巧用幾何性質(zhì)，多解深剖釋疑
——以一道平面幾何題為例

☉江蘇省常熟市海虞中學(xué) 顧雅玉

對(duì)幾何考題開(kāi)展一題多解不僅可以多角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題，挖掘圖形性質(zhì)，還可以拓展解題思路，提升對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的剖析能力.以一道平面幾何題為例進(jìn)行多解剖析，并從挖掘性質(zhì)條件、夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)、滲透思想方法等方面開(kāi)展教學(xué)反思，從而引導(dǎo)學(xué)生在反思的過(guò)程中提升解題素養(yǎng).

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

1.考題呈現(xiàn)

題目如圖1，AB是⊙O的直徑，且AB與弦CD垂直于點(diǎn)E，連接CO，并將其延長(zhǎng)，交弦AD于點(diǎn)F，已知CF⊥AD，AB=2，試求弦長(zhǎng)CD的長(zhǎng).

圖1

2.思路突破

本題目為初中常見(jiàn)的涉及圓的幾何題，主要考查學(xué)生三角形、圓等圖形的基本知識(shí)，整理題干信息可得以下關(guān)鍵條件：有一條直徑（AB）；兩個(gè)垂直關(guān)系（AB⊥CD、CF⊥AD）；一條線段長(zhǎng)（AB=2）.需要建立條件與待求量CD之間的關(guān)系，觀察圖形可知點(diǎn)A、C、D均位于⊙O上，則連接AC后，△ACD的外接圓是⊙O，利用不同的幾何性質(zhì)即可建立已知與未知之間的關(guān)系.

二、解法剖析

圓和三角形存在諸多的性質(zhì)，利用不同的性質(zhì)，從不同的角度分析問(wèn)題，往往可以獲得不同的解題方法，以下將具體剖析本題目不同視角下的不同解法.

視角一：利用等腰三角形的“三線合一”

由于題目中存在等腰三角形，可以利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)來(lái)求解，即等腰三角形中頂角的角平分線、底邊上的中線和底邊上的高三條線是相互重合的，只需確定其中的一條線即可推得等腰三角形的其他性質(zhì).

分析1：在△ACD中，AE⊥CD，由于AB過(guò)圓心O，可以推斷出AB是CD的垂直平分線，利用垂直平分線的性質(zhì)可進(jìn)一步推得AC=AD，則△ABC是等腰三角形，利用CF⊥AD，同理可得AC=CD，則△ACD就是等邊三角形，其每個(gè)內(nèi)角都為60°.AB為直徑，則半徑CO=1，結(jié)合“三線合一”性質(zhì)可推得△COE的內(nèi)角，進(jìn)而可得CD的長(zhǎng).

解法1：連接AC，如圖2，因?yàn)锳B⊥CD，且AB過(guò)圓心O，則CE=DE，所以AB是CD的垂直平分線，則AC=AD；同理由CF⊥AD可得AC=CD，所以△ACD是等邊三角形.由于CF是△ACD底邊AD上的中線和高，由“三線合一”可知CF必為∠ACD的平分線，則∠FCD=30°，因?yàn)?，所?/p>

圖2

點(diǎn)評(píng)：等腰三角形的“三線合一”既是對(duì)三角形特征的一種簡(jiǎn)單概述，也是一種幾何性質(zhì)，由于涉及角平分線、中線和高，則可以通過(guò)確定線段具有其中的一種性質(zhì)來(lái)推得其他幾何性質(zhì)，上述解題思路就是通過(guò)確定中線和高來(lái)推得等邊三角形角平分線的性質(zhì)，從而打開(kāi)解題思路的，需要注意的是“三線合一”只適用于等腰三角形，這是使用的基本條件.

視角二：利用三角形“重心”的性質(zhì)

根據(jù)題目的相關(guān)條件可以預(yù)判圖中出現(xiàn)了△ACD的多條中線，則可以利用三角形的重心（三角形三條中線的交點(diǎn)為重心）性質(zhì)來(lái)求解，即重心分別到三角形頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1，則可以建立三角形中相關(guān)線段的長(zhǎng)度關(guān)系.

分析2：根據(jù)條件可得出AE、CF分別為△ACD的邊CD和AD的中線，進(jìn)而可確定O為三角形的重心，利用重心的性質(zhì)可得AO、OE的長(zhǎng)度，然后在Rt△OCE中，利用勾股定理可得CE的長(zhǎng)，從而求得CD.

解法2：因?yàn)锳B⊥CD、CF⊥AD，且AB、CF均過(guò)圓心O，則CE=DE，AF=DF，即AE是△ACD的邊CD上的中線，CF是△ACD的邊AD上的中線，所以點(diǎn)O為三角形的重心，則AO=2OE.已知在Rt△OCE中

點(diǎn)評(píng)：三角形的重心是其三條中線的交點(diǎn)，利用其性質(zhì)可以實(shí)現(xiàn)幾何特征向幾何元素邊長(zhǎng)之間的條件轉(zhuǎn)化，由于兩條線即可確定一個(gè)交點(diǎn)，因此在實(shí)際應(yīng)用中只需要確定三角形任意的兩條中線即可，中線的確定方式有很多，可以通過(guò)線段的垂直平分線、全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，以及圓心對(duì)直徑的分割等條件來(lái)確定，上述解題過(guò)程就是利用圓內(nèi)弦長(zhǎng)及相關(guān)線段的垂直關(guān)系來(lái)確定中線的，具體解題時(shí)需靈活運(yùn)用.

視角三：利用菱形的相關(guān)性質(zhì)

題目中存在線段垂直和相等等相關(guān)信息，則可以在圖形中構(gòu)造一個(gè)菱形，利用菱形的相關(guān)性質(zhì)，如對(duì)角線相互垂直且平分、四條邊均相等來(lái)嘗試構(gòu)建已知條件與待求量之間的關(guān)系.構(gòu)建菱形時(shí)需要注意一定的方式，力求利用最少的條件來(lái)完成，如先確定四邊形是平行四邊形，再確定其為菱形.

分析3：連接OD、CB、DB后可以通過(guò)三角形全等來(lái)證明四邊形CBDO為平行四邊形，再通過(guò)一條鄰邊相等即可證明其為菱形，利用菱形的性質(zhì)可以得到線段OE的長(zhǎng)，在Rt△OCE中利用勾股定理即可求出CE的長(zhǎng)，進(jìn)而求得CD.

解法3：連接OD、CB、DB，如圖3，由已知條件可得△CEO≌△DEB，則OC=BD，∠OCE=∠BDE，可得OC∥BD.因?yàn)镺C=BD且OC∥BD，可得四邊形CBDO為平行四邊形.又因?yàn)镃O=DO，可知四邊形CBDO為菱形，可得

圖3

.在Rt△OCE中，CO=

點(diǎn)評(píng)：菱形是一種較為特殊的平行四邊形，因此其除具有平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)以外還有一些自身特有的性質(zhì)，這些性質(zhì)除可以證明其為菱形以外，也可以用于幾何相關(guān)問(wèn)題的證明.一般菱形的證明需要先確定四邊形是平行四邊形，再通過(guò)確定一條鄰邊相等或?qū)蔷€相互垂直來(lái)完成.

視角四：利用代數(shù)方程求解

初中數(shù)學(xué)最為常見(jiàn)的方法是數(shù)形結(jié)合的方法，其解題思路是利用直觀圖形來(lái)分析幾何關(guān)系，然后利用代數(shù)的精準(zhǔn)性來(lái)建立反映幾何關(guān)系的方程，這種方程就是研究幾何問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)模型，本題目求幾何線段，可以設(shè)出未知數(shù)，利用相關(guān)性質(zhì)來(lái)建立關(guān)于線段的方程，通過(guò)求方程的解來(lái)完成.

分析4：可證明△COE和△ADE相似，利用相似性質(zhì)可建立對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系，然后設(shè)出未知數(shù)CE=x，由勾股定理可得OE，結(jié)合相似建立的邊長(zhǎng)關(guān)系可建立一個(gè)關(guān)于線段長(zhǎng)度的方程，解方程后即可求解.

解法4：因?yàn)锳B⊥CD,CF⊥AD，則∠OCE+∠COE=90°.∠AOF+∠OAF=90°. 又因?yàn)椤螦OF=∠COE，所以∠OCE=∠OAF，則△COE∽△ADE，則.設(shè)CE=x，則，解得，所以

點(diǎn)評(píng)：利用代數(shù)方程求解實(shí)質(zhì)上是建立了研究幾何問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)模型，其依然是基于對(duì)幾何圖形的關(guān)系分析，如上述求解時(shí)利用到了三角形相似及勾股定理等性質(zhì).代數(shù)方程的建立使得問(wèn)題變得更為簡(jiǎn)單直接，僅通過(guò)方程求解就可以求出線段的長(zhǎng)，因此可以有效提高解題效率.

三、反思與啟示

1.挖掘性質(zhì)條件，強(qiáng)化知識(shí)理解

初中數(shù)學(xué)的幾何題有著其自身獨(dú)有的特點(diǎn)，從不同的角度分析問(wèn)題往往可以得到不同的性質(zhì)條件，從而獲得不同的解題思路，而不同的解題方法往往可以得到同一個(gè)答案，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的殊途同歸.上述分析線段長(zhǎng)分別從三角形的“三線合一”、重心性質(zhì)、菱形性質(zhì)和代數(shù)方程等角度來(lái)求解，均是從不同的角度對(duì)問(wèn)題的分析，其思路是建立在幾何性質(zhì)的充分挖掘上.在實(shí)際教學(xué)中開(kāi)展一題多解，不僅是要使學(xué)生掌握多種解法，還是為了引導(dǎo)學(xué)生多角度的挖掘幾何性質(zhì)，能夠靈活運(yùn)用幾何知識(shí)來(lái)求解，從而強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解.

2.夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，掌握知識(shí)綜合

上述的幾何問(wèn)題涉及了三角形、圓等基本的圖形，是多圖形的交叉組合，求解過(guò)程也是對(duì)相關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，看似復(fù)雜實(shí)質(zhì)解法有跡可循，即充分挖掘問(wèn)題的基本圖形，將復(fù)合圖形分解為單一的基本圖形，然后分別利用圖形的基本性質(zhì)來(lái)求解，若圖形較為抽象，可以通過(guò)添加輔助線的方式，使其變?yōu)楹?jiǎn)單圖形.如上述問(wèn)題的解法均是利用三角形、圓或菱形的性質(zhì)來(lái)求解，均是對(duì)基本性質(zhì)、基本定理和基本方法的綜合運(yùn)用，因此在實(shí)際教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生掌握幾何提煉的相關(guān)方法，夯實(shí)基本的單體知識(shí)，然后從知識(shí)綜合性角度出發(fā)對(duì)單體知識(shí)進(jìn)行綜合運(yùn)用，從而掌握復(fù)雜幾何問(wèn)題的解題策略.

3.滲透思想方法，提升解題能力

上述問(wèn)題的求解涉及了多種方法，解法中同樣滲透著多種解題思想，如輔助線的添加涉及了構(gòu)造思想、圖形問(wèn)題的求解涉及了數(shù)形結(jié)合思想、代數(shù)方程法涉及了方程思想，整個(gè)解題過(guò)程不僅是方法技巧的運(yùn)用，同樣貫穿著多種思想的活動(dòng)，是解題的思想方法在指引著問(wèn)題的轉(zhuǎn)化變形.可以這么說(shuō)，一題多解不僅是一種方法的多解，也是思想的多解.因此，在實(shí)際教學(xué)中，要結(jié)合具體問(wèn)題向?qū)W生滲透解題的思想方法，使學(xué)生在掌握解題策略的同時(shí)獲得思想上的提升，從而從本質(zhì)上提升學(xué)生解決問(wèn)題的素養(yǎng)和能力.

四、結(jié)束語(yǔ)

幾何作為初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其考題也是中考的重要題型.對(duì)其開(kāi)展一題多解訓(xùn)練有著深層的意義，不僅可以多角度挖掘圖形性質(zhì)，強(qiáng)化知識(shí)理解，還可以拓展解題思維.在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，綜合運(yùn)用知識(shí)，考題講解中滲透思想方法，使學(xué)生達(dá)到能力與素養(yǎng)的真正提升.

1.董海榮.深入挖掘結(jié)論，逐層拓展應(yīng)用——以中考幾何探究題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2018（4）.

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