知三得所有，聚散解自來
——一道初三四月調(diào)考題的一題多解得到的啟示

☉湖北省武漢市四美塘中學(xué) 張 燕

有關(guān)圓的相關(guān)問題是不少學(xué)生的攔路虎，沒有思路，無法下筆，對于已知條件不能進(jìn)行有機(jī)整合轉(zhuǎn)換，成為學(xué)生的突出問題.事實(shí)上，與圓相關(guān)的問題大都可以轉(zhuǎn)化為四邊形和三角形問題，只需要把圓的背景條件轉(zhuǎn)換入三角形里，進(jìn)而求三角形的邊和角即可迎刃而解.以下就借助對四月調(diào)考的一道幾何題的分析來揭示出其本質(zhì)方法.

圖1

圖2

一、原題呈現(xiàn)

（武漢市2018年四月調(diào)考第21題）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O分別與邊AB、AD、DC相切，切點(diǎn)分別為E、G、F，其中E為邊AB的中點(diǎn).

（1）求證：BC與⊙O相切，

（2）如圖2，若AD＝3，BC＝6，求EF的長.

這里主要研究第（2）問的多種解法，這一問對學(xué)生的要求比較高，很多學(xué)生拿到題目后犯蒙，筆者結(jié)合“知三得所有，聚散解自來”給出具體的方法分析及解法分析.

二、方法分析

求線段的長度，可以歸結(jié)為兩步：第一步，把線段放入三角形中；第二步，在三角形中根據(jù)三個已知條件求出線段的長度.我們常用“知三得所有，聚散解自來”這句話來概括這類問題的求解！

知三得所有：對于三角形的三條邊和三個內(nèi)角這六個量，任意給定其中三個量（一般至少含一邊），必定可以求出其他三個量（內(nèi)角的給定和求出，一般指明確其度數(shù)或其某個三角函數(shù)值）.以下面一個三角形為例：

（1）知三邊：AB＝5，AC＝6，BC＝7，根據(jù)三邊可以通過作垂線，求出三個角的三角函數(shù)值，如圖3.

圖3

圖4

（2）知兩邊及夾角：AB＝4，BC＝5，∠B＝60°，通過作垂線，可以分別求出另外一條邊的長度和另外兩個角的三角函數(shù)值，如圖4.

（3）知兩邊及一邊所對的角：AB=5，AC=7，∠B=60°，通過作垂線，可以求出第三條邊的長度和另外兩個角的三角函數(shù)值，如圖5.

圖5

圖6

（4）知一邊及兩角，tanC＝2，通過作垂線，可以求出其他兩條邊的長度和第三個角的三角函數(shù)值，如圖6.

“聚散解自來”：一般來講，根據(jù)條件確定“知三”三角形，解“知三”三角形，將得到的邊長和角的三角函數(shù)值“匯聚”到需求解的三角形中，化“知一、知二”三角形為可解的“知三”三角形.對于復(fù)雜問題，往往需要多次求解，多次“匯聚”.求解問題的一般步驟為：

（1）確定“知三”三角形和需求解的三角形（一般是“知一、知二”）；

（2）分析“知三”三角形和需求解的三角形的邊角關(guān)系（特別是角度的“等、余、補(bǔ)”等關(guān)系）；

（3）根據(jù)（2）中得到的關(guān)系，求解“知三”三角形；

（4）將得到的邊長和角的三角函數(shù)值“集中”到需求解的三角形中繼續(xù)求解.

三、具體解題分析

本題的解法有很多種，以下精選了幾種不同的構(gòu)造三角形的方法，以供參考.

解法1：如圖7，過C向AD作垂線，垂足為I，過F作FN⊥AI于N，過F作FM⊥AB于M.

可設(shè)GD=DF=x，則AG=AE=EB=BH=3－x，進(jìn)而HC=6－（3－x）=3+x=FC.

DC=DF+FC=x+3+x=3+2x，IC=AB=2AE=6－2x，DI=BC－AD=6－3=3.

在Rt△DIC中，IC2+DI2=DC2，則（6－2x）2+32=（3+2x）2，解得x=1，則DF=1，F(xiàn)C=4.

由NF∥IC，得

則

則

在Rt△MEF中，進(jìn)而求出EF的值.

點(diǎn)評：解法1將EF放進(jìn)了△MEF中，并且利用圓的切線長定理及勾股定理，和平行線分對應(yīng)線段成比例定理求出這個三角形的三個條件：MF、ME和∠EMF，知三求EF的長度.利用了切線里面垂直的特性，構(gòu)造了直角三角形求解，學(xué)生也比較容易想到這些輔助線的作法.

圖7

圖8

解法2：如圖8，連接EO并延長分別與DC、IC交于M、N兩點(diǎn).

則NC=2.

在△EMF中，求出了兩條邊EM和FM的長度和，便可以利用知三求所有求出線段EF的長度.

點(diǎn)評：解法2將EF構(gòu)造進(jìn)△EMF中，雖然不是直角三角形，但根據(jù)平行線分對應(yīng)線段成比例的性質(zhì)非常容易求得EM、MN的長度，再根據(jù)對頂角的轉(zhuǎn)換，得到第三個條件，把條件轉(zhuǎn)換成知三，進(jìn)而可求出EF的長.將圓的圖形轉(zhuǎn)換成矩形、直角梯形，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)換到三角形中求解線段.

上述兩種解法是將圖形往右邊擴(kuò)展成為一個矩形，利用右邊三角形不同邊的比例關(guān)系轉(zhuǎn)換條件，下面解法3是將圖形的重心向下邊轉(zhuǎn)換.

解法3：如圖9，連接EN、FN、ON、OC、EO.

則，∠EON=90°，則∠EFN=45°.

在Rt△ONC中，利用勾股定理可以求出

利用等面積法可以求得，NF=2MN=

在△EFN中，知道了EN、NF、∠EFN，利用知三求所有，即可解得EF的長.

點(diǎn)評：解法3是將EF構(gòu)造進(jìn)△EFN中，通過圓周角等于圓心角的一半可求得∠EFN的值，這是知一；再通過Rt△EON求得EN的長度，完成了知二；又根據(jù)切線長定理，在Rt△ONC中求得MN，NF的長度是MN的2倍，可求得三角形的第三個條件，完成知三，即可求得EF的長度.這種解法需要對圓的性質(zhì)的運(yùn)用非常熟練，如果能將這個三角形找出，解決這個問題就不難了.

下面兩種解法是將圖形向上擴(kuò)展，看起來是同一種解法，實(shí)質(zhì)上不盡相同.

圖9

圖10

解法4：如圖10，延長BA、CD交于點(diǎn)I，連接EO、IO.則IE=IF，IO垂直平分EF.

tanC=

在Rt△IBC中，IB=8，IC=10.

則IE=8－2=6，E0=2.

在Rt△IEO中，由勾股定理可求出IO，再利用等面積法可求出EP的長度，進(jìn)而EF=2EP，即可解得.

點(diǎn)評：解法4通過平行線分對應(yīng)線段成比例和切線長定理構(gòu)造出的直角三角形，先將EF的一半EP的長度求出，再根據(jù)EF=2EP，進(jìn)而求出EF的長度.主要運(yùn)用直角三角形的等面積法求解EP，學(xué)生比較容易想到這種解法.

那么通過解法4的啟發(fā)，能不能直接通過EF所在的三角形運(yùn)用知三求所有呢？經(jīng)過探索，得到了解法5.

解法5：如圖11，延長BA、CD交于點(diǎn)I，連接EO、IO，則IE=IF.

tanC=

在Rt△IBC中，IB=8，IC=10，∠I的三角函數(shù)值可求出.

在△EIF中，IE=IF=8－2=6，∠I的三角函數(shù)值也知道，即可求出EF的值.

點(diǎn)評：解法5相對于解法4來說，就是直接運(yùn)用知三求所有的思路，把EF構(gòu)造進(jìn)△EIF中，根據(jù)切線長定理得到它是一個等腰三角形，在大的Rt△IBC中，可以求得∠I的三角函數(shù)值和IE、IF的值，把三個條件都求出后，即可解得其他邊的長度.

圖11

圖12

解法6：如圖12，連接EG、GF.

在Rt△AEG中

在△OGF中，GF=OG=OF=2.

在△EGF中，已知三個條件：EG、GF、∠EFG，進(jìn)而可求出EF的長度.

點(diǎn)評：解法6這種構(gòu)造三角形的方法很簡潔，但是很少有學(xué)生想到，因?yàn)檫@不是一個直角三角形，看上去很不好知三，不過兩條邊EG、GF都非常容易求出，而第三個條件∠EFG，又可以通過圓周角是圓心角的一半得到是45°，那么這個三角形從一無所知到知三求其他，就水到渠成了.

四、總結(jié)

以上解法都是通過把EF放入一個三角形，構(gòu)造出三角形，再把三角形的三個元素求出來（至少要知道一個邊），進(jìn)而求得題目所要求解的問題.知三得所有，聚散解自來.也許構(gòu)造出的三角形可能一開始一個條件都不知道，通過圓的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)都能把其他的邊或角轉(zhuǎn)化出來，進(jìn)而達(dá)到解決問題的目的.

通過這種方法基本可以解決和圓有關(guān)的問題，把圓的有關(guān)問題轉(zhuǎn)換成四邊形問題，進(jìn)而繼續(xù)轉(zhuǎn)換成三角形問題，很好地解決了學(xué)生找不到思路、無從下筆的困惑.通過對構(gòu)造三角形和解三角形的思維過程和解題方法的指導(dǎo)和訓(xùn)練，有助于學(xué)生融會貫通，萬題歸一，靈活應(yīng)用.F