從“隨機(jī)過程”的角度認(rèn)識測量誤差及其分類

李冰瑩， 李永新， 馬宇明， 葛方麗

(1.南京理工大學(xué)， 江蘇 南京 210094； 2.江蘇省計量科學(xué)研究院， 江蘇 南京 210023)

1 引 言

測量是人類認(rèn)識自然、探索自然必不可少的一種重要手段。由于多種因素的影響，在測量過程中難免存在誤差，由測量誤差的定義、分類、“隨機(jī)誤差”的分布形式、標(biāo)準(zhǔn)偏差等概念，衍生相應(yīng)的實(shí)用處理方法，形成了測量誤差理論體系[1]。

經(jīng)典誤差理論中將誤差分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩類不同性質(zhì)誤差。但近年來，在評估誤差范圍時發(fā)現(xiàn)，作為系統(tǒng)誤差遺留在測量結(jié)果中的誤差分量都是不確定的，具有隨機(jī)性。隨著近年來不確定度的推廣和應(yīng)用，人們對測量結(jié)果的“測量不確定度”進(jìn)行評估時，發(fā)現(xiàn)作為“系統(tǒng)誤差”最終遺留在測量結(jié)果中的誤差分量，即所謂“未定系統(tǒng)誤差”，是不能通過修正消滅的，對“測量不確定度”有不可忽視的貢獻(xiàn)。這些所謂“未定系統(tǒng)誤差”實(shí)際都是不確定的量，也就是通常意義下的“隨機(jī)量”。因此，經(jīng)典誤差理論中關(guān)于“系統(tǒng)誤差”和“隨機(jī)誤差”的命名分類需重新認(rèn)識。

2 經(jīng)典誤差理論中測量誤差定義

此處所論測量誤差，是指測量儀器(系統(tǒng)、方案)所給出的“測得值”[輸出量]與“被測量(的真)值”[輸入量]的差值。它包含在對測量儀器(系統(tǒng))進(jìn)行“校準(zhǔn)”時，由于“校準(zhǔn)”方法的不完善(譬如所用測量標(biāo)準(zhǔn)的“不確定”等)所引起的成分，受測量儀器(系統(tǒng))自身性能結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性、被測量的大小及環(huán)境條件等影響，是反映測量儀器(系統(tǒng)、方案)綜合計量特性的參量。

經(jīng)典誤差理論將正常的測量誤差分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩類，以便有效簡化“重復(fù)測量”時的測量結(jié)果處理(測量結(jié)果的“測量不確定度”估計；或經(jīng)典誤差理論中的“誤差”估計)。

2007年的《國際通用計量學(xué)基本術(shù)語》(簡稱《VIM》)第3版對系統(tǒng)誤差定義：在重復(fù)測量時保持恒定不變或按可預(yù)見的方式變化的測量誤差分量[2]。其中的“重復(fù)測量”可以理解為所論測量儀器(系統(tǒng)、方案)在宏觀應(yīng)用條件相同時(所謂的“重復(fù)性測量”條件下)進(jìn)行的多次測量，包括對同一“工件”的多次測量，也包括對同型號的一批“工件”各測一次而形成的多次測量。定義中的“保持恒定不變”是實(shí)際應(yīng)用中便于辨識、掌握的唯一性客觀特征，但“按可預(yù)見的方式變化”卻千差萬別，有所謂的線性系差、周期性系差和復(fù)雜規(guī)律變化的系差[3]，沒有統(tǒng)一的辨識方法可用。

《VIM》第3版對隨機(jī)誤差定義：在重復(fù)測量時按不可預(yù)見的方式變化的測量誤差的分量。該定義與上述“系統(tǒng)誤差”相對，以變化方式“不可預(yù)見”表明“隨機(jī)”之名。但定義并未明確“不可預(yù)見”的客觀標(biāo)準(zhǔn)，對其進(jìn)行“統(tǒng)計”辨識時便難免帶有主觀隨意性，實(shí)際“統(tǒng)計”中往往將“重復(fù)測量”時測量誤差的所有變化成分都認(rèn)作“隨機(jī)誤差”分量，這在許多情況下將不能達(dá)成對測量誤差區(qū)分兩類的期望效果。

3 測量誤差與隨機(jī)過程

按常規(guī)理解，隨機(jī)的對面應(yīng)該是確定，因此與隨機(jī)誤差對應(yīng)的系統(tǒng)誤差應(yīng)該是確定性成分。但其實(shí)，到了評估誤差范圍的階段，所有的測量誤差分量都已被當(dāng)成隨機(jī)量看待。測量誤差的總體屬性或應(yīng)是“零均值的隨機(jī)量”，與之對應(yīng)的時空序列便是所謂的“零均值的隨機(jī)序列”。

在測量儀器(系統(tǒng)、方案)的工作范圍內(nèi)所進(jìn)行的任一次測量，都將生成該測量儀器(系統(tǒng)、方案)“測量誤差”的一個“樣本值”，所有“樣本值”構(gòu)成的序列，便是一個表達(dá)該測量儀器(系統(tǒng)、方案)“測量誤差”的“隨機(jī)過程”，并且測量誤差作為隨機(jī)過程具有統(tǒng)計特性。此“隨機(jī)”的本意是表達(dá)其值(各個“樣本值”)是不確定的(不能由當(dāng)前可知的信息確定)，而不是說它在某個考察范圍內(nèi)是否會變化。

“隨機(jī)過程”的各個元素之間可能“完全無關(guān)”，也就是所謂“白噪聲”型的“隨機(jī)過程”，這是一種理想化的“隨機(jī)過程”； 也可能存在一定的“相關(guān)性”，與“白噪聲”對應(yīng)，不妨稱之為“有色”的“隨機(jī)過程”?！坝猩钡摹半S機(jī)過程”是“隨機(jī)過程”的一般情形。

雖然“隨機(jī)過程”屬于不能完全掌握其規(guī)律的“隨機(jī)”誤差，但“隨機(jī)過程”中各因素引起的誤差分量具有統(tǒng)計規(guī)律，可通過自相關(guān)函數(shù)、概率密度函數(shù)、功率譜密度等特性參量分析其特點(diǎn)。

有的誤差分量隨時間變化非常劇烈，如圖1所示ε1(t)，ε1(t)的自相關(guān)系數(shù)為

(1)

其波形如圖1所示γ1(τ)，只在時延τ較小時非零，且ε1(t)的前后取值幾乎不相關(guān)。

圖1 ε1(t)隨時間變化示意及其自相關(guān)系數(shù)γ1(τ)波形

有的誤差分量取值隨時間變化相對比較緩慢，如圖2所示ε2(t)。其自相關(guān)系數(shù)波形如圖2所示γ2(τ)，在較大的時延τ范圍內(nèi)非零，且ε2(t)的前后取值有一定相關(guān)性。

圖2 ε2(t)隨時間變化示意及其自相關(guān)系數(shù)γ2(τ)波形

有的誤差分量則可能在一段相當(dāng)長的時間內(nèi)基本不變，只在特定時刻發(fā)生躍變，但取值大小是隨機(jī)、不確定的，如圖3所示的ε3(t)。其自相關(guān)系數(shù)波形如圖3所示γ3(τ)，在較大的時延τ范圍內(nèi)接近于1，且ε3(t)的前后取值相關(guān)性較大。

圖3 ε3(t)隨時間變化示意及其自相關(guān)系數(shù)γ3(τ)波形

假定某“隨機(jī)過程”中同時容留上述3個誤差分量，即

x*=x+ε1+ε2+ε3

(2)

式中:x*是測量結(jié)果；x表示被測量真值。

如果在有限時間內(nèi)進(jìn)行m次重復(fù)測量，計算m次重復(fù)測量結(jié)果的平均值，有

(3)

4 系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差新認(rèn)識

如果對測量儀器(系統(tǒng)、方案)的測量工作不做任何計劃安排，完全隨機(jī)實(shí)施測量，大多數(shù)因素引起的測量誤差分量都可能簡化當(dāng)作“白噪聲”型的“隨機(jī)過程”處理，相應(yīng)的，對測量誤差的“分類”也失去必要。

但測量儀器(系統(tǒng)、方案)的實(shí)際測量工作通常并不會隨機(jī)進(jìn)行，大多是有計劃按步驟進(jìn)行，其中，“重復(fù)性測量”是一種廣泛應(yīng)用的工作模式。在重復(fù)性測量條件下，“隨機(jī)過程”在某個考察范圍內(nèi)是否變化、變化的特征等可根據(jù)其測量結(jié)果的相關(guān)性進(jìn)行分類。但如果對“隨機(jī)過程”中各因素引起的測量誤差分量都確切求解自相關(guān)函數(shù)的結(jié)果、獲取時間關(guān)聯(lián)的定量數(shù)據(jù)(相關(guān)系數(shù)的確切值)，不僅工作量巨大，而且實(shí)際應(yīng)用效果也未必理想。

實(shí)用的處理方案是將所有“隨機(jī)過程”分量理想化地分為在時間上完全關(guān)聯(lián)和完全不關(guān)聯(lián)兩大類。經(jīng)典誤差理論中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差之分應(yīng)是對此“隨機(jī)過程”的實(shí)用分類，其實(shí)質(zhì)是“自相關(guān)性”的兩種極限情況：系統(tǒng)誤差是自相關(guān)系數(shù)等于1的完全正相關(guān)，隨機(jī)誤差是自相關(guān)系數(shù)等于0的完全不相關(guān)。

在時間上前后密切關(guān)聯(lián)的誤差分量，其歸一化自相關(guān)函數(shù)的絕對值|γ(τ)|將在較大的時延τ范圍內(nèi)取值接近于1，如圖3所示的γ3(τ)。其功率譜密度是如圖4所示有色譜G2(f)，誤差功率只在一個不太寬的頻率范圍內(nèi)相對較大，覆蓋的頻率范圍有限。不妨稱之為“有色”誤差(colored error)分量εS(t)。

圖4 白噪誤差、有色誤差的功率譜密度

在時間上前后近似完全不關(guān)聯(lián)的誤差分量，其自相關(guān)函數(shù)只在時延τ較小時不等于零，如圖1所示的γ1(τ)。其功率譜密度如圖4所示G1(f)，近似于“白噪聲”，誤差功率在較寬的頻率范圍內(nèi)近似一致，幾乎覆蓋全屏。不妨稱之為“白”誤差(white error)分量εW(t)。

將完整的“隨機(jī)過程”ε(t)理想化地分為“白”誤差εW(t)和“有色”誤差εS(t)兩大類后，將有

ε(t)=εW(t)+εS(t)

(4)

且εW(t)與εS(t)是互不相關(guān)的，與經(jīng)典誤差理論中“測量誤差=隨機(jī)誤差+系統(tǒng)誤差”一致。

5 結(jié) 論

實(shí)際上，“系統(tǒng)性的”與“隨機(jī)性的”并不是兩個能夠完全劃清界限的概念，人為從概念上區(qū)分“系統(tǒng)誤差”、“隨機(jī)誤差”于誤差分析和補(bǔ)償?shù)膶?shí)用意義也許并不大。嘗試摒棄將經(jīng)典誤差理論中測量誤差區(qū)分為“系統(tǒng)誤差”與“隨機(jī)誤差”的做法，努力探索誤差的具體形成規(guī)律，找到規(guī)律確定、補(bǔ)償可行的誤差分量，加以硬件或軟件補(bǔ)償，對切實(shí)提高測量精度實(shí)用意義可能更大。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 費(fèi)業(yè)泰.誤差理論與數(shù)據(jù)處理[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2010.

[2] 耿維明. 測量誤差的概念及其分類[J].中國計量,2010，(12):68-71.

[3] 肖明耀.誤差理論與應(yīng)用[M].北京:計量出版社,1985.

[4] BIPM,IEC,IFCC,IUPAC,IUPAP,ISO,OIML. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement(GUM)[S]. 1995.

[5] 王立吉.計量學(xué)基礎(chǔ)[M].北京:中國計量出版社,2006.

[6] 張世箕.測量誤差及數(shù)據(jù)處理[M].北京:科學(xué)出版社,1979.

[7] ISO/IEC GUIDE 98-3:Uncertainty in Measurement-Part3: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement)(GUM)[S].2008.

[8] ISO/IEC GUIDE 99:International vocabulary of metrology-Basic and general concepts and associated terms (VIM)[S]. 2007.

[9] 沙定國.實(shí)用誤差理論與數(shù)據(jù)處理[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,1993.

[10] JCGM_200:International vocabulary of metrology-Basic and general concepts and associated terms (VIM 3rd edition)[S].2012.