基于頻響函數(shù)法的固定結(jié)合部參數(shù)辨識(shí)研究

田豐慶， 朱堅(jiān)民， 李孝茹， 李 堯(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

機(jī)械結(jié)構(gòu)中存在著大量的固定連接，如栓接、鉚接、焊接、粘接等，固定結(jié)合部的存在增加了整體結(jié)構(gòu)的阻尼，減小了整體結(jié)構(gòu)的剛度，使整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性變差。因此準(zhǔn)確地辨識(shí)結(jié)合部參數(shù)對(duì)確定整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性具有重要意義。

固定結(jié)合部等效參數(shù)的辨識(shí)方法主要有模態(tài)分析法與頻響函數(shù)法[1]。模態(tài)分析法的基本思想是將機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程變換到模態(tài)坐標(biāo)空間，并截去部分高階模態(tài)后確定結(jié)合部的數(shù)學(xué)模型[2]。該方法的特點(diǎn)是需要準(zhǔn)確確定整體結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，對(duì)于整體結(jié)構(gòu)模態(tài)相對(duì)密集的對(duì)象難以應(yīng)用。頻響函數(shù)法的基本思想是根據(jù)機(jī)械結(jié)構(gòu)中子結(jié)構(gòu)之間的連接關(guān)系，耦合各子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)確定整體結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)，再對(duì)結(jié)合部參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。頻響函數(shù)法原理簡(jiǎn)單、實(shí)驗(yàn)方便、應(yīng)用廣泛。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文以螺栓連接的兩個(gè)金屬梁的栓接結(jié)合部為例進(jìn)行研究，采用頻響函數(shù)法建立其動(dòng)力學(xué)模型，提出對(duì)結(jié)合部中各參數(shù)項(xiàng)單獨(dú)靈敏度分析、單獨(dú)辨識(shí)的方法。通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)算例驗(yàn)證該方法的正確性。

1 基本原理

1.1 頻響函數(shù)法辨識(shí)固定結(jié)合部參數(shù)的基本原理

機(jī)械結(jié)構(gòu)通?？梢圆鸱譃樽咏Y(jié)構(gòu)與連接子結(jié)構(gòu)的結(jié)合部，如圖1所示，整體結(jié)構(gòu)W拆分為子結(jié)構(gòu)A、B和結(jié)合部J。其中e1、e2表示結(jié)合部部分，a、b表示結(jié)合部以外部分。根據(jù)子結(jié)構(gòu)A、子結(jié)構(gòu)B以及整體結(jié)構(gòu)W頻響函數(shù)的定義，可得位移與外力的關(guān)系式，如式(1)～(3)所示。式中X表示結(jié)構(gòu)的位移矢量，F(xiàn)表示結(jié)構(gòu)的力矢量，H表示頻響函數(shù)。下標(biāo)A、B表示對(duì)應(yīng)的子結(jié)構(gòu)，W表示整體結(jié)構(gòu)。下標(biāo)a、b、e1、e2表示頻響函數(shù)對(duì)應(yīng)的激勵(lì)點(diǎn)、響應(yīng)點(diǎn)，如Hae1表示在e1點(diǎn)激勵(lì) a點(diǎn)響應(yīng)的頻響函數(shù)。上標(biāo)有*代表此項(xiàng)參數(shù)為整體結(jié)構(gòu)的參數(shù)，上標(biāo)無(wú)*代表此項(xiàng)參數(shù)為子結(jié)構(gòu)的參數(shù)。

圖1 子結(jié)構(gòu)與整體結(jié)構(gòu)關(guān)系示意圖Fig.1 Relationship between substructure and assembly structure

(1)

(2)

(3)

假設(shè)結(jié)合部不受外力，則結(jié)合部之間的力為作用力與反作用力，如式(4)所示。由于結(jié)合部的頻響函數(shù)HJ與等效阻抗ZJ互逆，可得式(5)。忽略結(jié)合部的質(zhì)量，結(jié)合部的動(dòng)力學(xué)公式可以表示為式(6)

Fe1=-Fe2

(4)

(5)

Xe2-Xe1=HJFe1

(6)

聯(lián)合式(1)～(6)，可得整體結(jié)構(gòu)的原點(diǎn)、跨點(diǎn)頻響函數(shù)如式(7)～(10)所示

(7)

(8)

(9)

(10)

由式(7)～(10)可以推導(dǎo)出相應(yīng)的4個(gè)結(jié)合部參數(shù)的辨識(shí)公式，如式(11)～式(14)。這4個(gè)辨識(shí)公式分為兩組，式(11)與式(14)為第一組，式(12)與式(13)為第二組。第一組的兩個(gè)公式都采用整體結(jié)構(gòu)的原點(diǎn)頻響函數(shù)作參數(shù)，只是對(duì)應(yīng)整體結(jié)構(gòu)的原點(diǎn)不同。因此將第一組的兩個(gè)公式等效為一個(gè)辨識(shí)公式如式(11)。第二組與第一組情況相似，不同的是第二組公式采用了整體結(jié)構(gòu)的跨點(diǎn)頻響函數(shù)，可將第二組公式等效為式(12)所示的辨識(shí)公式

(11)

(12)

(13)

(14)

根據(jù)上述公式辨識(shí)結(jié)合部參數(shù)需要先求取公式中的頻響函數(shù)。以式(11)中的頻響函數(shù)He1a為例說(shuō)明，如果a、e1兩節(jié)點(diǎn)都只有一個(gè)自由度，則He1a意義明確，代表一個(gè)頻響函數(shù)。如果a、e1兩節(jié)點(diǎn)都有兩個(gè)自由度，如歐拉梁模型，則He1a代表4個(gè)頻響函數(shù)組成的頻響函數(shù)矩陣。分別為平移振動(dòng)的頻響函數(shù)(平動(dòng)頻響函數(shù))、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的頻響函數(shù)(轉(zhuǎn)動(dòng)頻響函數(shù))、平移與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)耦合的頻響函數(shù)(耦合頻響函數(shù))。

對(duì)子結(jié)構(gòu)而言，根據(jù)有限元理論建立子結(jié)構(gòu)的有限元模型，可以計(jì)算其所有頻響函數(shù)(包括平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)及耦合頻響函數(shù))。對(duì)整體結(jié)構(gòu)而言，由于結(jié)合部參數(shù)未知，無(wú)法構(gòu)建整體結(jié)構(gòu)的有限元模型，需用實(shí)驗(yàn)方法得到所有頻響函數(shù)。其中平動(dòng)頻響函數(shù)可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得，但轉(zhuǎn)動(dòng)與耦合頻響函數(shù)需專門的測(cè)量設(shè)備[17]。本文采用有限差分法[18]通過(guò)兩點(diǎn)分別激勵(lì)，并測(cè)量其響應(yīng)的平動(dòng)頻響函數(shù)后再計(jì)算出其中一點(diǎn)的所有頻響函數(shù)。

1.2 有限差分法計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)頻響函數(shù)

以梁結(jié)構(gòu)為模型說(shuō)明轉(zhuǎn)動(dòng)頻響函數(shù)的求法，計(jì)算如圖2中B點(diǎn)激勵(lì)B點(diǎn)響應(yīng)的所有頻響函數(shù)。在B點(diǎn)附近設(shè)置A點(diǎn)，分別激勵(lì)A(yù)點(diǎn)、B點(diǎn)，并且在A點(diǎn)、B點(diǎn)測(cè)試響應(yīng)信號(hào)，可得平動(dòng)頻響函數(shù)HAA_tt、HAB_tt、HBA_tt、HBB_tt，組成矩陣如式(15)，其中字母tt表示平動(dòng)頻響函數(shù)。

設(shè)A、B兩點(diǎn)之間的距離為s，確定前向差分公式如式(16)所示。由式(17)可以計(jì)算出B點(diǎn)激勵(lì)B點(diǎn)響應(yīng)的所有頻響函數(shù)。字母rr表示轉(zhuǎn)動(dòng)頻響函數(shù)，字母tr、rt表示耦合頻響函數(shù)。

圖2 有限差分法求B點(diǎn)頻響函數(shù)Fig.2 Finite difference method for FRFs of point B

(15)

(16)

(17)

1.3 結(jié)合部參數(shù)單獨(dú)辨識(shí)原理

由辨識(shí)公式(11)、(12)可知，如果辨識(shí)公式中子結(jié)構(gòu)和整體結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)可以確定，則結(jié)合部的參數(shù)可以通過(guò)兩個(gè)辨識(shí)公式中任意一個(gè)計(jì)算得到。從理論上講，對(duì)應(yīng)于每個(gè)頻率都可計(jì)算出一組結(jié)合部參數(shù)，并且計(jì)算結(jié)果應(yīng)該相等。但事實(shí)并非如此，計(jì)算的結(jié)果不相同甚至部分結(jié)果相差較大。如何找出相對(duì)誤差較小的結(jié)合部參數(shù)所對(duì)應(yīng)的辨識(shí)頻段是準(zhǔn)確辨識(shí)結(jié)合部參數(shù)的關(guān)鍵。

本文方法的主要思路是：通過(guò)僅改變結(jié)合部參數(shù)中某一項(xiàng)參數(shù)的大小得到幾組新參數(shù)，如以2倍、1倍與0.5倍參數(shù)為例的三組參數(shù)。用該三組參數(shù)模擬結(jié)合部對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，對(duì)比三組參數(shù)分析得出的固有頻率值，得到該參數(shù)由0.5倍變至2倍時(shí)引起的每一階固有頻率的相對(duì)變化量，用相對(duì)誤差表示，相對(duì)誤差越大，表示該參數(shù)對(duì)此階固有頻率值的影響越大，則該參數(shù)在此階固有頻率處的靈敏度越高。根據(jù)李玲等的研究，在靈敏度高的頻段可以準(zhǔn)確地辨識(shí)出結(jié)合部參數(shù)。本文采用上述方法確定某一結(jié)合部參數(shù)的靈敏模態(tài)，并在該模態(tài)處辨識(shí)參數(shù)，并依此方法辨識(shí)出所有的結(jié)合部參數(shù)。

2 仿真算例研究

2.1 集中質(zhì)量模型

集中質(zhì)量法在機(jī)械結(jié)構(gòu)結(jié)合部參數(shù)建模中應(yīng)用廣泛，在集中質(zhì)量模型中結(jié)合部多數(shù)采用線性彈簧阻尼單元模擬。本文首先以集中質(zhì)量模型為例進(jìn)行研究，構(gòu)建集中質(zhì)量模型如圖3所示，整體結(jié)構(gòu)W拆分為子結(jié)構(gòu)A、子結(jié)構(gòu)B及結(jié)合部J。結(jié)合部采用一組彈簧阻尼單元模擬，用ZJ表示結(jié)合部等效阻抗，kJ和cJ分別表示結(jié)合部的剛度和阻尼，建立其等效模型,如式(18)所示。

Model 1ZJ=kJ+iwcJ

(18)

圖3 集中質(zhì)量模型Fig.3 Lumped mass model

集中質(zhì)量模型中的參數(shù)如表1所示。利用有限元理論可計(jì)算子結(jié)構(gòu)A、B的頻響函數(shù)。

構(gòu)建整體結(jié)構(gòu)的有限元模型，可求得整體結(jié)構(gòu)前4階的固有頻率分別為228 Hz、449 Hz、781 Hz、853 Hz。

根據(jù)1.3節(jié)的分析，用3組kJ的不同倍數(shù)的結(jié)合部參數(shù)kJ+iwcJ、2×kJ+iwcJ及0.5×kJ+iwcJ分別模擬結(jié)合部并進(jìn)行模態(tài)分析，將計(jì)算出的3條頻響函數(shù)曲線繪制在圖5中，同時(shí)將對(duì)應(yīng)的整體結(jié)構(gòu)固有頻率值列于表2。對(duì)每一階模態(tài)，用0.5kJ與2kJ作為結(jié)合部參數(shù)對(duì)應(yīng)的固有頻率的差值除以kJ作為結(jié)合部參數(shù)對(duì)應(yīng)的固有頻率值，得此kJ由0.5倍～2倍的變化量下所引起的這一階固有頻率值的變化率，用相對(duì)誤差表示，見表2。

表1 集中質(zhì)量模型參數(shù)表Tab.1 Parameters of the lumped mass model

圖4 頻響函數(shù)的理論值與噪聲值Fig.4 Theoretical and noisy value of

表2 kJ靈敏度分析表Tab.2 Sensitivity analysis of kJ

圖5 對(duì)kJ靈敏度分析Fig.5 Sensitivity analysis of kJ

由表2和圖5可知，剛度kJ在整體結(jié)構(gòu)前4階模態(tài)處的靈敏度不相同。在第1階、第3階模態(tài)處，不同倍數(shù)的kJ對(duì)應(yīng)的固有頻率值變化較小，在這兩階模態(tài)處不靈敏。在第2階、第4階模態(tài)處，從圖5看出固有頻率值有較大變化，由相對(duì)誤差的數(shù)值分析可知，kJ的大小變化在第2階模態(tài)引起的誤差最大，達(dá)到10.2%，因此剛度kJ在整體結(jié)構(gòu)的第2階模態(tài)處?kù)`敏度最高。則本算例中剛度kJ在第2階固有頻率(449 Hz)處辨識(shí)。

圖6為根據(jù)式(11)辨識(shí)的kJ值，由圖6可知在每個(gè)頻率處所計(jì)算出的結(jié)合部參數(shù)值并不相等，有些與理論值之間還有較大的誤差，但在參數(shù)kJ最靈敏的模態(tài)頻率(449 Hz)附近，計(jì)算值與理論值比較接近。圖7表示的是結(jié)合部阻尼參數(shù)cJ的辨識(shí)情況，其辨識(shí)方法與剛度參數(shù)的辨識(shí)方法相同。

采用式(12)辨識(shí)參數(shù)的方法與式(11)的辨識(shí)方法相同，兩者的辨識(shí)結(jié)果列于表3。

圖6 式(11)的計(jì)算出的kJ值Fig.6 The values of kJ calculated by formula (11)

圖7 式(11)計(jì)算出的cJ值Fig.7 The values of cJ calculated by formula (11)

由表3可知，式(11)和式(12)的辨識(shí)結(jié)果差異較小,式(11)的辨識(shí)精度略高。這主要是由于辨識(shí)公式(11)中采用整體結(jié)構(gòu)的原點(diǎn)頻響函數(shù)作為參數(shù)，辨識(shí)公式(12)中采用整體結(jié)構(gòu)的跨點(diǎn)頻響函數(shù)作為參數(shù)。對(duì)比這兩種頻響函數(shù)，原點(diǎn)頻響函數(shù)的精度比跨點(diǎn)頻響函數(shù)略高，這與文獻(xiàn)[14]的結(jié)論一致。

表3 集中質(zhì)量模型結(jié)合部參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Tabl.3 Parameter identification result of thejoint in lumped mass model

當(dāng)結(jié)合部等效為單自由度彈簧阻尼單元時(shí)，式(11)和式(12)的辨識(shí)結(jié)果差異較小，具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)實(shí)際情況中容易獲得的頻響函數(shù)選擇合適的辨識(shí)公式。

2.2 歐拉梁模型

如圖8所示的兩個(gè)子結(jié)構(gòu)是兩端自由的歐拉梁，e1與e2固定連接組成整體結(jié)構(gòu)。結(jié)合部采用2節(jié)點(diǎn)4自由度的剛度矩陣模擬,建立結(jié)合部的等效模型如式(19)所示。式中ZJ表示結(jié)合部等效阻抗，ktt表示平動(dòng)剛度，krr表示轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，ktr和krt示耦合剛度，c表示對(duì)應(yīng)的阻尼，w表示角頻率。則辨識(shí)公式(11)、(12)中的頻響函數(shù)為平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)、耦合頻響函數(shù)組成的矩陣。

(19)

圖8 歐拉梁模型Fig.8 Euler-Bernoulli beam model

梁的彈性模量為1.97×1011Pa，密度為7 865 kg/m3，根據(jù)有限元理論可計(jì)算出子結(jié)構(gòu)A、B的所有頻響函數(shù)。

基于表4中的結(jié)合部參數(shù)，建立整體結(jié)構(gòu)的有限元模型，其中耦合參數(shù)ktr和krt相等，ctr和crt相等?？傻谜w結(jié)構(gòu)在0～1 000 Hz以內(nèi)有四階固有頻率，分別為87 Hz、249 Hz、466 Hz、794 Hz。采用前述靈敏度分析方法，對(duì)結(jié)合部參數(shù)ktt、krt(ktr)和krr分別進(jìn)行靈敏度分析，分析結(jié)果如圖9～11所示。

由圖9可知，平動(dòng)剛度ktt在整體結(jié)構(gòu)第1、2、3階模態(tài)處不靈敏，在第4階模態(tài)處最靈敏；由圖11可知，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度krr在整體結(jié)構(gòu)第1、2、4階模態(tài)處不靈敏，在第3階模態(tài)處最靈敏；由圖10可知耦合剛度ktr在所考慮的頻段都不靈敏。

圖9 對(duì)ktt的靈敏度分析Fig.9 Sensitivity analysis of ktt

圖10 對(duì)ktr的靈敏度分析Fig.10 Sensitivity analysis of ktr

圖11 對(duì)krr的靈敏度分析Fig.11 Sensitivity analysis of krr

表4 結(jié)合部參數(shù)表Tab.4 Parameters of the joint

圖12 式(11)計(jì)算出的ktt值Fig.12 ktt calculated by formula (11)

圖13 式(11)計(jì)算出的ktr值Fig.13 ktr calculated by formula (11)

圖14 式(11)計(jì)算出的krr值Fig.14 krr calculated by formula (11)

由表5可知，與集中質(zhì)量模型的算例結(jié)果類似，采用式(11)辨識(shí)結(jié)果的誤差比式(12)的誤差小。

耦合參數(shù)在整體結(jié)構(gòu)的所考慮的頻段都不靈敏，即耦合參數(shù)的大小變化對(duì)整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性影響較小，具體辨識(shí)過(guò)程中很難準(zhǔn)確辨識(shí)。表5中耦合參數(shù)的誤差較大也印證了這一點(diǎn)。對(duì)于此類情況，可忽略結(jié)合部的耦合參數(shù)，直接構(gòu)建結(jié)合部等效模型如式(20)所示

表5 辨識(shí)公式的結(jié)果Tab.5 Parameter identification result

(20)

圖15 整體結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)的預(yù)測(cè)值與理論值對(duì)比圖Fig.15 Comparison between the predicted values and the theoretical values of assembly structure FRFs

3 實(shí)驗(yàn)算例研究

圖17為實(shí)驗(yàn)時(shí)測(cè)試點(diǎn)分布的具體位置及子結(jié)構(gòu)單元?jiǎng)澐謭D。兩個(gè)子結(jié)構(gòu)的材料為Q235，通過(guò)e1、e2點(diǎn)連接。子結(jié)構(gòu)A的長(zhǎng)度為400 mm，子結(jié)構(gòu)B的長(zhǎng)度300 mm，梁結(jié)構(gòu)的截面寬為30 mm、高為10 mm，a、b、e1、e2為具體的激勵(lì)點(diǎn)與響應(yīng)點(diǎn)。

采用Model 3模擬整體結(jié)構(gòu)的結(jié)合部，選取辨識(shí)式(11)辨識(shí)結(jié)合部參數(shù)。

圖16 實(shí)驗(yàn)原理Fig.16 Experimental principle

圖17 實(shí)驗(yàn)測(cè)試點(diǎn)分布圖Fig.17 Testing location distribution

3.1 計(jì)算子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)

實(shí)驗(yàn)材料的密度為7 803 kg/m3，彈性模量為1.95×1011Pa。建立子結(jié)構(gòu)A和子結(jié)構(gòu)B的有限元模型，子結(jié)構(gòu)A劃分為15個(gè)單元，子結(jié)構(gòu)B劃分為14個(gè)單元，計(jì)算出辨識(shí)公式(11)中子結(jié)構(gòu)A與子結(jié)構(gòu)B的所有頻響函數(shù)。

3.2 計(jì)算整體結(jié)構(gòu)a點(diǎn)的頻響函數(shù)

在a點(diǎn)附近設(shè)置c點(diǎn)，a點(diǎn)距離子結(jié)構(gòu)A的端部為30 mm，a、c兩點(diǎn)之間的距離為s=30 mm。

分別激勵(lì)a點(diǎn)、c點(diǎn)，讀取a點(diǎn)、c點(diǎn)的響應(yīng)，得相應(yīng)的平動(dòng)頻響函數(shù)曲線，如圖18所示。由式(17)計(jì)算得整體結(jié)構(gòu)a點(diǎn)激勵(lì)a點(diǎn)響應(yīng)的所有頻響函數(shù)，表示在圖19中。同時(shí)可得在0～1 000 Hz以內(nèi)整體結(jié)構(gòu)有4階固有頻率，分別為92 Hz、300 Hz、564 Hz、900 Hz。

圖18 實(shí)驗(yàn)測(cè)試a點(diǎn)、c點(diǎn)的頻響函數(shù)Fig.18 Experimental FRFs result of location a and c

圖19 整體結(jié)構(gòu)a點(diǎn)的頻響函數(shù)Fig.19 FRFs result of point a to assembly structure

3.3 靈敏度分析

電化學(xué)問(wèn)題離不開電子的行為，說(shuō)它是電化學(xué)理論的靈魂并不過(guò)分，電子的行為表現(xiàn)為定向和定量?jī)蓚€(gè)方面。定向方面列表如下：而定量方面可對(duì)原電池及電解池的相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行全面的計(jì)算。

表6 遺傳算法尋優(yōu)結(jié)果Tab.6 Optimization result of GA

3.4 結(jié)合部參數(shù)的辨識(shí)

圖20 對(duì)ktt靈敏度分析Fig.20 Sensitivity analysis of ktt

圖21 對(duì)krr靈敏度分析Fig.21 Sensitivity analysis of krr

表7 ktt靈敏度分析表Tab.7 Sensitivity analysis of ktt

圖22 整體結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)Fig.22 FRFs of assembly structure

表10 遺傳算法與本文方法的辨識(shí)結(jié)果對(duì)比Tab.10 Identification result comparison betweenGA and the proposed method

4 結(jié) 論

(1)提出一種對(duì)結(jié)合部參數(shù)辨識(shí)的新方法。先通過(guò)遺傳算法尋優(yōu)確定結(jié)合部參數(shù)的初值，再對(duì)結(jié)合部各項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行單獨(dú)靈敏度分析，計(jì)算該參數(shù)在每一階模態(tài)處的靈敏度，在最靈敏的模態(tài)處單獨(dú)辨識(shí)該項(xiàng)參數(shù)，最后依此方法辨識(shí)所有的結(jié)合部參數(shù)。

(2)仿真和實(shí)驗(yàn)算例的研究結(jié)果表明，基于本文方法辨識(shí)的結(jié)合部參數(shù)所預(yù)測(cè)的整體結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)與實(shí)驗(yàn)測(cè)試的頻響函數(shù)具有較高的一致性，從兩者的固有頻率的對(duì)比結(jié)果看，最大的相對(duì)誤差出現(xiàn)在第1階，為1.09%，參數(shù)辨識(shí)精度較高。

參 考 文 獻(xiàn)

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