一類三階非線性系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)構(gòu)造及穩(wěn)定性

張永華

（安康職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，陜西 安康 725000）

非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析是近代數(shù)學(xué)研究的一個(gè)新課題，能否構(gòu)造出一個(gè)合適的Lyapunov函數(shù)，是分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵。本文利用Wall的能量度量算法構(gòu)造一類非線性系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)，并得到零解的穩(wěn)定性[1]。

1 Wall的能量度量算法

原新生等人用Wall的能量度量算法構(gòu)造了一類三階非線性系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)。Wall的能量度量算法簡(jiǎn)單概括為如下六個(gè)步驟[2]：

第一步，將所描述的系統(tǒng)改寫成一階聯(lián)立的微分方程組

第二步，將改寫的微分方程組寫成如下形式

第三步，將式(1-2)寫成如下形式

第四步，進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷵Q和加法運(yùn)算，將式(1-3)的微分方程組化為

第五步，構(gòu)造函數(shù)

第六步，求出式(1-5)的全導(dǎo)數(shù)

由所求出的V(x)函數(shù)類型和(x)符號(hào)，再根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，則可以得出系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性。Wall的能量度量算法用來(lái)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)具有一定的適應(yīng)性，但有時(shí)常常采用倒推的Wall的能量度量算法，具有很好的效果。

2 應(yīng)用舉例

例1 用Wall的能量度量算法討論三階非線性系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性[2]。

解 將其化為如下等階形式

將式(2-1)變成如下形式

對(duì)式(2-2)進(jìn)行適當(dāng)變形得

將式(2-3)中的式(1)×a 代入到式(3)+ 式(2)得

按照Wall的能量度量算法構(gòu)造函數(shù)

其中，

對(duì)式(2-5)求全導(dǎo)數(shù)得

因此可得出下列結(jié)論：

事實(shí)上，在定理?xiàng)l件下，只要證明V(x,y,)是正定函數(shù)，顯然只要證明函數(shù)是正定的且具有無(wú)窮大性質(zhì)即可。

證 顯見，當(dāng)y=0時(shí)，H(x,0)=F(x)具有此性質(zhì)；當(dāng)y≠0時(shí)，

因?yàn)?/p>

所以函數(shù)是正定的且具有無(wú)窮大的性質(zhì)，從而定理得征。

例2 用Wall的能量度量算法討論下列三階非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性[3]。

解 將系統(tǒng)(2-7)化為如下等階形式

將式(2-8)變形為

將式(2-9)進(jìn)行適當(dāng)變形得

將式(2-10)中的式(1)代入式(3)+ 式(2)得

按照Wall的能量度量算法構(gòu)造函數(shù)

對(duì)式(2-11)求全導(dǎo)數(shù)得

由于V(x,y,z)≥0是正定的，式(2-12)是負(fù)定的，因此系統(tǒng)(2-7)的零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的，同時(shí)也是穩(wěn)定的。

由例1、例2可看出，這兩個(gè)非線性系統(tǒng)并不需要用“類比法”構(gòu)造Lyapunov函數(shù)[4]，用Wall的能量度量算法構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)對(duì)得出系統(tǒng)穩(wěn)定性更具有說(shuō)明性。

[1]原新生，張懷濤.一類三階非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)構(gòu)造[J].安陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，13（5）：53-55.

[2]王聯(lián)，王慕秋.一類三階非線性系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)構(gòu)造之分析[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1983，7（3）：309-323.

[3]張永華.非線性系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)構(gòu)造及穩(wěn)定性[D].西安：西安建筑科技大學(xué)，2009.

[4]王聯(lián)，王暮秋.論李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，1984，13 （2）：81-102.