談學生遷移能力的培養(yǎng)
——以等差數列為例

☉江蘇省張家港市沙洲中學 戴御梅

遷移能力的培養(yǎng)既是數學教學的主要任務，也是學生建構數學認知、發(fā)展數學思維的基本途徑.為了更加有效地培養(yǎng)學生的遷移能力，我們需要對學生思維的概括性、問題性以及相似性等特征予以充分關注.下面，筆者就以等差數列的教學為例，探討一下自己對這些問題的想法.

一、關注情境創(chuàng)設，有效培養(yǎng)學生的概括能力

學習情境對數學思維概括性的發(fā)展有著直接影響，而概括性又正是遷移能力發(fā)展的基礎所在.教學中，教師要創(chuàng)設一個良性的學習情境，以便更好地發(fā)展學生思維的概括性.在創(chuàng)設過程中，教師務必要合理掌控復雜程度，要有效避免認知的功能固著，引導學生思維發(fā)展的一般化.

1.在復合情境中探索數學知識的本質屬性

如果我們的學生是在一個復合抽象的學習情境中探索數學問題，他們的思維發(fā)展將更具彈性，這也有助于學生遷移能力的發(fā)展.比如，教學“等差數列”的概念時，我們引入的實例可以是一些相對比較復雜的情境，我們可以借助學生已經具備的函數基礎來完成情境創(chuàng)設，引導學生認識到當自變量分別取1、2、3、…時，f（x）=x+4，f（x）=7x-3，f（x）=x3+6等函數的取值特點，如此學生將從中把握住不同類型數列的基本特點，他們也將藉此而回歸數列的本源.通過對實例的分析，學生將從中發(fā)現等差數列的特點，即每一項和前一項的差值應該是同一個常數，他們也將進一步完成對等差數列基本概念的概括.

復合情境不但有助于學生把握研究對象之間的關系，而把握情境的本質，以及對有關實例進行數學化的過程將有助于學生概括能力的培養(yǎng)，而這種概括能力也恰恰是數學思維能夠靈活遷移的基礎所在.

2.在探索共性中實現模式一體化

發(fā)展學生的概括能力主要依賴于他們的問題共性意識，而這些意識的表現往往體現在他們在不同問題中探尋共同原理的過程.因此，教師引導學生對有關對象的共性展開探索是概括能力發(fā)展的基本途徑，這當然也是教師情境創(chuàng)設的主要關注點.

比如，在引導學生探索等差數列的通項公式時，我們可以將其與直線方程展開類比，啟發(fā)學生展開聯(lián)想，發(fā)現共性.等差數列的通項公式an-a1=d（n-1）可以和直線方程y-y0=k（x-x0）進行類比，其中公差d與斜率k、數列中的點（1，a1）與直線圖像上的點（x0，y0）展開對比，學生必然也會由此發(fā)現d與a1在等差數列中的地位，就相當于k與（x0，y0）在函數中的地位，即這些都是研究對象的決定性因素.如此學生將探尋到等差數列和直線方程的共性，一些轉化的思想也將浸潤學生的大腦.

例1現有一個一次函數y=f（x），已知f（3）=5，且f（2）2=f（1）f（5），則f（1）+f（2）+…+f（6）=___________.

分析：我們將{f（n）}理解為一個等差數列，結合題設條件可知（5-2d）（5+2d）=（5-d）2（d≠0），可以解出d=2，因此可以用等差數列前n項和的方法求得f（1）+f（2）+…+f（6）=36.

上述問題將等差數列的知識遷移到一次函數的問題分析中，通過這個問題，我們發(fā)現遷移的運用很大程度上依賴于有關對象的共性.可以說，正是共性促成了一般化模式的形式，而共性也是問題隱含著的本質性聯(lián)系，學生在問題分析過程中要有探求共性的基本意識和習慣.

二、關注問題表征，有效培養(yǎng)學生的轉化能力

思維的問題性正是其遷移實現的基本途徑，而影響思維問題性的正是問題表征.杜威將問題解決的過程劃分為五個基本步驟，而第一個就是結合情境來感知問題，對問題進行表征需要有鑒別以及轉化的能力.數學的學習過程在一定程度上是學生對思維模式的探索歷程，教師關注學生的問題表征能力和意識，有助于學生數學遷移思維的發(fā)展.

1.以多元化的表征來探索問題的多途徑解決

問題表征對數學思維的遷移有著促進作用，因為數學問題的表征過程與最終的問題解決方法是相通的，在具體教學中，教師可以結合一些實例進行示范和介紹.

例2 如圖1所示，∠O的兩條邊上存在各不相同的點A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…，而且所有的AnBn要相互平行，并且所有梯形AnBnBn+1An+1的面積大小都相等.假設OAn=an，如果a1=1，a2=2，請確定數列{an}的通項公式.

分析：本題不但考查了學生對數列遞推求解通項公式的能力，也考查學生對相似三角形以及平行線分線段成比例等知識的認識.

基本解答如下：

設S△OA1B1=m（m＞0），因為所有的AnBn均相互平行，且a1=1，a2=2，所以S梯形AnBnBn+1An+1=S梯形A1B1B2A2=3m，

圖1

將上述各項進行累乘處理，可得an2=（3n-2）a12.

又因為a1=1，所以有an=.

以上解析綜合運用了累乘法、遞推法來完成對問題的解答.

我們還可以引導學生從另外一個角度展開思考，由題意可得，所有的AnBn均相互平行，所以有

化簡可得an+12+an-12=2an2，令bn=an2，則{bn}是等差數列.

又b1=1，b2=4，則公差d=3.

所以bn=3n-2，則an=.

該解析方法在于找到{bn}是等差數列，并通過替換得到了最終的結論.這是從兩種不同的角度完成了對問題的表征，事實上，就數學問題的探索而言，問題表征的式樣越多，所對應的認知結構也就更加豐富，達成遷移的可能性也就相對更大一些.

2.在表征方式轉換中發(fā)掘新問題

我們利用問題表征來完成問題解決的過程，其實與思維遷移過程是統(tǒng)一的，這也是探求問題解決的基本途徑.在利用問題表征來促進學生發(fā)展遷移能力的教學中，教師務必要注意到從相似中探尋差異，引導學生由此來發(fā)掘新問題.

例3 令等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3=9，S6=36，請確定a7+a8+a9的值.

分析：上述問題的難度并不大，如果我們不對a7+a8+a9進行任何轉化，只需要運用公式S3=9，S6=36代入即可求得a1=1，d=2，所以有a7+a8+a9=3a8=3（1+7×2）=45.而這一點又啟發(fā)我們關注到等差數列前n項和Sn存在以下性質：S3，S6-S3，S9-S6是等差數列，因此我們也可以直接這樣來求解答案：a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=45.

以上問題我們通過對表征目標的轉化而獲得了新思路的啟發(fā)，從而以更加抽象的層面切入問題分析，由數學知識更加快捷地導出了問題結論，這實際上屬于思維的自動化過程.教師在教學中，不但要引導學生把握住基本概念和定理，更要啟發(fā)學生從概念和定理出發(fā)，推導出新的知識，探求到新的結論.

三、關注元認知，培養(yǎng)學生的類比能力

數學思維的相似性受到類比能力的影響，而這種相似性也直接為遷移提供了可靠的依據.涂榮豹先生曾在《數學學習與數學遷移》一文中指出，數學教學可以運用元認知提示的方法來幫助學習者將有關知識和能力遷移到新的情境之中，而無需進行明顯提示.

1.以元認知策略來催生類比意識

元認知是對認知過程的認知，元認知策略的基本內容是監(jiān)控策略.因此，我們倡導學生在自我監(jiān)控和評價中促使自己完成有意識地學習遷移.比如，將等差數列理解為一次函數，將等比數列理解為指數型函數；等差數列有等差中項，等比數列亦存在等比中項；若p+q=m+n，在等差數列中有結論ap+aq=am+an，而等比數列也有apaq=aman；同樣是前n項的和Sn，在等差數列中，有Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…構成等差數列，則在等比數列中，也有Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…構成等比數列.在實際教學中，我們要鼓勵學生比較知識之間的相同和類似，并結合元認知策略的使用來進行反思和總結.

2.在樣例學習中把握類比途徑

對高中生而言，樣例可以為他們提供可供模仿的學習材料，是一種可靠的學習手段，它一般包括問題、解決方法以及評論等三個部分.對樣例的研究有助于學生把握類比途徑，讓學生將樣例中所接觸的表征方法運用到新的情境之中.因此我們在教學中應該通過樣例啟發(fā)學生發(fā)現知識之間的關聯(lián)，由此提升他們的類比能力和遷移意識.

概括性、問題性以及相似性直接影響著思維遷移的效果，數學教師要把握學生在這三個方面的發(fā)展狀況，并結合具體情況予以針對性的引導和幫扶，推動他們思維品質的良性發(fā)展.

1.涂榮豹.數學學習與數學遷移［J］.數學教育學報，2006（4）.

2.鄭成杰.對數學遷移問題的探討［J］.數學學習與研究，2012（5）.J