基于應變振型的振動時效激振頻率的確定方法與實驗研究

顧邦平， 胡 雄， 楊振生， 賴金濤， 潘 龍(.上海海事大學 物流工程學院,上海 2006；2.紹興文理學院 機械與電氣工程學院,浙江 紹興 2000；.浙江大學 浙江省先進制造技術重點實驗室,杭州 0027)

消除構(gòu)件加工制造過程中的殘余應力是機械制造工業(yè)領域中的一項重要研究課題。振動時效技術因為具有設備簡單、處理時間短、處理效果好等特點而成為備受關注的殘余應力消除技術。國內(nèi)外專家學者已經(jīng)對振動時效工藝和理論開展了深入的研究[1-5]，并取得了豐富的理論成果和應用實例。通過國內(nèi)外專家學者的研究發(fā)現(xiàn)，影響振動時效效果的關鍵工藝參數(shù)主要包括：激振頻率、激振振幅和激振時間。目前對于激振頻率的選擇主要采用掃頻法，即對構(gòu)件進行掃頻振動，尋找構(gòu)件振動幅值較大的共振頻率，然后在其共振頻率或者亞共振頻率下進行振動時效處理。然而通過掃頻法確定振動時效的激振頻率時，通常并不考慮材料的殘余應力分布狀態(tài)以及振型的分布規(guī)律，極大地限制了振動時效消除和均化殘余應力的效果。

針對傳統(tǒng)掃頻法確定振動時效激振頻率存在的不足，沈華龍等[6]在研究振動時效工藝時，采用有限元軟件對構(gòu)件進行數(shù)值模態(tài)分析，獲取構(gòu)件各階位移振型和模態(tài)頻率，然后根據(jù)振型的分布規(guī)律指導振動時效的現(xiàn)場試驗，取得了不錯的效果。然而構(gòu)件的位移振型相對于應變振型對構(gòu)件的局部變化并不敏感，并不能直接去研究構(gòu)件某些關鍵部位的應變分布[7-9]，并且構(gòu)件的高階應變振型對構(gòu)件的局部變化相對于低階應變振型更加敏感。此外，國內(nèi)外專家學者也對激振頻率大于1 kHz的高頻振動時效[10-11]和超聲振動時效[12-13]開展了相關的研究。因此獲取構(gòu)件的應變振型能夠更準確的反映振動能量在構(gòu)件表面的分布規(guī)律，這對于指導振動時效的現(xiàn)場試驗是有益的。

本文采用ANSYS有限元軟件，對構(gòu)件進行數(shù)值模態(tài)分析，通過分析應變振型和殘余應力的分布規(guī)律，確定了基于應變振型的振動時效激振頻率的確定方法和步驟，并通過實驗驗證該方法的提出對振動時效效果改善的有效性。

1 數(shù)值模態(tài)分析

1.1 應變振型控制方程的推導

文中將以位移振型為基礎，推導應變振型與位移振型的關系，建立應變振型的控制方程，為后續(xù)的數(shù)值模態(tài)分析奠定基礎。一個典型的有限單元是由節(jié)點j，k，m和相應的連接直線來定義的，則該單元內(nèi)任意一點的位移ui可以表示為[14]

ui=Niai

(1)

式中：Ni是基于節(jié)點位置事先給定的函數(shù)，稱為形狀函數(shù)矩陣;ai表示第i個單元所有節(jié)點位移組成的節(jié)點位移向量。

當已知單元內(nèi)任意位置的位移，則相應的可以確定出單元內(nèi)任意位置的應變εi，其表達式為

εi=Siui

(2)

式中：Si為微分算子矩陣。若系統(tǒng)被劃分為n個單元，則共有n個式(2)這樣的方程，可以表示為

(3)

可以簡寫為

ε=Su

(4)

式中：ε為n個單元的應變向量;u為n個單元的節(jié)點位移向量。式(4)建立的應變與位移的關系是在單元坐標系中建立的，考慮到各單元在連接節(jié)點上位移是連續(xù)變化的，則單元節(jié)點位移向量可以通過式(5)的坐標變換轉(zhuǎn)換到總體坐標系中

u=Tug

(5)

式中：T為坐標變換矩陣;ug為在總體坐標系中的節(jié)點位移向量。將式(5)代入式(4)中，可以得到總體坐標系中的應變方程為

(6)

采用有限元模型，在總體坐標系中，系統(tǒng)的無阻尼運動方程為

(7)

(Kg-ω2M)Umax=Fmax

(8)

采用模態(tài)疊加法，節(jié)點位移的響應可以表示為

Umax=φYφTFmax

(9)

將式(9)代入到式(6)中，可以得到

(10)

令ψ=STφ，對位移振型進行微分運算可以得到應變振型，而矩陣S為微分算子，因此ψ稱為應變模態(tài)振型矩陣，ψr為第r階應變模態(tài)振型，與第r階位移模態(tài)振型φr相對應。從能量的角度，第r階應變模態(tài)振型反應的是構(gòu)件第r階固有能量分布狀態(tài)，與固有頻率和位移模態(tài)振型一樣也是反映構(gòu)件固有特性的一個參數(shù)。

1.2 模型建立及材料設置

物理模型：數(shù)值模態(tài)分析的試件為后續(xù)實驗中采用的45#鋼板狀構(gòu)件，長230 mm，寬210 mm、厚6 mm，如圖1所示。為了研究構(gòu)件局部結(jié)構(gòu)的變化對其位移振型和應變振型的影響，對兩種結(jié)構(gòu)的板狀構(gòu)件進行數(shù)值模態(tài)分析，其中板狀構(gòu)件1#的中心無通孔，稱為無孔構(gòu)件，另外一板狀構(gòu)件2#的中心有φ6 mm的通孔，稱為有孔構(gòu)件。由于數(shù)值模態(tài)分析的構(gòu)件三維幾何模型相對簡單，此處選擇直接在ANSYS經(jīng)典GUI界面中建立構(gòu)件的三維幾何模型。

圖1 數(shù)值分析構(gòu)件示意圖(mm)

Fig.1 Schematic of the workpiece used in the numerical analysis(mm)

材料設置：數(shù)值模態(tài)分析時需要用到45#鋼的密度ρ、彈性模量E、泊松比ν，具體數(shù)值分別為ρ=7 850 kg/m3、E=200 GPa、ν=0.28。

有限元模型：采用20節(jié)點的SOLID95單元對構(gòu)件劃分網(wǎng)格，建立其三維有限元模型。為了提高求解的精度，在試件的長度、寬度以及厚度三個方向設置單元劃分的數(shù)目分別為55、45以及3，如圖1所示。然后采用掃掠(Volume Sweep)的方式對構(gòu)件劃分網(wǎng)格，可以得到規(guī)則的網(wǎng)格，也可以提高求解的精度。另外，SOLID95單元具有中間節(jié)點，這將使得求解的結(jié)果更為精確。

1.3 求解方法

采用ANSYS模態(tài)分析模塊中的Block Lanczos方法(分塊蘭索斯法)求解構(gòu)件的位移模態(tài)振型和應變模態(tài)振型。Block Lanczos法特征值求解器是ANSYS模態(tài)分析模塊中的默認求解器，采用的是Lanczos算法。這種算法不僅可以保證求解的精確性，更能提高求解的速度。

1.4 數(shù)值結(jié)果及分析

采用1.3小節(jié)的求解方法求解1.1小節(jié)建立的位移模態(tài)和應變模態(tài)的控制方程可以獲得構(gòu)件的位移模態(tài)和應變模態(tài)的數(shù)值結(jié)果。無孔構(gòu)件低階模態(tài)振型(模態(tài)頻率為572 Hz)如圖2所示，其中圖2(a)為其位移振型，圖2(b)為其應變振型；有孔構(gòu)件低階模態(tài)振型(模態(tài)頻率為571 Hz)如圖3所示，其中圖3(a)為其位移振型，圖3(b)為其應變振型。

(a) 位移振型

(b) 應變振型圖2 無孔構(gòu)件低階模態(tài)振型(572 Hz)

Fig.2 Low order modal mode of the workpiece without the hole (572 Hz)

無孔構(gòu)件高階模態(tài)振型(模態(tài)頻率為3 231 Hz)如圖4所示，其中圖4(a)為其位移振型，圖4(b)為其應變振型；有孔構(gòu)件高階模態(tài)振型(模態(tài)頻率為3 229 Hz)如圖5所示，其中圖5(a)為其位移振型，圖5(b)為其應變振型。

(a) 位移振型

(b) 應變振型圖3 有孔構(gòu)件低階模態(tài)振型(571 Hz)

Fig.3 Low order modal mode of the workpiece with the hole (571 Hz)

(a) 位移振型

(b) 應變振型圖4 無孔構(gòu)件高階模態(tài)振型(3 231 Hz)Fig.4 High order modal mode of the workpiece without the hole(3 231 Hz)

(a) 位移振型

(b) 應變振型圖5 有孔構(gòu)件高階模態(tài)振型(3 229 Hz)Fig.5 High order modal mode of the workpiece with the hole(3 229 Hz)

對比無孔構(gòu)件和有孔構(gòu)件的位移振型和應變振型，可以發(fā)現(xiàn)構(gòu)件局部結(jié)構(gòu)的變化在其低階和高階應變振型上都能夠得以體現(xiàn)，而低階和高階位移振型對于構(gòu)件局部結(jié)構(gòu)的變化都不敏感，同時從構(gòu)件的應變振型上可以直觀地看出構(gòu)件各部分分布的動應變的大小，有利于直觀地評估構(gòu)件各部分殘余應力的釋放效果，這說明了為什么從應變振型的角度探討振動時效激振頻率的確定方法。

掃頻法是目前常用的確定振動時效激振頻率的方法，即對構(gòu)件進行掃頻振動，尋找構(gòu)件的共振頻率，然后在共振頻率下對構(gòu)件進行振動時效處理。然而這種方法確定的激振頻率并未考慮到構(gòu)件表面的殘余應力分布狀態(tài)和共振頻率所對應的應變振型，這極大地降低了振動時效的效果。從圖3(b)和圖5(b)的應變振型分布規(guī)律可知，高階應變振型具有較多的應變峰值，更有利于消除殘余應力分布狀態(tài)復雜的構(gòu)件的殘余應力。假如構(gòu)件表面的峰值殘余應力主要分布在圖3(b)所示的應變峰值附近，此時選取圖3(b)應變振型所對應的模態(tài)頻率進行振動時效處理能夠獲得較為理想的振動時效效果。若構(gòu)件表面的峰值殘余應力分布在圖5(b)所示的兩個應變峰值附近，此時選取圖5(b)應變振型所對應的模態(tài)頻率進行振動時效處理能夠獲得較為理想的振動時效效果。從上面的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)對于振動時效的激振頻率的確定，不僅要考慮構(gòu)件表面的殘余應力分布狀態(tài)，而且需要考慮構(gòu)件的應變振型，兩者缺一不可。因此，為了提高振動時效效果，對于激振頻率f的選擇應以構(gòu)件表面的殘余應力分布為依據(jù)，共振應變函數(shù)ψr為準則。

在此基礎上本文提出了基于應變振型的振動時效激振頻率的確定方法，其步驟主要包括：①獲取構(gòu)件表面的殘余應力分布狀態(tài)；②建立構(gòu)件的有限元模型，對構(gòu)件進行數(shù)值模態(tài)分析；③獲取構(gòu)件的各階應變振型和模態(tài)頻率；④在步驟①和③的基礎上，初步確定振動時效的激振頻率；⑤以數(shù)值模態(tài)分析確定的激振頻率為基礎，在其一定范圍內(nèi)對構(gòu)件進行掃頻振動，獲取振動幅值較大的頻率作為振動時效的激振頻率。通過本文提出的方法確定的激振頻率是以構(gòu)件表面的殘余應力分布為依據(jù)，共振應變函數(shù)ψr為準則的，有利于獲得較為理想的振動時效效果。

2 實驗研究

2.1 實驗材料

碳素結(jié)構(gòu)鋼被廣泛應用于工程結(jié)構(gòu)中，這種材料在實際應用中由于存在較大的殘余應力而經(jīng)常產(chǎn)生損傷破壞，特別是在有些場合不允許采用熱時效對其進行去應力處理，因此有必要嘗試采用振動時效對碳素結(jié)構(gòu)鋼的殘余應力進行消除研究。實驗中選用45#優(yōu)質(zhì)碳素結(jié)構(gòu)鋼來制備實驗試樣。

2.2 試樣制備

實驗試樣(即1.2小節(jié)數(shù)值模態(tài)分析的試件)的尺寸為230 mm×210 mm×6 mm，如圖1所示。為了使得試樣的表面產(chǎn)生較大的拉伸殘余應力，實驗中采用激光表面處理工藝來產(chǎn)生殘余應力。這種工藝是通過激光與試樣相互作用區(qū)域快速的升溫來改變試樣的微觀組織形態(tài)，試樣的表面產(chǎn)生熱損傷而產(chǎn)生初始拉伸殘余應力。激光表面處理工藝在SLC-2030D龍門式CO2多功能激光加工機上展開，激光器的型號為Rofin SLAB DC030。原理圖如圖6所示。

圖6 激光表面處理工藝的原理圖Fig.6 Schematic of the laser surface processing

2.3 小孔法評估殘余應力

試樣殘余應力測點以及應變花粘貼方向如圖7所示。實驗中對試樣的兩個區(qū)域進行激光表面處理，每個激光熱損傷區(qū)域的中心距離試樣的邊緣均為55 mm。實驗中選取14個測點用于評價振動前后試樣的殘余應力，其中測點1#～7#被分為一組，用于測試振動前試樣的殘余應力，測點1′#～7′#被分為另一組，用于測試振動后試樣的殘余應力。每一組測點對稱的分布在垂直于垂直中心線的直線上，距離垂直中心線的距離分別為0、40 mm、60 mm、80 mm，每組測點距離試樣邊緣的距離均為80 mm。以測點4為例，其應變花的粘貼方向如圖7所示，其余測點處應變花的粘貼方向與測點4處應變花的粘貼方向一致。通過應變儀測試試樣鉆孔處的釋放應變ε1、ε2、ε3，并將釋放應變代入如下的方程就可以求解出試樣鉆孔處x軸向和y軸向的殘余應力σx和σy

(11)

圖7 殘余應力測點示意圖(mm)Fig.7 Schematic of the measured points for residual stress(mm)

2.4 振動時效過程

振動時效實驗裝置主要包括：電磁式激振器、高頻振動能量放大裝置、信號發(fā)生器、功率放大器、壓電式加速度傳感器、電荷放大器、示波器。首先，將試樣通過安裝孔裝夾在高頻振動能量放大裝置上；然后，按照本文提出的方法對試樣進行掃頻振動，發(fā)現(xiàn)試樣在頻率717 Hz處有一個峰值較大的共振頻率點，以及在頻率3 311 Hz處有一個峰值較大的共振頻率點；最后，對其中一件試樣(稱為1#試樣)在頻率717 Hz處進行振動時效處理，對另一件試樣(稱為2#試樣)在頻率3 311 Hz處進行振動時效處理。

2.5 實驗結(jié)果及分析

圖8為振動時效前后1#試樣x軸向和y軸向的殘余應力測試結(jié)果。圖9為振動時效前后2#試樣x軸向和y軸向的殘余應力測試結(jié)果。

(a) x軸向殘余應力

(b) y軸向殘余應力圖8 振動時效前后1#試樣殘余應力測試結(jié)果

Fig.8 Residual stress measuring results of 1# specimen before and after the vibratory stress relief

1#試樣和2#試樣振動前殘余應力的測試結(jié)果表明，試樣最大的殘余應力出現(xiàn)在激光表面燒傷處理中心區(qū)域，隨著遠離激光表面燒傷中心區(qū)域距離的增加，殘余應力則逐漸降低。1#試樣和2#試樣振動時效處理后殘余應力峰值消除率均較大，而對于殘余應力較小的地方(遠離激光表面燒傷中心區(qū)域)，振動時效處理后殘余應力的消除率相對較小。由圖8可見，1#試樣經(jīng)過振動時效處理后其x軸向和y軸向峰值殘余應力的釋放量分別為106.8 MPa和131.8 MPa；由圖9可見，2#試樣經(jīng)過振動時效處理后其x軸向和y軸向峰值殘余應力的釋放量分別為183.6 MPa和226.1 MPa，表明根據(jù)殘余應力分布狀態(tài)和應變振型分布規(guī)律，合理的選擇振動時效的激振頻率能夠獲得較為理想的振動時效消除殘余應力效果。

由圖8和圖9可見，2#試樣具有更好的振后殘余應力均化分布效果，表明根據(jù)殘余應力分布狀態(tài)和應變振型分布規(guī)律，合理的選擇振動時效的激振頻率，可以獲得較為理想的振動時效均化殘余應力效果。何聞等學者在文獻[3]中研究指出對試樣在較高的頻率下激振，試樣上分布較多的應變峰值，并且動應變在試樣上的分布更加均勻，提高了試樣表面的殘余應力均化效果；除此以外，通過1.4小節(jié)對試樣應變振型的分析結(jié)果和2.5小節(jié)的殘余應力測試結(jié)果可知，2#試樣的殘余應力峰值分布在其應變振型峰值的附近，所以2#試樣具有更好的殘余應力均化效果。綜上所述，對于構(gòu)件進行振動時效處理時，需要根據(jù)構(gòu)件表面的殘余應力分布狀態(tài)和應變振型分布規(guī)律，合理選取振動時效的激振頻率，能夠獲得較為理想的振動時效消除和均化殘余應力效果。

(a) x軸向殘余應力

(b) y軸向殘余應力圖9 振動時效前后2#試樣殘余應力測試結(jié)果

Fig.9 Residual stress measuring results of 2# specimen before and after the vibratory stress relief

3 結(jié) 論

(1)通過分析應變振型和殘余應力的分布規(guī)律，得到了基于應變振型的振動時效激振頻率的確定準則，即為了提高振動時效的效果，對于激振頻率f的選擇應以構(gòu)件表面的殘余應力分布為依據(jù)，共振應變函數(shù)ψr為準則。

(2)基于應變振型的振動時效激振頻率的確定方法，其步驟主要包括：①獲取構(gòu)件表面的殘余應力分布狀態(tài)；②建立構(gòu)件的有限元模型，對構(gòu)件進行數(shù)值模態(tài)分析；③獲取構(gòu)件的各階應變振型和模態(tài)頻率；④在步驟①和③的基礎上，初步確定振動時效的激振頻率；⑤以數(shù)值模態(tài)分析確定的激振頻率為基礎，在其一定范圍內(nèi)對構(gòu)件進行掃頻振動，獲取振動幅值較大的頻率作為振動時效的激振頻率。

(3)1#試樣經(jīng)過振動時效處理后其x軸向和y軸向峰值殘余應力的釋放量分別為106.8 MPa和131.8 MPa；2#試樣經(jīng)過振動時效處理后其x軸向和y軸向峰值殘余應力的釋放量分別為183.6 MPa和226.1 MPa，表明根據(jù)殘余應力分布狀態(tài)和應變振型分布規(guī)律，合理的選擇振動時效的激振頻率能夠獲得較為理想的振動時效效果。

參 考 文 獻

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