guān)度不高的問(wèn)題。(4)Donovan統(tǒng)計(jì)了美國(guó)西部的33次泥石流資料，提出了一種基于概率模型的泥石流總量計(jì)算方法，但該模型要求較多的計(jì)算參數(shù)，需要詳細(xì)的泥石流基礎(chǔ)資料才能計(jì)算一次泥石流總量[15]。大多數(shù)粘性泥石流都以陣性流的形式出現(xiàn)，由于陣性流存在較長(zhǎng)時(shí)間的斷流，因此粘性泥石流一次總量的直接觀測(cè)測(cè)量法和經(jīng)驗(yàn)公式法的應(yīng)用受到限制，而且目前的統(tǒng)計(jì)模型尚有一定的不足。所以本文結(jié)合中國(guó)云南省東川縣蔣家溝泥石流的陣性泥石流觀測(cè)資料[16-17]，采用粒子群算法和三參數(shù)Weibull分布建立粘性泥石流一次總量的統(tǒng)計(jì)模型，以期為計(jì)算粘性泥石流一次總量提供精度更高的方法。

表1 粘性泥石流一次總量的計(jì)算模型

1 粘性泥石流特征及蔣家溝粘性泥石流數(shù)據(jù)處理

1.1 粘性泥石流的陣性特征

圖1 粘性泥石流運(yùn)動(dòng)過(guò)程圖

1.2 數(shù)據(jù)處理

蔣家溝位于中國(guó)云南省東川縣，其流域面積48.6 km2。該溝粘性泥石流具有陣性特征，陣性流體過(guò)程完整。本文粘性泥石流中陣性流體的峰值流量和運(yùn)動(dòng)時(shí)間來(lái)源于1987～2004年蔣家溝126場(chǎng)現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)的粘性泥石流數(shù)據(jù)。泥石流數(shù)據(jù)觀測(cè)點(diǎn)設(shè)置在蔣家溝泥石流的順直穩(wěn)定溝段，設(shè)置上下兩個(gè)斷面，間距200 m(圖2，改繪于文獻(xiàn)[16])。泥石流運(yùn)動(dòng)時(shí)間為在觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)的陣性泥石流全部通過(guò)時(shí)間。泥石流峰值流量的計(jì)算參數(shù)為泥石流最大泥深、斷面寬度和平均流速。泥石流的最大泥深根據(jù)UL-2型超聲波泥位計(jì)自動(dòng)測(cè)量。斷面寬度為每次泥石流暴發(fā)前后測(cè)量的斷面寬度平均值。泥石流流速根據(jù)粘性泥石流龍頭通過(guò)間距為200 m的觀測(cè)斷面的時(shí)間確定。

圖2 蔣家溝泥石流數(shù)據(jù)觀測(cè)方法

在建立基于三參數(shù)Weibull分布的粘性泥石流一次總量計(jì)算模型前，根據(jù)下列原則整理了1987～2004年蔣家溝126場(chǎng)粘性泥石流數(shù)據(jù)：(1)只計(jì)陣性流體，扣除連續(xù)流體；(2)將符合條件(1)的陣性流體持續(xù)陣數(shù)大于或等于15次的一場(chǎng)泥石流數(shù)據(jù)全部選用，小于15次陣數(shù)的一場(chǎng)泥石流數(shù)據(jù)不采用，因?yàn)殛嚧螖?shù)量較少的粘性泥石流不能反映流體總體特征。按以上原則，這126場(chǎng)粘性泥石流中的陣性流體數(shù)據(jù)都可以用于模型建立和模型驗(yàn)證。

2 方法

本文以云南省東川縣蔣家溝1987～1996年73場(chǎng)粘性泥石流數(shù)據(jù)為統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)，引入三參數(shù)Weibull分布描述陣性流量的分布特征，并采用粒子群算法計(jì)算陣性流量的Weibull分布參數(shù)。三參數(shù)Weibull分布是一種比兩參數(shù)Weibull分布更為完善的概率分布，且三參數(shù)模式比兩參數(shù)模式有更高的擬合精度。在擬合隨機(jī)數(shù)據(jù)時(shí)三參數(shù)Weibull分布有很大的靈活性，對(duì)不同形狀的頻率分布有很強(qiáng)的適應(yīng)性，當(dāng)形狀參數(shù)取不同值時(shí)，它可以等效或接近于正態(tài)分布或?qū)?shù)分布。在73場(chǎng)Weibull分布函數(shù)的基礎(chǔ)上，采用指數(shù)回歸模型確定最穩(wěn)定分位點(diǎn)，即分位點(diǎn)流量與最大峰值流量回歸方程相關(guān)度最高的分位點(diǎn)?；谧罘€(wěn)定分位點(diǎn)流量和三參數(shù)Weibull分布建立了基于三參數(shù)Weibull分布的粘性泥石流一次總量統(tǒng)計(jì)模型，其模型輸入?yún)?shù)為最大峰值流量Qmax和泥石流運(yùn)動(dòng)時(shí)間TS，這兩個(gè)參數(shù)在泥石流實(shí)際調(diào)查容易獲取。最后根據(jù)蔣家溝1997～2004年53場(chǎng)粘性泥石流數(shù)據(jù)驗(yàn)證該模型的正確性，并比較該模型與目前已有模型的相對(duì)誤差等。本文的技術(shù)路線如圖3所示。

圖3 基于三參數(shù)Weibull分布的一次總量統(tǒng)計(jì)模型建立流程圖

2.1 最穩(wěn)定Weibull分位點(diǎn)流量的粒子群算法

將1987～1996年每一場(chǎng)的陣性流量按數(shù)值大小進(jìn)行分組，每一陣為一個(gè)頻次，頻數(shù)與每一場(chǎng)統(tǒng)計(jì)總次數(shù)的比值為頻率。本文共統(tǒng)計(jì)了73場(chǎng)粘性泥石流的頻率，并繪制了每一場(chǎng)不同規(guī)模的泥石流流量與頻率的曲線，如圖4所示。這73場(chǎng)的流量和頻率曲線共有兩種分布，一種呈負(fù)偏，共65場(chǎng)次，一種呈正偏態(tài)或?qū)ΨQ分布，共8場(chǎng)次。各種分布和泥石流流量與頻率曲線吻合度的分析結(jié)果顯示W(wǎng)eibull分布更能反映泥石流流量的分布特征，三參數(shù)Weibull分布比二參數(shù)Weibull分布在描述正偏態(tài)、負(fù)偏態(tài)和對(duì)稱分布等方面更加具有自由度高和可塑性大的優(yōu)點(diǎn)[22-24]，所以引入三參數(shù)Weibull分布描述這73場(chǎng)陣性泥石流流量分布，三參數(shù)Weibull分布的概率密度函數(shù)為：

(1)

式中，x為陣性泥石流流量，m3/s；a為位置參數(shù)；b為尺度參數(shù)；c為形狀參數(shù)；且b>0，c>0。

圖4 陣性泥石流流量-頻數(shù)曲線圖

Weibull分布的三參數(shù)可通過(guò)粒子群算法準(zhǔn)確求解。該算法是一類基于群體智能的算法。Weibull分布三參數(shù)計(jì)算：

(2)

(3)

式中，i=1,2,…,n。令初始粒子的位置為：

(4)

式中，N為粒子個(gè)數(shù)。將X1帶入公式(4)得：

(5)

(6)

令Qm、Qn是一次泥石流流量過(guò)程線上的最穩(wěn)定m、n分位點(diǎn)流量，且這兩個(gè)分位點(diǎn)流量和陣性流體的最大值峰值流量具有最高的指數(shù)回歸模型相關(guān)度。在獲取每一場(chǎng)泥石流的a′、b′、c′值后，可求出0～1分位點(diǎn)對(duì)應(yīng)的分位點(diǎn)流量，并擬合各分位點(diǎn)流量與每一場(chǎng)陣性流體的峰值流量最大值的回歸方程，尋找這73個(gè)回歸方程的最大相關(guān)度，相關(guān)度最大的兩個(gè)分位點(diǎn)即為最穩(wěn)定的兩個(gè)分位點(diǎn)。指數(shù)回歸方程的表達(dá)式：

(7)

式中，Qf為某分位點(diǎn)對(duì)應(yīng)的分位點(diǎn)流量，m3/s；Qmax為每一場(chǎng)陣性流體的峰值流量最大值；D、E、F為回歸模型參數(shù)。

2.2 基于三參數(shù)Weibull分布的一次總量計(jì)算模型

將1987～1996年每一場(chǎng)陣性泥石流的最大流量帶入公式(7)，得出兩個(gè)最穩(wěn)定分位點(diǎn)流量，將這兩個(gè)分位點(diǎn)流量帶入式(8)和式(9)，得出Weibull分布的b值和c值，粒子群算法的計(jì)算結(jié)果顯示75場(chǎng)的a值均為-2500。

(8)

(9)

(10)

一場(chǎng)粘性泥石流的一次總量計(jì)算公式：

(11)

R2=0.56

(12)

3 最穩(wěn)定分位點(diǎn)計(jì)算結(jié)果與模型驗(yàn)證

3.1 最穩(wěn)定分位點(diǎn)

基于粒子群算法計(jì)算結(jié)果，一次總量模型的最穩(wěn)定三參數(shù)Weibull分位點(diǎn)為50%和60%，這兩個(gè)分位點(diǎn)的陣性流量和最大陣流流量的回歸曲線如圖5所示，其回歸方程分別如公式(13)和公式(14)所示。

圖5 最穩(wěn)定分位點(diǎn)流量和最大陣流流量的指數(shù)回歸方程

(13)

(14)

由圖5可知，50%和60%分位點(diǎn)流量與最大陣流流量的相關(guān)度均大于0.77，這說(shuō)明50%和60%分位點(diǎn)流量與最大洪峰流量Qmax具有良好的相關(guān)性。

3.2 模型驗(yàn)證

模型驗(yàn)證的數(shù)據(jù)來(lái)源于蔣家溝1997～2004年53場(chǎng)粘性泥石流的最大洪峰流量、泥石流運(yùn)動(dòng)時(shí)間和實(shí)際泥石流總量(表2)。根據(jù)本文模型(式11)、陳寧生模型、泥石流規(guī)范方法、Crosta模型計(jì)算得出粘性泥石流的一次總量，并比較各種方法的相對(duì)誤差、最大誤差和均方根誤差(表3)，相對(duì)誤差Er和均方根誤差RMSE公式為：

(15)

(16)

式中，Wc為模型計(jì)算的一次總量，m3；W為實(shí)際粘性泥石流總量，m3；N為粘性泥石流場(chǎng)次總數(shù)。

表2 模型驗(yàn)證數(shù)據(jù)

表3 各方法一次總量計(jì)算模型的相對(duì)誤差、最大誤差和均方根誤差

由表3可知，基于三參數(shù)Weibull分布的一次總量模型相對(duì)誤差、最大誤差最小，分別為44.24%、89.08%。該模型的相對(duì)誤差比陳寧生模型的相對(duì)誤差降低29.62%，比泥石流規(guī)范方法的相對(duì)誤差降低105.91%，這表明基于三參數(shù)Weibull分布的粘性泥石流一次總量模型具有更好地適用性。另外該模型的均方根誤差比其他方法的均方根誤差更小，這說(shuō)明該模型計(jì)算的一次總量的離散度更低。

4 結(jié) 論

根據(jù)以上研究，得出以下三方面的結(jié)論：

(1)在蔣家溝粘性泥石流觀測(cè)數(shù)據(jù)中，基于三參數(shù)Weibull分布的粘性泥石流一次總量統(tǒng)計(jì)模型的相對(duì)誤差、最大誤差、均方根誤差，分別為44.24%、89.08%、21.21×104m3，該模型比陳寧生模型的相對(duì)誤差低29.62%，比泥石流規(guī)范方法的相對(duì)誤差低105.91%。說(shuō)明基于三參數(shù)Weibull分布的一次總量計(jì)算方法適用于計(jì)算蔣家溝粘性泥石流一次總量。

(2)蔣家溝粘性泥石流的陣性流量較好地服從三參數(shù)Weibull分布，因而本文采用該法描述陣性流量的分布特征，這為建立基于三參數(shù)Weibull分布的一次總量模型奠定了基礎(chǔ)。

(3)通過(guò)粒子群算法，求取了每一場(chǎng)泥石流Weibull分布的三參數(shù)，并尋求了最相關(guān)的分位點(diǎn)流量和最大峰值流量Qmax的回歸方程。另外基于1987～1996年粘性泥石流數(shù)據(jù)，建立泥石流運(yùn)動(dòng)時(shí)間TS和陣性流體行流時(shí)間TL的冪函數(shù)回歸方程。

參考文獻(xiàn)：

[1] 康志成,李焯芬,馬藹乃,等.中國(guó)泥石流研究[M].北京:科學(xué)出版社,2004.

[2] 王兆印.泥石流龍頭運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)研究及能量理論[C]//中國(guó)水利學(xué)會(huì)2001學(xué)術(shù)年會(huì)論文集.2001:18-26.

[3] 陳寧生,劉美,劉麗紅,等.小流域中-低頻泥石流與山洪輸沙比例的討論:以金沙江支流海子溝為例[J].成都理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2017,44(2):225-231.

[4] 李俊,陳寧生,歐陽(yáng)朝軍,等.扎木弄溝滑坡型泥石流物源及堵河潰壩可能性分析[J].災(zāi)害學(xué),2017,32(1):80-84.

[5] 許強(qiáng),李驊錦,何雨森,等.文家溝泥石流治理工程效果的定量分析評(píng)價(jià)[J].工程地質(zhì)學(xué)報(bào),2017(4):1046-1056.

[6] REINALDO G M,JOSé L L.Debris flows of December 1999 in Venezuela[M].Heidelberg:Springer,2005.

[7] 崔鵬,陳曉清,張建強(qiáng),等.“4·20”蘆山7.0級(jí)地震次生山地災(zāi)害活動(dòng)特征與趨勢(shì)[J].山地學(xué)報(bào),2013,31(3):257-265.

[8] 崔鵬,莊建琦,陳興長(zhǎng),等.汶川地震區(qū)震后泥石流活動(dòng)特征與防治對(duì)策[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào):工程科學(xué)版,2010,42(5):10-19.

[9] 郭曉軍,蘇鵬程,崔鵬,等.7月3日茂縣棉簇溝特大泥石流成因和特征分析[J].水利學(xué)報(bào),2012(S2):140-146.

[10] 屈永平,唐川,卜祥航,等.石棉縣熊家溝“7·04”泥石流堵江調(diào)查與分析[J].水利學(xué)報(bào),2016,47(1):44-53.

[11] 屈永平,唐川,劉洋,等.四川省都江堰市龍池地區(qū)“8·13”泥石流堆積扇調(diào)查和分析[J].水利學(xué)報(bào),2015,46(2):197-207.

[12] 余斌,馬煜,張健楠,等.汶川地震后四川省都江堰市龍池鎮(zhèn)群發(fā)泥石流災(zāi)害[J].山地學(xué)報(bào),2011,29(6):738-746.

[13] 舒志樂(lè),史寶寧,張德宇.色多溝泥石流動(dòng)力特征及危險(xiǎn)性評(píng)估研究[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,29(6):70-74.

[14] LI J,CHEN N,WANG T,et al.A model for total volume of debris flow with intermittent surges based on maximum peak discharge and movement time[J].Geosystem Engineering,2016,20(4):1-14.

[15] DONOVAN I P,SANTI P M.A probabilistic approach to post-wildfire debris-flow volume modeling[J].Landslides,2017,14(4):1-16.

[16] 康志成,崔鵬,韋方強(qiáng),等.中國(guó)科學(xué)院東川泥石流觀測(cè)研究站觀測(cè)實(shí)驗(yàn)資料集[M].北京:科學(xué)出版社,2006.

[17] 張軍,熊剛.云南蔣家溝泥石流觀測(cè)資料集(1987-1994)[M].北京:科學(xué)出版社,1997.

[18] JOHN E C,ROBERT L S.The formation and failure of natural dams[J].Geological Society of America Bulletin,1988,100(7):1054-1068.

[19] 周必凡.泥石流防治指南[M].北京:科學(xué)出版社,1991.

[20] DZ/TO239,泥石流災(zāi)害防治工程勘查規(guī)范[S].

[21] Chen NS,Yang CL,Zhou W,et al.A new total volume model of debris flows with intermittent surges:based on the observations at Jiangjia Valley,southwest China[J].Natural Hazards,2011,56(1):37-57.

[22] 張文明,董增川,朱成濤,等.基于粒子群算法的水文模型參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化研究[J].水利學(xué)報(bào),2008,39(5):528-534.

[23] 金良瓊.兩參數(shù)Weibull分布的參數(shù)估計(jì)[D].昆明:云南大學(xué),2010.

[24] 董勝,韓意,陶山山,等.Weibull分布參數(shù)的粒子群算法估計(jì)[J].中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,42(6):120-125.