一個經(jīng)典概率問題的深度解析

馬 冉 弭光偉 謝 瑋

(河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南，焦作454003）

1.問題重現(xiàn)

在概率統(tǒng)計中有這樣一個概率問題：從1至9這九個數(shù)字中，有放回地取三個數(shù)字，每次任取一個，求所取的三個數(shù)字之積能被10整除的概率。

這是一道不起眼的概率題，由于一個不經(jīng)意間的質(zhì)疑，使它成為困擾學(xué)習(xí)者的難題。此問題是經(jīng)典問題，也是一個易錯的問題，本文就這一問題進行了深度挖掘和分析，給出了三種正確解法，分析了三種常見的錯誤解法。在嘗試解決這個問題的過程中，我們找到了不同的解決方案。這能使學(xué)習(xí)者深受啟發(fā)，受益良多，能更深刻地理解概率論中的基本定義和定理，并熟練解決此類古典概型問題。

2.問題求解

2.1 運用古典概型求解

運用古典概型求解，其重點也是難點就是如何把事件的所有可能情況都找出來，無錯誤不重復(fù)。對于此問題，通過分析可知要想被10整除，取出的三個數(shù)中至少有一個5和一個偶數(shù)。因此有三種情況：第一種，兩個5，一個偶數(shù)；第二種，一個5，兩個偶數(shù)；第三種，一個5，偶數(shù)和奇數(shù)各一個。下面進行詳細分析。

（1）兩個5，一個偶數(shù)。有以下情況：前兩個數(shù)選 5： 5,5,2；5,5,4；5,5,6；5,5,8；首尾選 5：5,2,5；5,4,5；5,6,5；5,8,5；

后兩個數(shù)選 5： 2,5,5；4,5,5；6,5,5；8,5,5；

（2）一個5，兩個偶數(shù)。又可細分為兩種情況：

①兩個偶數(shù)相同：5,2,2；5,4,4；5,6,6；5,8,8。由于5的位置也可以在另外兩個位置，所以此種情況共有 4×3＝12種情況。

② 兩 個 偶 數(shù) 不 相 同 ：5,2,4；5,2,6；5,2,8；5,4,6；5,4,8；5,6,8。由于三個數(shù)均不同，所以三個數(shù)可以任意排列，有=6×6=36種情況。

綜①和②，共有 12＋36＝48種情況。

③一個5，偶數(shù)和奇數(shù)各一個。

首先，確定 5和一個偶數(shù)（如 2）：5,2,1；5,2,3；5,2,7；5,2,9。 由于偶數(shù)有 4 個（2,4,6,8)可供選擇且三個數(shù)各不相同，所以這三個數(shù)可以任意排列，故有 4×4×=4×4×6=96 種情況。綜上三種情況，共有 12＋48＋96＝156 種情況。若設(shè)事件 “A=所取的三個數(shù)字之積能被10整除”，則有。

故所取的三個數(shù)字之積能被10整除的概率為 0．214。

2.2 運用條件概率中的全概率公式求解

記事件“A”為“所取的三個數(shù)字之積能被10整除”,事件“B”為“所取三個數(shù)中含有 5”。 則事件“”為 所取三個數(shù)不能被10整除，“”為所取三個數(shù)不包含5。則由全概率公式可知：

則事件“∩B”為“取到 5但不能被 10整除”，即“全奇數(shù)且有 5”，則有

該方法主要用條件概率的全概率公式來求解。用事件取的三個數(shù)能不能取到5來進行分割，事件“”所取的三個數(shù)不能被10整除既包括所取三個數(shù)不包含5又包括所取三個數(shù)包含5這兩種對立的情形，用全概率公式來進行求解。

2.3 運用事件的獨立性求解

記事件 “A”為 “所取三個數(shù)能被十整除”，“A1”為“所取三個數(shù)中含有 5”，“A2”為所取三個數(shù)中含有偶數(shù)，則 A＝A1A2，所以

考慮到三次取數(shù)相互獨立，。所以

該方法主要運用了事件的獨立性，因為有放回的取三個數(shù)，所以第一次、第二次和第三次取數(shù)相互獨立互不影響.

3.常見錯誤分析

錯誤一：

記事件“A”為“所取的三個數(shù)字之積能被10整除”，有

故所取的三個數(shù)字之積能被10整除的概率為 0．049。

分析：把問題想得過于簡單，漏掉了一些情況，只列出了 2.1中正確解法中（1）的 4種情況，（2）①中的 4 種情況、（2）②中的 12 種情況，（3）的16種情況。也就是說這種做法只想到了（1）中三種位置的一種，漏掉了8種情況；（2）②中把5的位置固定了，漏掉了8種情況；（2）②同樣把5的位置固定了，漏掉了 24種情況；（3）中把先確定的5和一個偶數(shù)位置固定，漏掉了80種情況。

還有一種類似的錯誤，如下：

這種做法在上面做法的基礎(chǔ)上想到了排順序，但是直接全排就把一些情況又重復(fù)了一遍，即把有兩個5和有兩個偶數(shù)的情況多算了一遍，也就是說把（1）和（2）算了兩遍，共重復(fù)了 12＋48＝60種情況。錯誤二：

記事件“A”為“所取的三個數(shù)字之積能被10整除”，可分為三種情況：

（1）兩個 5，一個偶數(shù)：

（2）一個 5，兩個偶數(shù):

（3）一個5，偶數(shù)和奇數(shù)各一個：

共有12+48+48=108種情況。則有

分析：（1）和（2）兩種情況是對的，而（3）中 C2表示在三個位置中選兩個位置（不考慮排序）

3放一個奇數(shù)和一個偶數(shù)，顯然不考慮排序是錯誤的，因為有奇數(shù)和偶數(shù)不可能相同，故應(yīng)為

而（1）和（2）按照這種做法就是正確的，因為兩個5和兩個偶數(shù)的情況只需選位置即可。

總結(jié)：以上錯誤提醒我們在用古典概型的方法求解時要把問題想全面，做到不少不重復(fù)，容不得絲毫錯誤。

錯誤三：

錯誤重現(xiàn)：記事件“A”為“所取三個數(shù)能被10整除”， “A1”為“所取三個數(shù)中至少含有一個 5”，“A2”為“所取三個數(shù)中至少含有一個偶數(shù)”，則有

分析：該方法主要錯誤在于錯誤的認(rèn)為 p(A1∩A2)=P(A1)P(A2)，而 A1，A2并不互相獨立，所以 P(A1∩A2)≠P(A1)P(A2)。

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