對等差數(shù)列的充要條件的探討

☉湖北省華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué) 王麒寧

從數(shù)列的定義本身、對稱性質(zhì)、數(shù)列通式，以及與前n項(xiàng)和的關(guān)系出發(fā)，我們可以得到{an}為等差數(shù)列的一系列等價(jià)條件：

①an+1-an=d（d為常數(shù)）；

②2an+1=an+an+2（n∈N*）；

③an=pn+q（p，q為常數(shù)）；

④Sn=An2+Bn（A，B為常數(shù)）；

⑤｝為等差數(shù)列（.注：其中S為其前n項(xiàng)和）

探尋某一等差數(shù)列的等價(jià)條件，特別是兩個(gè)甚至多個(gè)等差數(shù)列間的等價(jià)轉(zhuǎn)化關(guān)系，我們從中能感受特殊數(shù)列的性質(zhì)之美、轉(zhuǎn)化之巧，對于體會(huì)并掌握數(shù)列復(fù)習(xí)中的基本量思想方法、遞推思想、整體思想、函數(shù)思想、函數(shù)與方程思想也是大有裨益.本文呈現(xiàn)幾個(gè)等差數(shù)列的充要條件的典例來加以說明.

例1 記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.證明{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列{an}滿足

證明：先證必要性，顯然成立.再證充分性.

當(dāng)n≥2時(shí)，作差得2an=a1+nan-（n-1）an-1，再遞推得2an+1=a1+（n+1）an+1-nan.

對上述兩式再作差得2an=an-1+an+1（n≥2）.

由等差數(shù)列的定義知{an}為等差數(shù)列.

綜上，{an}為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{an}滿足Sn=

點(diǎn)評：本題證明中的必要性是我們熟知的等差數(shù)列的性質(zhì)，那充分性又當(dāng)如何呢？對于某些核心的概念、重要的公式定理我們要嘗試從正向和逆向去思考，這是對問題的基本變式意識(shí).

例2 （2010年安徽卷）設(shè)數(shù)列a1，a2，…，an，…中的每一項(xiàng)都不為0.證明{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何n∈N*，都有

證明：先證必要性.

設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，若d=0，則所述等式顯然成立.

若d≠0，則：

再證充分性.

依題意有：

在上式兩端同乘a1an+1an+2，得a1=（n+1）an+1-nan+1. ③

同理可得a1=nan-（n-1）an+1. ④

③-④得2nan+1=n（an+2+an），即an+2-an+1=an+1-an，所以{an}是等差數(shù)列.

綜上，{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任何n∈N*，都有

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列與充要條件等有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、運(yùn)算求解能力.通過對必要性的證明過程的觀察，我們發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列是裂項(xiàng)相消法化簡、求和的一大利器.

例3 已知數(shù)列{an}、{bn}滿足試證明{an}是等差數(shù)列是{bn}是等差數(shù)列的充要條件.

證明：先證若{an}是等差數(shù)列，則{bn}是等差數(shù)列.

令Sn=a1+2a2+3a3+…+nan

=（a1+a2+…+an）+（a2+a3+…+an）+…+（an-1+an）+an

=“n個(gè)an的前n項(xiàng)和的一半”+“1個(gè)an的前n項(xiàng)和的一半”

則bn=a1+an=2a1+（n-1）d，顯然{bn}也為等差數(shù)列.

再證若{bn}是等差數(shù)列，則{an}也是等差數(shù)列.

由于n（n+1）bn=2（a1+2a2+3a3+…nan），

而（n+1）（n+2）bn+1=2（a1+2a2+3a3+…+nan+（n+1）an+1），

兩式相減，得（n+1）［（n+2）bn+1-nbn］=2（n+1）an+1，即［（n+2）bn+1-nbn］=2an+1.

由{bn}是等差數(shù)列得2an+1=（n+2）bn+1-nbn=n（bn+1-bn）+2bn+1=nd′+2b1+2nd′，即

易判斷{an}為等差數(shù)列，其中d和d′分別是數(shù)列{an}、{bn}的公差.

例4 （2006年江蘇卷）設(shè)數(shù)列{an}、{bn}、{cn}滿足：bn=an-an+2，cn=an+2an+1+3an+2（n∈N*），證明{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是{cn}為等差數(shù)列且bn≤bn+1.

證明：先證必要性.

設(shè){an}是公差為d1的等差數(shù)列，則：

bn+1-bn=（an+1-an+3）-（an-an+2）=（an+1-an）-（an+3-an+2）=d1-d1=0.

所以bn≤bn+1成立.

又 cn+1-cn=（an+1-an）+2（an+2-an+1）+3（an+3-an+2）=d1+2d1+3d1=6d1（常數(shù)），故數(shù)列{cn}為等差數(shù)列.

再證充分性.

設(shè)數(shù)列{cn}是公差為d2的等差數(shù)列，且bn≤bn+1.

因?yàn)閏n=an+2an+1+3an+2， ①

所以cn+2=an+2+2an+3+3an+4. ②

①-②得cn-cn+2=（an-an+2）+2（an+1-an+3）+3（an+2-an+4）=bn+2bn+1+3bn+2.

又因?yàn)閏n-cn+2=（cn-cn+1）+（cn+1-cn+2）=-2d2.

所以bn+2bn+1+3bn+2=-2d2. ③

從而有bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2. ④

④-③得：

（bn+1-bn）+2（bn+2-bn+1）+3（bn+3-bn+2）=0. ⑤

其中已知bn+1≥bn，bn+2≥bn+1，bn+3≥bn+2，

故只能bn+1=bn.

由此不妨設(shè)bn=m（m為常數(shù)），則an-an+2=m.

由此cn=an+2an+1+3an+2=4an+2an+1-3m.

從而cn+1=an+1+2an+2+3an+3=4an+1+2an-5m.

兩式相減得cn+1-cn=2（an+1-an）-2m.

所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

點(diǎn)評：通過對例3、例4的條件與結(jié)論的觀察，不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)甚至多個(gè)數(shù)列滿足的遞推關(guān)系式是溝通特殊數(shù)列（在這里是等差數(shù)列）間關(guān)系的切入口，也為我們找尋等差數(shù)列的充要條件打開了思路.

以這一思想為導(dǎo)向的高考題也不少，如：

例5（2017年北京卷）設(shè){an}和{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列，記cn=max{b1-a1n，b1-a1n，…，bn-ann}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù).

（1）若an=n，bn=2n-1，求c1，c2，c3的值，并證明{cn}是等差數(shù)列；

（2）證明：或者對任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，當(dāng)n≥m時(shí)＞M；或者存在正整數(shù)m，使得c，c，c，…是等差mm+1m+2數(shù)列.

例6（2017年江蘇卷）對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對任意正整數(shù)n（n＞k）總成立，則稱數(shù)列{an}是“P（k）數(shù)列”.

（1）證明：等差數(shù)列{an}是“P（3）數(shù)列”；

（2）若數(shù)列{an}既是“P（2）數(shù)列”，又是“P（3）數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列.

注：為節(jié)約篇幅，其解答過程省略.

要認(rèn)識(shí)到一點(diǎn)，探尋等差數(shù)列的充要條件并不會(huì)增加我們的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，反倒類似于這樣的微專題的問題探討與整理，給大家?guī)淼氖嵌恳恍碌母杏X，對深層次理解等差數(shù)列的涵義也有幫助.而且從整體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀視角看等差數(shù)列間性質(zhì)的轉(zhuǎn)化，它又能訓(xùn)練并提高我們的代數(shù)變形技巧.

尋找等價(jià)條件還有一層涵義，那便是以形式上的“等價(jià)”去揭示等價(jià)轉(zhuǎn)換這一方法，以喚醒“等價(jià)轉(zhuǎn)化”這一基礎(chǔ)而重要的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)的本質(zhì)是化簡，利用等價(jià)轉(zhuǎn)換對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化、簡化，從而切實(shí)提高分析問題、解決問題的能力.在嘗試“等價(jià)轉(zhuǎn)化”這一過程中，我們要充分考慮轉(zhuǎn)化的可能性、等價(jià)性，還有簡捷性.轉(zhuǎn)化才能成為一種數(shù)學(xué)自覺，思考數(shù)學(xué)問題的有序性、嚴(yán)密性和視域感才能得到有效的鍛煉和提升.F