初中數(shù)學(xué)需要培養(yǎng)的基本能力

秦愛東

[摘 要] 《法國義務(wù)數(shù)學(xué)課標》提出的信息的收集整理與探究、建模、表征、推理、計算與交流等六個基本能力與我國的要求一致. 筆者認為，結(jié)合具體實例研究能力培養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教師的基本任務(wù)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)要重視表征能力的培養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；基本能力；能力培養(yǎng)

近日，有專家比較研究了《法國義務(wù)數(shù)學(xué)課標》（以下簡稱《法標》），得出的重要結(jié)論之一，就是該課標最有特色的是提出了六個能力目標，這六個目標分別是：信息的收集整理與探究、建模、表征、推理、計算與交流. 將這六個目標與我國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》進行比較可以發(fā)現(xiàn)，探究、建模、推理、計算、交流等，與我國數(shù)學(xué)課程標準的要求基本上是相同的，而信息的收集整理在我國的數(shù)學(xué)建模中也是一個前置性的任務(wù)，差異較大的是“表征”這一概念. 而這也引起了筆者的興趣，同時基于他國的課程標準理解，也可以給我們的教學(xué)帶來新的啟發(fā)，從而促進自身對數(shù)學(xué)教學(xué)的理解，基于這樣的思路，筆者進行以下幾點綜合闡述.

數(shù)學(xué)視角下的信息收集整理

與探究

法標中對信息的收集整理與探究的目標描述包括這樣的幾個方面：一是能夠從文件（筆者以為這個概念可以擴展，起碼未必是指文本式的文件）中提取有用的信息；能夠參與科學(xué)活動，并通過觀察、質(zhì)疑、操作和試驗，以提出假設(shè)并進行證明；能夠?qū)⑶榫澈喕蛱卣骰撤N程度上講就應(yīng)當是數(shù)學(xué)化）；能夠?qū)⒋髥栴}細化成小問題，然后探究不同的簡化方案. 這些描述都是基于信息這一核心概念而進行的，法標重視信息應(yīng)當說是可以理解的，尤其是在與我國的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)進行比較之后可以發(fā)現(xiàn)，我國初中數(shù)學(xué)教學(xué)在很長的一段時間里，都是就數(shù)學(xué)而教，卻忽視了數(shù)學(xué)與生活尤其是與學(xué)生生活的聯(lián)系，而這種純粹的邏輯推理的學(xué)習(xí)，使得學(xué)生失卻了對信息最基本的敏感，也使得數(shù)學(xué)無法真正應(yīng)用于生活.

當然，今天的初中數(shù)學(xué)已經(jīng)強調(diào)對信息的感知、收集與加工，也因而我們應(yīng)當看到，面對信息尤其是信息中數(shù)學(xué)因素的提取，應(yīng)當成為當下初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要取向.

例如，在“軸對稱”的教學(xué)中，在建立軸對稱概念之前，筆者嘗試呈現(xiàn)一組關(guān)于建筑的主題圖片，從天安門城樓到故宮博物院，從人民大會堂到英國的白金漢宮，從埃菲爾鐵塔到凱旋門. 在呈現(xiàn)這些素材的時候，筆者盡量不提供任何指引性的語言，而是讓學(xué)生去直接感知. 而為了讓學(xué)生的思維向軸對稱聚焦，筆者還借助于現(xiàn)代教學(xué)手段，將這些彩色圖片進行黑白化處理，然后進行虛化直到呈現(xiàn)建筑的輪廓，在這樣的圖片演化過程中，學(xué)生能夠明顯感覺到所有的建筑物都具有一個共同特征，那就是“左右是相同的”（這是學(xué)生初步描述的語言），而一旦學(xué)生意識到這一點，那建立軸對稱概念并探究其性質(zhì)，就有了堅實的認知基礎(chǔ).

再如，在學(xué)習(xí)了軸對稱之后，可以讓學(xué)生去舉出身邊對稱建筑物的例子，這樣學(xué)生的思維所加工的對象，就是身邊的事物，學(xué)生所運用的思維就是帶著軸對稱知識對身邊的事物進行判斷的思維. 這個過程中還可以讓學(xué)生對一些對象進行精細研究，比如說一張桌子或一本書，看可以找出多少條對稱軸等. 這種從生活事物中獲取信息并從中提取所學(xué)的數(shù)學(xué)知識的過程，就是一個信息收集整理加工的過程，其可以促進數(shù)學(xué)知識的深刻理解，進而形成卓有成效的數(shù)學(xué)視角與數(shù)學(xué)能力. 有意思的是，在上述教學(xué)環(huán)節(jié)中，還有學(xué)生別出心裁地去研究漢字的結(jié)構(gòu)，然后找出了一些近似軸對稱的漢字，筆者以為這也是一種很好的軸對稱知識運用的意識.

這樣來看法標中的信息收集整理與探究，可以發(fā)現(xiàn)這是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一種重要展現(xiàn). 其與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中所提出的數(shù)學(xué)抽象其實也是密切相關(guān)的，因為一個信息是否能夠納入學(xué)生的數(shù)學(xué)視角，學(xué)生又能否從紛繁的信息中進行有效整理與探究，本質(zhì)上就是一個數(shù)學(xué)抽象的過程. 故而從這個角度來看，培養(yǎng)學(xué)生信息收集整理與探究的能力，與核心素養(yǎng)是一脈相承的.

數(shù)學(xué)建模及其相關(guān)的其他能

力培養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須形成的一個基本能力，盡管在《法標》中數(shù)學(xué)建模與其他相關(guān)的能力是分開討論的，但筆者以為數(shù)學(xué)建模實際上是一個相對綜合的過程，邏輯推理、計算和交流等能力往往都存在其中. 所以說從綜合能力培養(yǎng)的角度來思考數(shù)學(xué)建模及其他能力的培養(yǎng)，對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)來說也是可行的.

《法標》在闡述建模能力的學(xué)習(xí)目標時是這樣確立的：能判斷成比例的問題情境，并能夠解決相應(yīng)的問題；能把實際問題用數(shù)學(xué)語言表述（這實際上也與數(shù)學(xué)抽象有關(guān)）；理解并能夠運用數(shù)或幾何來模擬實際情況（這實際上是數(shù)學(xué)運用）；能判斷一個數(shù)學(xué)模型是否正確（這是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中比較缺失的）等. 仔細研究這些表述，可以發(fā)現(xiàn)這其中有一個明確的思路，那就是《法標》中的數(shù)學(xué)建模是特別強調(diào)與實際問題進行聯(lián)系的，而這也是我們初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個被忽視的地方，我們在強調(diào)數(shù)學(xué)模型的時候，更多的是希望其能夠為解決一些習(xí)題提供幫助，而不是為了在學(xué)生的思維中建立一個豐滿、立體的數(shù)學(xué)形象.

在蘇教版八年級上冊的“整式的乘法”中有這樣一個引入性的問題：一種電子計算機每秒可以進行一千萬億（1015）次運算，那它工作103秒可以進行多少次運算？實際教學(xué)中，這個問題的解決所得到的表達式是am·an=am+n（m，n都是正整數(shù)），這里，這個表達式就可以視作一個數(shù)學(xué)模型，一個用于解決同底數(shù)冪的乘法的模型. 這個模型的形成過程，通常是通過數(shù)學(xué)探究來實現(xiàn)的. 教材上給出的探究過程實際上是一個不完全歸納法的運用：25×22=2（ ）；a3×a2=a（ ）；5m×5n=5（ ）（m，n都是正整數(shù)）. 雖然這里只有三個式子，但卻各具挖根生，第一個式子是純粹的數(shù)字表達，適合學(xué)生的思維特點；第二個式子的底數(shù)是字母表達；第三個式子的冪是字母表達. 學(xué)生經(jīng)由這三步的演算，思維就逐步向最終的同底數(shù)冪表達式靠近，實際上也就完成了一個邏輯推理的過程，進而也就培養(yǎng)了邏輯推理的能力. 這其中自然也涉及了計算，于是計算能力的培養(yǎng)是自然而然的. 至于交流能力的培養(yǎng)，更多的是在具體的學(xué)習(xí)過程中形成，這與教師組織學(xué)習(xí)的方式有關(guān). 當前我國課程標準中所強調(diào)的小組合作學(xué)習(xí)已經(jīng)成為主流學(xué)習(xí)的方式之一，其對學(xué)生交流合作能力的培養(yǎng)非常有用.

其實這個教學(xué)過程中還是有潛力可挖的，比如說在最初解決計算機那個問題的時候，可以放大一下學(xué)生數(shù)指數(shù)上0的個數(shù)的過程，如果不出意外，學(xué)生會感覺到0的個數(shù)太多，數(shù)起來太累. 這個時候教師可以“霸道”一點，堅持讓學(xué)生迅速地數(shù)且要數(shù)對，這樣做的主要目的，就是讓學(xué)生感覺到憤或悱，以為后面同底數(shù)冪的乘法公式這一模型的出現(xiàn)奠定啟發(fā)式的心理基礎(chǔ). 這樣學(xué)生會對所得到的數(shù)學(xué)模型印象深刻，從而也就提升了模型運用的能力. 又如推理能力與數(shù)學(xué)建模關(guān)系的確定，也可以為兩個能力的培養(yǎng)尋找新的契機，前者既存在于數(shù)學(xué)模型的建立過程中，又存在于數(shù)學(xué)模型的運用過程中，強化數(shù)學(xué)模型建立與運用過程中的推理，對于邏輯推理能力乃至于直覺（合情）推理能力都有好處.

初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表征能力

的培養(yǎng)

關(guān)于表征能力的培養(yǎng)，在我國數(shù)學(xué)教學(xué)研究的視域里，表征這個概念并不多見，即使有也通常是作為描述其他數(shù)學(xué)教學(xué)理念的輔助性概念，因此其在《法標》中出現(xiàn)，確實引發(fā)了筆者很大的興趣.

表征本是一個心理學(xué)的概念，其指對客觀事物的反映. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表征，主要是指利用數(shù)學(xué)概念或規(guī)律去準確地描述一個事物，于是數(shù)學(xué)表征能力也就是學(xué)生運用數(shù)學(xué)概念的能力，這個能力是由學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、規(guī)律的理解來支撐的. 《法標》中對表征能力的目標描述是：能夠選擇合適的內(nèi)容模塊來闡述一個問題或?qū)W習(xí)一個數(shù)學(xué)知識（其余的在此不贅述）. 這樣的表述與我們的理解一致，也需要在今年的數(shù)學(xué)教學(xué)中加以強調(diào).

表征實際上是一個復(fù)雜的過程，不同學(xué)生的個體，由于擅長的思維方式不同，因而即使學(xué)習(xí)同一個知識，其所采用的表征方式有可能不同，這也是造成學(xué)習(xí)結(jié)果差異的重要原因（有的教師抱怨“我一樣上課的，不知道為什么有些學(xué)生就是學(xué)不會”，這個抱怨的答案可能就與數(shù)學(xué)知識的表征相關(guān)）. 比如說上面所舉的軸對稱的例子，有的學(xué)生習(xí)慣于形象思維，因此他大腦中可能留存的就只是對稱圖形的表象，而沒有利用對稱軸等構(gòu)建出來的數(shù)學(xué)概念，因此這類學(xué)生對軸對稱圖形敏感，而對相應(yīng)的數(shù)學(xué)語言的運用存在困難，因而這類學(xué)生在試卷上出錯的往往也就是對數(shù)學(xué)語言運用要求較高的題目.

通過這個例子可以看出，表征能力的培養(yǎng)確實是比較重要的，某種程度上講，其是當前提高教學(xué)效益最有價值的切入口.