平面向量最值問題的破解策略

☉濰坊（上海）新紀(jì)元學(xué)校 高繼勇 王興亮

平面向量的最值問題是高考平面向量中比較常見的考查形式之一，往往涉及向量的模、向量的夾角、向量的數(shù)量積、參數(shù)值等相關(guān)最值的求解.此類問題往往難度較大，切入點(diǎn)較多，如何正確破解，下面結(jié)合高考真題就常見的破解策略加以分析.

一、函數(shù)法

例1（2017年全國Ⅱ卷理12）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則·（+）的最小值是（ ）.

分析：通過巧妙構(gòu)造直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，通過平面向量的坐標(biāo)表示與數(shù)量積公式得到有關(guān)參數(shù)x、y的二次關(guān)系式，通過配方，結(jié)合函數(shù)法確定最值即可.

解：以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖1，則B（-1，0），C（1，0），A（0，）.

圖1

故選擇答案：B.

點(diǎn)評：在解決平面向量的數(shù)量積問題中，通過巧妙構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法來求解相應(yīng)的向量的數(shù)量積問題，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題，結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定相應(yīng)的最值問題，這也是高考中解決此類問題比較常見的一類技巧方法.

二、三角法

例2（2017年全國Ⅲ卷理12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若=λ+μ，則λ+μ的最大值為（ ）.

分析：通過建立平面直角坐標(biāo)系，把矩形放在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)平面向量的線性關(guān)系式得到λ、μ的參數(shù)關(guān)系式，通過三角變換，利用三角法來解決參數(shù)式的最值問題.

解：如圖2，建立平面直角坐

標(biāo)系，設(shè)A（0，1），B（0，0），C（2，0），D（2，1），設(shè)點(diǎn)P（x，y），根據(jù)等面r，解得圓C的半徑r=，即圓C的方程是（x-2）2+y2=

圖2

所以λ+μ的最大值為3.

故選擇答案：A.

點(diǎn)評：在解答高考平面向量問題時(shí)，經(jīng)常借助三角換元，把題中的相關(guān)向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題，選擇一些合適的三角函數(shù)（或三角函數(shù)式）去代換關(guān)系式中的變數(shù)，由自變量的范圍限制角的范圍，利用三角函數(shù)中的相關(guān)知識，將所求問題化歸為三角問題，用三角法來解決向量的相關(guān)問題，是實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)的一種非常有效的轉(zhuǎn)化策略.

三、圖像法

例3 （2017年北京卷文12）已知點(diǎn)P在圓x2+y2=1上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），O為原點(diǎn)，則A →O·A →P的最大值為______.

分析：本題以單位圓為載體，建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，利用圖像并結(jié)合平面向量的數(shù)量積的幾何意義，結(jié)合相應(yīng)的圖像中的向量來確定最值問題.

解：利用數(shù)量積的幾何意義，如圖3，點(diǎn)P是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)A，O，P三點(diǎn)共線時(shí)，AP的長度最大，且A →O與A →P同方向時(shí)，易得最大值為2×（2+1）=6，故填答案：6.

點(diǎn)評：通過平面向量的數(shù)量積的幾何意義，結(jié)合平面向量具有“形”的特征，加以數(shù)形結(jié)合，通過直觀圖像的分析與觀察來確定相應(yīng)向量間的關(guān)系，進(jìn)而確定最值.解決問題比較直觀有效，操作起來也比較簡單可行.

圖3

四、不等式法

例4 （2017年浙江卷15）已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是______，最大值是______.

分析：結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式，以及基本不等式來轉(zhuǎn)化向量關(guān)系式|a+b|+|a-b|，進(jìn)而確定最小值與最大值問題，達(dá)到解決問題的目的.

解：由于（|a+b|+|a-b|）2=（a+b）2+（a-b）2+2|a+b|·|a-b|=2a2+2b2+2|a+b|·|a-b|=10+2|a+b|·|a-b|≥10+2|（a+b）·（a-b）|=10+2|a2-b2|=16，則有|a+b|+|a-b|≥4（當(dāng)且僅當(dāng)a+b和a-b方向相反，即a∥b時(shí)等號成立）.

點(diǎn)評：平面向量本身具有“數(shù)”與“形”的特征，可以結(jié)合條件建立相應(yīng)的關(guān)系式、不等式，結(jié)合基本不等式來處理相應(yīng)的問題.其實(shí)，本題還可以通過構(gòu)造幾何圖形，把問題放在特殊的幾何圖形中加以直觀分析與判斷，利用圖像法解答更直觀，更簡捷，更可行，便于判斷與操作.

在解答高考平面向量最值問題時(shí)，關(guān)鍵是結(jié)合題目條件，從題意入手，從平面向量的本質(zhì)出發(fā)，選取函數(shù)法、三角法、圖像法、不等式法等行之有效的基本方法來參與解決，進(jìn)而達(dá)到解決相關(guān)最值問題的目的，提升能力，拓展思維.F