索賠額服從混合指數(shù)分布的一類期望折現(xiàn)罰金函數(shù)

邵晶晶，王秀蓮，鄒 華

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

經(jīng)典風(fēng)險模型中保險公司的盈余過程可表示為

期望折現(xiàn)罰金函數(shù)定義為

其中：δ≥0為折現(xiàn)因子；τ為破產(chǎn)發(fā)生的時刻；X（τ-）為破產(chǎn)時刻之前的盈余；|X（τ）|為破產(chǎn)時的赤字；I{·}為示性函數(shù)；w（X（τ-），|X（τ）|）是一個罰金函數(shù)，依賴于破產(chǎn)前的盈余和破產(chǎn)時的赤字，一般設(shè)w（·，·）為在[0，+∞）×[0，+∞）上的非負(fù)可測函數(shù).

針對不同的情況，罰金函數(shù)可以選擇不同的形式，如文獻(xiàn)[1]研究了罰金函數(shù)為指數(shù)形式的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)；文獻(xiàn)[2]研究了罰金函數(shù)為w（U（T））的期望折現(xiàn)罰金函數(shù).通常情況下，當(dāng)保險公司盈余首次為負(fù)值時，即認(rèn)為公司破產(chǎn)[3].對于這種破產(chǎn)情形，相關(guān)文獻(xiàn)得到了很多有價值的結(jié)果.文獻(xiàn)[4]研究了索賠時間間隔為相位分布的期望折現(xiàn)罰金函數(shù).文獻(xiàn)[5]研究了帶干擾的有2個泊松過程的破產(chǎn)概率.文獻(xiàn)[6]研究了索賠時間間隔為相位分布的破產(chǎn)概率.在保險公司的實(shí)際運(yùn)營過程中，當(dāng)公司資產(chǎn)為負(fù)值時，不一定會發(fā)生破產(chǎn)，公司可以通過采取某些措施解決臨時的資金問題，直到公司發(fā)生實(shí)質(zhì)破產(chǎn).實(shí)質(zhì)破產(chǎn)由Albrecher等[7]于2011年首次提出.關(guān)于實(shí)質(zhì)破產(chǎn)模型，文獻(xiàn)[8]研究了索賠額服從指數(shù)分布的破產(chǎn)概率，文獻(xiàn)[9]研究了索賠時間間隔為混合指數(shù)分布的期望折現(xiàn)罰金函數(shù).

本文在罰金函數(shù)僅與赤字有關(guān)的條件下，考慮索賠額服從混合指數(shù)分布時常數(shù)實(shí)質(zhì)破產(chǎn)率情況下的期望折現(xiàn)罰金函數(shù).

1 期望折現(xiàn)罰金函數(shù)的積分微分方程

在實(shí)質(zhì)破產(chǎn)情況下，由于公司的盈余可以為負(fù)值，因此考慮罰金函數(shù)僅與赤字有關(guān)，定義期望折現(xiàn)罰金函數(shù)為

其中τ為實(shí)質(zhì)破產(chǎn)發(fā)生的時刻.

考慮在很小的時間區(qū)間（0，h）內(nèi)，以是否有索賠發(fā)生或發(fā)生實(shí)質(zhì)性破產(chǎn)為條件，時間為h時，第一次索賠或?qū)嵸|(zhì)破產(chǎn)同時發(fā)生的概率是高階無窮小.因此由全概率公式有

在式（3）中令 x=0，并令 h→0，可得 φ（x）在 x=0處右連續(xù)，在式（4）中令 x=-ch，并令 h→0，有 φ（x）在x=0處左連續(xù)，即

因此?x∈R，φ（x）連續(xù).式（3）和式（4）關(guān)于 h 求導(dǎo)，并令h→0，有

其中為 φ（x）的右導(dǎo)數(shù).用 x-ch 替換式（3）和式（4）中的x，并關(guān)于h求導(dǎo)，再令h→0，有

其中為 φ（x）的左導(dǎo)數(shù).

由φ（x）的連續(xù)性，比較式（6）和式（8）可得，x＞0存在，比較式（7）和式（9）可得，x＜0存在.

由式（5）、式（6）和式（9）可得

若令ω（0-）=0，可得在x=0連續(xù).定義

則式（8）和式（9）可變成

并有和·（w（-0-）- φ（0-））.

2 期望罰金函數(shù)的顯示表達(dá)式

可得

方程（13）的解為

對于一般函數(shù)ω（x），方程（14）是一個變系數(shù)微分方程.下面設(shè)破產(chǎn)率函數(shù)ω（x）=ωc·I{x＜0}（ωc＞0），w（-x）=1，則有

方程（17）對應(yīng)的齊次方程的特征方程為

設(shè)方程（17）的解為

將φu（x）和φl（x）代入式（13）和式（14），比較項(xiàng)和項(xiàng)的系數(shù)，得

由連續(xù)條件可得

由式（19）～式（21）可得

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