☉江蘇省張家港市梁豐初級中學(xué) 笪艷紅
分類討論,是初中階段著力滲透的一種數(shù)學(xué)思想,而培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用分類討論思想分析和解決問題,則成為了教學(xué)的關(guān)鍵.在初中階段,需要進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)問題確實(shí)不少,尤其在動點(diǎn)問題中,常會因?yàn)辄c(diǎn)的位置不同而帶來多種不同的線段長度,這時(shí)就需要根據(jù)不同的位置關(guān)系作圖討論.筆者近期就遇到了這樣一道考題,為了培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行分類討論的意識,通過改編調(diào)整呈現(xiàn)了可從數(shù)形兩個(gè)角度形成分類路經(jīng)達(dá)成問題解決的目標(biāo),現(xiàn)結(jié)合本題的改編及教學(xué)歷程,談?wù)劰P者的具體做法,不當(dāng)之處,敬請批評指正.
原題如圖1,已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),C(0,3),M、N為拋物線上的動點(diǎn),過點(diǎn)M作MD∥y軸,交直線BC于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E.
圖1
(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達(dá)式;
(2)過點(diǎn)N作NF⊥x軸,垂足為點(diǎn)F,若四邊形MNFE為正方形(此處限定點(diǎn)M在對稱軸的右側(cè)),求該正方形的面積;
(3)若∠DMN=90°,MD=MN,求點(diǎn)M的橫坐標(biāo).
分析:(1)用待定系數(shù)法即可順利求解.(過程略)
(2) 設(shè)M(m,-m2+2m+3),則ME=|-m2+2m+3|,MN=2m-2.根據(jù)“四邊形MNFE為正方形”可得ME=MN,即|-m2+2m+3|=2m-2,分類求解可得結(jié)果.
(3)先求出直線BC的解析式,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,-a2+2a+3),則點(diǎn)N(2-a,-a2+2a+3),點(diǎn)D(a,-a+3),類似于第(2)問,可以將線段MD、MN用含有字母a的式子表示出來,再利用MD=MN列出方程,根據(jù)點(diǎn)M的位置分類討論求解可得.
例題如圖1,拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)M、N為拋物線上的動點(diǎn),過點(diǎn)D作MN∥y軸,交直線BC于點(diǎn)D.若∠DMN=90°,MD=MN,求點(diǎn)M的橫坐標(biāo).
分析:因?yàn)樾枰愿木?,例題設(shè)計(jì)應(yīng)緊扣教學(xué)需求進(jìn)行.本例題只選取了原題中的第(3)問作為探討話題,改編過程中,筆者刪去原來的第(2)問,把第(1)問的結(jié)果直接告知學(xué)生,這樣的設(shè)計(jì),突出了分類討論思想的應(yīng)用,淡化了那些與教學(xué)內(nèi)容關(guān)聯(lián)不大的考點(diǎn),讓核心知識的地位與價(jià)值凸顯出來,為學(xué)生充分體會分類討論的不同路徑及其應(yīng)用價(jià)值留出充足的時(shí)間和空間.
師投影例題,請學(xué)生自主解答,然后在小組中交流答案和解題思路.15分鐘后,小組交流結(jié)束,教師組織學(xué)生全班交流.
師:說說你們的求解思路吧!
生1:我先設(shè)M(m,-m2+m+3),再根據(jù)M、N、D的位置關(guān)系分別表示出N點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo)為N(2-m,-m2+m+3),D(m,-m+3).
師:接下來,你是怎么做的呢?
生2:由于題目給出了MD=MN,所以我想用含有m的式子把這里的MD=MN表示出來,從而列方程求解.
師:太棒了!看來你已經(jīng)很好地掌握了方程思想,那我們該如何表示這里的MD和MN呢?
生3:因?yàn)椴恢繫、D的具體位置,所以MD的長度有可能是(-m2+2m+3)-(-m+3),也可能是(-m+3)-(-m2+2m+3).
師:看來是要分類討論哦!
生4:對的. 當(dāng)M在D的上方時(shí),MD=(-m2+2m+3)-(m+3)=-m2+3m;當(dāng)D在M的上方時(shí),MN=(-m+3)-(-m2+2m+3)=m2+3m.
師:什么時(shí)M會“跑到”D的下方呢?
生5:當(dāng)M過了圖中的C點(diǎn)和D點(diǎn)時(shí),就到了D點(diǎn)下方了.
師:給個(gè)具體范圍!
生6:當(dāng)0<m<3時(shí),M在D上方;當(dāng)m<0或m>3時(shí),M在D的下方.
師:看來是要分三段嘍!
生7:對的!分兩類三段:當(dāng)0<m<3時(shí),M在D的上方,MD=-m2+3m;當(dāng)m<0或m>3時(shí),MD=m2-3m.
師:完全正確!那MN的位置確定了嗎?需不需要也進(jìn)行討論呢?
(學(xué)生小聲議論片刻,一生起立發(fā)表見解)
生8:我覺得也要討論,M可能像圖上這樣在N的右邊,也可能M在左邊,N在右邊.
師:是嗎?(稍作停頓,你說說理由)
生9:題目沒有明確告訴我點(diǎn)M的位置,(老師竊喜,原以為刪去第(2)問后,學(xué)生會不討論)所以M可以在整條拋物線上滑動.當(dāng)M在對稱軸左側(cè)時(shí),N就在對稱軸右側(cè),當(dāng)M在對稱軸右側(cè)時(shí),N就在對稱軸左側(cè).
師:有沒有道理?
生(齊):有!
師:那怎么來表示MN呢?
生10:當(dāng)M在拋物線對稱軸左側(cè),即m>1時(shí),MN=2-m=2-2m;當(dāng)M在拋物線對稱軸右側(cè),即m>3時(shí),MN=m-(2-m)=2m-2.
師:好的!接下來該如何列方程呢?
生11:我覺得,根據(jù)m的范圍應(yīng)該分為四段.
師:哪四段?
生12:m<0,0<m<1,1<m<3,m>3.
師:你能再說一遍嗎?
學(xué)生12重復(fù)四段取值,教師利用動畫同步演示,在M與D重合,M與N重合的關(guān)鍵位置下,停留了較長時(shí)間,讓學(xué)生感知這些位置的特別之處.
師:怎么樣,看清楚了嗎?
生(齊):清楚了!
師:那對應(yīng)的方程呢?
生13:當(dāng)m<0時(shí),m2-3m=2-2m;當(dāng)0<m<1時(shí),-m2-3m=2-2m;當(dāng)1<m<3時(shí),-m2-3m=2m-2;當(dāng)m>3時(shí),m2-3m=2m-2.
師:接下來,會做了吧!
生14:解出所列方程,取范圍內(nèi)的m的值就行了!
師:不錯!還有其他思路嗎?
生15:我覺得,既然不知道M、N的位置,干脆直接把MN的長度表示為MN=|2-2m|,同樣地,MD=|-m2+3m|,直接列出方程|-m2+3m|=|2-2m|,再分類討論就是了!
師:這個(gè)方程(指著板書的方程)有道理嗎?
學(xué)生安靜了片刻,稍作思考后,有學(xué)生舉手作答:
生16:有道理的!添上絕對值后,不管位置如何,大小如何,長度一定是個(gè)非負(fù)數(shù),這樣列出的方程是符合實(shí)際意義的.
師:那怎么解呢?
生17:還是要分類討論.
師:分幾類?
生18:四類.-m2+3m為非負(fù)數(shù),2-2m為非負(fù)數(shù);-m2+3m為負(fù)數(shù),2-2m為非負(fù)數(shù);-m2+3m為非負(fù)數(shù),2-2m為負(fù)數(shù);-m2+3m,2-2m均為負(fù)數(shù).
生19:我覺得分四類煩了,直接分兩類就可以了!
師:哪兩類?
生20:-m2+3m與2-2m同號,所以-m2+3m=2-2m;-m2+3m與2-2m異號,所以-m2+3m=-(2-2m).
師:很好!求出解后,要注意什么?
生21:要驗(yàn)證一下,m的值是否能讓-m2+3m與2-2m同號或異號.
師:真棒,接下來,請大家根據(jù)剛才的思路訂正一下.
……
師:這樣的思路分析,給你什么啟示?
生22:分類討論可以從形的角度進(jìn)行,依據(jù)不同的位置關(guān)系,通過線段的長度或相關(guān)量的不同表示,列出方程求解;分類討論還可以從數(shù)的角度展開,不同的取值,可能會生成不同的方程.總之,分類討論,想到哪種就用哪種,哪種簡單就用哪種.
生23:分類要抓住關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn),比如位置變化中的交點(diǎn)或“交線”等,數(shù)與式中字母的取值發(fā)生變化的時(shí)刻等,分類的標(biāo)準(zhǔn)可以不同,但對結(jié)果是否在分得范圍內(nèi)進(jìn)行驗(yàn)證卻是一樣的,無論從形分類還是從數(shù)分類,兩種情況下都必須進(jìn)行.
利用分類討論解決問題,有時(shí)會因?yàn)榉诸惖臉?biāo)準(zhǔn)不同,而帶來解題模型和解題路徑上的差異.正是這樣的差異,才給學(xué)生的分析與解決問題提供了多種選擇的機(jī)會.例題的分類標(biāo)準(zhǔn)原來可以唯一,也就是生3和生4描述的兩種MD的可能引出的MN的兩種可能,進(jìn)而生成了基于不同點(diǎn)的位置的四種組合,這是從形的角度展開的分類,標(biāo)準(zhǔn)很清晰,也很直觀,對于有一定的空間想象能力的學(xué)生來說,看出這四種情形還是大有可能的.所以,當(dāng)學(xué)生給出這四種情形后,教師立即引導(dǎo)他們進(jìn)行了十分詳細(xì)的分析,在形、數(shù)的每一個(gè)拐點(diǎn)處駐足觀察與交流,這樣的分析交流,對學(xué)生理解分類標(biāo)準(zhǔn),把握分類實(shí)質(zhì),建構(gòu)與解答數(shù)學(xué)解題模型是十分有利的.只不過,作為這樣一道例題,每個(gè)人都能分得如此精致到位,筆者以為還是不易的,所以,當(dāng)生15給出“添加絕對值再分類”的方法后,無疑讓所有人眼前一亮,這是基于數(shù)的不同取值下的分類,最終的兩個(gè)方程,既有數(shù)的絕對值含義的深度應(yīng)用,又有對方程這一等式所存在的性質(zhì)的強(qiáng)化體驗(yàn),這種“數(shù)”的維度上產(chǎn)生的分類,強(qiáng)化了形的作用,對那些直觀想象能力偏弱的學(xué)生是很有用的.教師最后組織的小結(jié)交流,無疑是“錦上添花”的壯舉,因?yàn)橛辛藘蓚€(gè)不同的分類標(biāo)準(zhǔn),對學(xué)生來說還是蠻新鮮的,所以他們都有話可說.說得如他們的分類那么“自然得體”,而其積淀下的分類經(jīng)驗(yàn),無論是形還是數(shù),不同角度,自有不同的風(fēng)采,無所謂對錯、煩簡,只要適用,一切皆好.
命題是教學(xué)的核心工具,現(xiàn)成的例題是很少的,必要的改編是為了突出課時(shí)核心所需,筆者認(rèn)為,在改編上花點(diǎn)時(shí)間,耗點(diǎn)精力是值得的.以本文中的這道例題為例,為了凸顯課時(shí)教學(xué)核心——分類討論思想,筆者在2017年的眾多中考壓軸題中找出了山東威海市中考卷的壓軸題作為原型,將原題第(1)問中的求二次函數(shù)的解析式刪去直接給出二次函數(shù)的解析式,雖然原題第(2)問也有分類討論,而且其設(shè)計(jì)應(yīng)是為原題第(3)問的解答服務(wù)鋪墊的,但作為教學(xué)例題,有了原題第(3)問,第(2)問存在的意義并不大,在反復(fù)斟酌后,筆者刪去了這里的第(2)問直接將第(3)問作為本題的唯一求解要求并入題目,這樣一來,題目簡潔了,干擾因素少了,自然探索的重點(diǎn)也就凸顯出來了,這在教學(xué)中也得到了很好的驗(yàn)證,學(xué)生的交流完全圍繞著“為什么要分類”,“如何分類”等話題展開,例題設(shè)計(jì)的成效就此突顯出來.這樣的教學(xué)效果,無疑也為我們的例題設(shè)計(jì)指引了一個(gè)方向,在課時(shí)核心上多花工夫.
數(shù)學(xué)思想是隱形的數(shù)學(xué)知識,它們一般都默默地儲存于學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)之中,是靜態(tài)的.我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要幫助學(xué)生獲得顯性數(shù)學(xué)知識,諸如數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能,還要幫助學(xué)生充分感悟數(shù)學(xué)的“終極財(cái)富”——數(shù)學(xué)思想,那么,對數(shù)學(xué)思想的感悟依托何在?解題與交流,解題是學(xué)生自主喚醒數(shù)學(xué)思想和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的過程,同樣也是學(xué)生將數(shù)學(xué)思想自主建構(gòu)與完善的過程,要知道,沒有個(gè)體的主動建構(gòu),再有價(jià)值的思想也是無力的,我們要加強(qiáng)與數(shù)學(xué)思想相關(guān)的解題訓(xùn)練,通過適量的同類型試題的解答,提升學(xué)生數(shù)學(xué)思想建構(gòu)應(yīng)用的能力和水平.此外,我們還應(yīng)讓學(xué)生交流.通過師生、生生反復(fù)互動交流對話,以喚醒和矯正解題中用到的數(shù)學(xué)思想,畢竟學(xué)生的思維力、想象力、應(yīng)用力都是有限的.在問題解決中,難免會出現(xiàn)疏漏或不足,所以交流的價(jià)值在此就凸顯出來了.尤其是在我們學(xué)生解題后立即展開的交流活動,對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的感悟是十分有效的.
數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用意識養(yǎng)成非朝夕之功,需要長期堅(jiān)持,應(yīng)有適量的訓(xùn)練、適時(shí)的交流和反思.任何一個(gè)數(shù)學(xué)思想的萌芽、成長、成熟、知識網(wǎng)絡(luò)的融入,都是要經(jīng)歷一個(gè)長期的、漸進(jìn)的養(yǎng)成過程.因而,伴隨此過程的必然是豐富的數(shù)學(xué)思想的提取與應(yīng)用,經(jīng)歷,只有反復(fù)錘煉后,這些數(shù)學(xué)思想檢查真正融入到學(xué)生的“數(shù)學(xué)血液”中去.以本文中重點(diǎn)交流的分類討論思想為例,小學(xué)階段學(xué)生接觸并不多,進(jìn)入初中后,由數(shù)軸認(rèn)知開始,數(shù)與形均出現(xiàn)了“兩面性”,而絕對值的“單面性”則真正讓分類討論進(jìn)入到學(xué)生視野,此后,數(shù)與形的不斷發(fā)展壯大,到初三時(shí),學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了近三年的分類磨煉,對這一思想的感悟與應(yīng)用均已有了一定的深度,要知道,在此過程中,學(xué)生經(jīng)歷了大量的與之相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問題的解答與交流,長期的積淀之下,才形成了本文案例中的娓娓道來,甚至是別樣的分類,當(dāng)然,訓(xùn)練是必需的,但這個(gè)量和度還是要各位一線教師根據(jù)學(xué)情把握,總之,一切應(yīng)以適宜為前提,不可為了思想而讓學(xué)生深陷題海,好的初衷,卻害苦了學(xué)生,得不償失之事,不做也罷.H