一類平面分段光滑線性Hamilton系統(tǒng)在多項(xiàng)式擾動(dòng)下的極限環(huán)個(gè)數(shù)

程振峰，李寶毅，張永康

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

1 引言和主要結(jié)果

分段光滑線性系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于機(jī)械學(xué)、電子工程學(xué)和自動(dòng)化理論等領(lǐng)域.為了估計(jì)2個(gè)區(qū)域的分段光滑線性Hamilton系統(tǒng)在擾動(dòng)下的極限環(huán)個(gè)數(shù)，文獻(xiàn)[1]證明了焦點(diǎn)-焦點(diǎn)型、焦點(diǎn)-拋物型和拋物-拋物型的分段線性系統(tǒng)至少存在2個(gè)極限環(huán).文獻(xiàn)[2]研究了分段多項(xiàng)式系統(tǒng)

其中：b±＞0；和為任意n次多項(xiàng)式.證明了該系統(tǒng)最多存在n個(gè)極限環(huán).文獻(xiàn)[3]研究了分段光滑線性系統(tǒng)

其中和為任意n次多項(xiàng)式.證明了該系統(tǒng)至少存在n+[（n+1）/2]個(gè)極限環(huán).文獻(xiàn)[4-5]分別構(gòu)造了2種分段光滑二次系統(tǒng)，并證明了系統(tǒng)至少Hopf分支出5個(gè)和9個(gè)極限環(huán).

本文研究分段光滑近Hamilton系統(tǒng)

其中：a、b、c∈R+；x0∈R；0 ＜ ε?1；n∈N+；

當(dāng)ε=0時(shí)，（1）0的分段Hamilton函數(shù)為

其中：；h-∈R-.此時(shí)分段光滑Hamilton系統(tǒng)（1）0存在逆時(shí)針走向的周期閉軌族，

由于H+（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱，故可設(shè)與負(fù)y軸的交點(diǎn)為A（0，-u），與正y軸的交點(diǎn)為A1（0，u），其中u=.對(duì)應(yīng)的，故與正y軸的交點(diǎn)為A1（0，u），與負(fù)y軸的交點(diǎn)為 A（0，-u）.本文得到如下定理.

定理當(dāng)x0=0時(shí)，系統(tǒng)（1）ε極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界為n+[（n+1）/2]；當(dāng)x0≠0時(shí)，系統(tǒng)（1）ε極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界為n-1+2[（n+1）/2].

2 一階Melnikov函數(shù)

設(shè)H+（x，y）=-v2，其中.設(shè) α =arccos（-x0/av），則的參數(shù)方程可設(shè)為

設(shè)的參數(shù)方程為

引理1[6]系統(tǒng)（1）ε的一階Melnikov函數(shù)為

證明顯然K0=2α，K1=2sin α=2u/v，則

整理可得Km+2=（m+1）Km/（m+2）+2u（-x0）m+1/（（m+2）am+1·vm+2）.證畢.

命題1設(shè)ξ=[n/2]，η=[（n-1）/2]，當(dāng)x≥0時(shí)，系統(tǒng)（1）ε的 Melnikov函數(shù)為

其中和分別表示關(guān)于v2的系數(shù)獨(dú)立的ξ和η次多項(xiàng)式.

所以

使用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=1時(shí)，

易知兩項(xiàng)系數(shù)獨(dú)立，滿足命題1的結(jié)論.當(dāng)n=2時(shí)，考慮增加項(xiàng)，有

其中兩項(xiàng)系數(shù)獨(dú)立，滿足命題1的結(jié)論.

假設(shè)當(dāng)n=2k（k∈N*）時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng)n=2k+1時(shí)，有

所以增加項(xiàng)為Av2k+2α，即當(dāng)n=2k+1時(shí)命題1成立.

假設(shè)當(dāng)n=2k+1（k∈N*）時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng)n=2k+2時(shí)，有

命題2當(dāng)x＜0時(shí)，系統(tǒng)（1）ε的Melnikov函數(shù)為，其中為系數(shù)獨(dú)立的u2的n次多項(xiàng)式，n∈N*.

設(shè)，則有

因?yàn)?3≤2i+（j+1）+1≤2i+2j+1=2n+1，所以

其中fn（u2）是關(guān)于u2的n次多項(xiàng)式，且n≥1.

命題2得證.

3 定理的證明

由引理1、命題1和命題2可得系統(tǒng)（1）ε的一階Melnikov函數(shù)為

令，則

當(dāng)x0=0時(shí)，α=π/2，因此M1（h）=u（Fn（u2）+uGη（u2）·π/2）.因?yàn)閡＞0，所以M1（h）=0等價(jià)于Fn（u2）+uGη（u2）·π/2=0，設(shè)

當(dāng)x0≠0時(shí)，M1（h）=0等價(jià)于

式（2）對(duì)u求導(dǎo)，整理后可得

其中：.上面方程至多有n+η+1=n+[（n+1）/2]個(gè)零點(diǎn).注意到式（2）右端分母至多有η個(gè)正零點(diǎn)，由文獻(xiàn)[8]可得M1（h）至多存在n+2[（n+1）/2]個(gè)正零點(diǎn).由于u＞0，且當(dāng)u=0時(shí)M1（h）=0，所以M1（h）正零點(diǎn)個(gè)數(shù)的上界是n+2[（n+1）/2]-1.故當(dāng)x0≠0時(shí)系統(tǒng)（1）ε極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界是n+2[（n+1）/2]-1.

[1]HAN M A，ZHANG W N.On Hopf bifurcation in nonsmooth planar systems[J].JournalofDifferentialEquations，2010，248（9）：2399-2416.

[2]LIU X，HAN M A.Bifurcation of limit cycles by perturbing piecewise Hamiltonian systems[J].International Journal of Bifurcation and Chaos，2010，20（5）：1379-1390.

[3]LIANG F，HAN M A，ROMANOVSKI V G.Bifurcation of limit cycles by perturbing a piecewise linear Hamiltonian systems with a homoclinic loop[J].Nonlinear Analysis，2012，75（11）：4355-4374.

[4]GASULL A，TORREGROSA J.Center-focus problem for discontinuous planar differential equations[J].International Journal of Bifurcation and Chaos，2003，13（7）：1755-1765.

[5]CHEN X W，DU Z D.Limit cycles bifurcate from centers of discontinuous quadratic systems[J].Computer Mathematics with Applications，2010，59（12）：3836-3848.

[6]LIANG F，HAN M A.Limit cycles near generalized homoclinic and double homoclinic loops in piecewise smooth system[J].Chaos Solitons and Fractals，2006，28（4）：454-464.

[7]張蓉蓉，李寶毅，張永康.一類平面分段光滑二次系統(tǒng)的極限環(huán)個(gè)數(shù)[J].天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，37（5）：7-10.ZHANG R R，LI B Y，ZHANG Y K.Number of limit cycles for a class of planar piecewise smooth quadratic systems[J].Journal of Tianjin Normal University（Natural Science Edition），2017，37（5）：7-10（in Chinese）.

[8]趙凌燕，李寶毅.羅爾定理的推廣及其應(yīng)用[J].天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，36（4）：6-9.ZHAO L Y，LI B Y.Promotion of Rolle theorem and it′s application[J].Journal of Tianjin Normal University（Natural Science Edition），2016，36（4）：6-9（in Chinese）.