基于一道例題的設(shè)計(jì)及教學(xué)的思考

☉江蘇省張家港市梁豐初級中學(xué) 笪艷紅

分類討論，是初中階段著力滲透的一種數(shù)學(xué)思想，而培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用分類討論思想分析和解決問題，則成為了教學(xué)的關(guān)鍵.在初中階段，需要進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)問題確實(shí)不少，尤其在動點(diǎn)問題中，常會因?yàn)辄c(diǎn)的位置不同而帶來多種不同的線段長度，這時(shí)就需要根據(jù)不同的位置關(guān)系作圖討論.筆者近期就遇到了這樣一道考題，為了培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行分類討論的意識，通過改編調(diào)整呈現(xiàn)了可從數(shù)形兩個(gè)角度形成分類路經(jīng)達(dá)成問題解決的目標(biāo)，現(xiàn)結(jié)合本題的改編及教學(xué)歷程，談?wù)劰P者的具體做法，不當(dāng)之處，敬請批評指正.

一、例題及設(shè)計(jì)

1.原題及分析

原題如圖1，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c過點(diǎn)A（－1，0），B（3，0），C（0，3），M、N為拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E.

圖1

（1）求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)N作NF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，若四邊形MNFE為正方形（此處限定點(diǎn)M在對稱軸的右側(cè)），求該正方形的面積；

（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo).

分析：（1）用待定系數(shù)法即可順利求解.（過程略）

（2） 設(shè)M（m，－m2＋2m＋3），則ME=|－m2＋2m＋3|，MN=2m－2.根據(jù)“四邊形MNFE為正方形”可得ME=MN，即|－m2＋2m＋3|=2m－2，分類求解可得結(jié)果.

（3）先求出直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，－a2＋2a＋3），則點(diǎn)N（2－a，－a2＋2a＋3），點(diǎn)D（a，－a＋3），類似于第（2）問，可以將線段MD、MN用含有字母a的式子表示出來，再利用MD=MN列出方程，根據(jù)點(diǎn)M的位置分類討論求解可得.

2.例題及分析

例題如圖1，拋物線y=－x2＋2x＋3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)M、N為拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作MN∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D.若∠DMN=90°，MD＝MN，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo).

分析：因?yàn)樾枰愿木?，例題設(shè)計(jì)應(yīng)緊扣教學(xué)需求進(jìn)行.本例題只選取了原題中的第（3）問作為探討話題，改編過程中，筆者刪去原來的第（2）問，把第（1）問的結(jié)果直接告知學(xué)生，這樣的設(shè)計(jì)，突出了分類討論思想的應(yīng)用，淡化了那些與教學(xué)內(nèi)容關(guān)聯(lián)不大的考點(diǎn)，讓核心知識的地位與價(jià)值凸顯出來，為學(xué)生充分體會分類討論的不同路徑及其應(yīng)用價(jià)值留出充足的時(shí)間和空間.

二、教學(xué)簡錄及簡析

1.教學(xué)簡錄

師投影例題，請學(xué)生自主解答，然后在小組中交流答案和解題思路.15分鐘后，小組交流結(jié)束，教師組織學(xué)生全班交流.

師：說說你們的求解思路吧！

生1：我先設(shè)M（m，－m2＋m＋3），再根據(jù)M、N、D的位置關(guān)系分別表示出N點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo)為N（2－m，－m2＋m＋3），D（m，－m＋3）.

師：接下來，你是怎么做的呢？

生2：由于題目給出了MD=MN，所以我想用含有m的式子把這里的MD=MN表示出來，從而列方程求解.

師：太棒了！看來你已經(jīng)很好地掌握了方程思想，那我們該如何表示這里的MD和MN呢？

生3：因?yàn)椴恢繫、D的具體位置，所以MD的長度有可能是（－m2＋2m＋3）－（－m＋3），也可能是（－m＋3）－（－m2＋2m＋3）.

師：看來是要分類討論哦！

生4：對的. 當(dāng)M在D的上方時(shí)，MD＝（－m2＋2m＋3）－（m＋3）＝－m2＋3m；當(dāng)D在M的上方時(shí)，MN＝（－m＋3）－（－m2＋2m＋3）＝m2＋3m.

師：什么時(shí)M會“跑到”D的下方呢？

生5：當(dāng)M過了圖中的C點(diǎn)和D點(diǎn)時(shí)，就到了D點(diǎn)下方了.

師：給個(gè)具體范圍！

生6：當(dāng)0＜m＜3時(shí)，M在D上方；當(dāng)m＜0或m＞3時(shí)，M在D的下方.

師：看來是要分三段嘍！

生7：對的！分兩類三段：當(dāng)0＜m＜3時(shí)，M在D的上方，MD＝－m2＋3m；當(dāng)m＜0或m＞3時(shí)，MD＝m2－3m.

師：完全正確！那MN的位置確定了嗎？需不需要也進(jìn)行討論呢？

（學(xué)生小聲議論片刻，一生起立發(fā)表見解）

生8：我覺得也要討論，M可能像圖上這樣在N的右邊，也可能M在左邊，N在右邊.

師：是嗎？（稍作停頓，你說說理由）

生9：題目沒有明確告訴我點(diǎn)M的位置，（老師竊喜，原以為刪去第（2）問后，學(xué)生會不討論）所以M可以在整條拋物線上滑動.當(dāng)M在對稱軸左側(cè)時(shí)，N就在對稱軸右側(cè)，當(dāng)M在對稱軸右側(cè)時(shí)，N就在對稱軸左側(cè).

師：有沒有道理？

生（齊）：有！

師：那怎么來表示MN呢？

生10：當(dāng)M在拋物線對稱軸左側(cè)，即m＞1時(shí)，MN＝2－m=2－2m；當(dāng)M在拋物線對稱軸右側(cè)，即m＞3時(shí)，MN＝m－（2－m）＝2m－2.

師：好的！接下來該如何列方程呢？

生11：我覺得，根據(jù)m的范圍應(yīng)該分為四段.

師：哪四段？

生12：m＜0，0＜m＜1，1＜m＜3，m＞3.

師：你能再說一遍嗎？

學(xué)生12重復(fù)四段取值，教師利用動畫同步演示，在M與D重合，M與N重合的關(guān)鍵位置下，停留了較長時(shí)間，讓學(xué)生感知這些位置的特別之處.

師：怎么樣，看清楚了嗎？

生（齊）：清楚了！

師：那對應(yīng)的方程呢？

生13：當(dāng)m＜0時(shí)，m2－3m＝2－2m；當(dāng)0＜m＜1時(shí)，－m2－3m＝2－2m；當(dāng)1＜m＜3時(shí)，－m2－3m＝2m－2；當(dāng)m＞3時(shí)，m2－3m＝2m－2.

師：接下來，會做了吧！

生14：解出所列方程，取范圍內(nèi)的m的值就行了！

師：不錯！還有其他思路嗎？

生15：我覺得，既然不知道M、N的位置，干脆直接把MN的長度表示為MN=|2－2m|，同樣地，MD=|－m2＋3m|，直接列出方程|－m2＋3m|＝|2－2m|，再分類討論就是了！

師：這個(gè)方程（指著板書的方程）有道理嗎？

學(xué)生安靜了片刻，稍作思考后，有學(xué)生舉手作答：

生16：有道理的！添上絕對值后，不管位置如何，大小如何，長度一定是個(gè)非負(fù)數(shù)，這樣列出的方程是符合實(shí)際意義的.

師：那怎么解呢？

生17：還是要分類討論.

師：分幾類？

生18：四類.－m2＋3m為非負(fù)數(shù)，2－2m為非負(fù)數(shù)；－m2＋3m為負(fù)數(shù)，2－2m為非負(fù)數(shù)；－m2＋3m為非負(fù)數(shù)，2－2m為負(fù)數(shù)；－m2＋3m，2－2m均為負(fù)數(shù).

生19：我覺得分四類煩了，直接分兩類就可以了！

師：哪兩類？

生20：－m2＋3m與2－2m同號，所以－m2＋3m＝2－2m；－m2＋3m與2－2m異號，所以－m2＋3m＝－（2－2m）.

師：很好！求出解后，要注意什么？

生21：要驗(yàn)證一下，m的值是否能讓－m2＋3m與2－2m同號或異號.

師：真棒，接下來，請大家根據(jù)剛才的思路訂正一下.

……

師：這樣的思路分析，給你什么啟示？

生22：分類討論可以從形的角度進(jìn)行，依據(jù)不同的位置關(guān)系，通過線段的長度或相關(guān)量的不同表示，列出方程求解；分類討論還可以從數(shù)的角度展開，不同的取值，可能會生成不同的方程.總之，分類討論，想到哪種就用哪種，哪種簡單就用哪種.

生23：分類要抓住關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn)，比如位置變化中的交點(diǎn)或“交線”等，數(shù)與式中字母的取值發(fā)生變化的時(shí)刻等，分類的標(biāo)準(zhǔn)可以不同，但對結(jié)果是否在分得范圍內(nèi)進(jìn)行驗(yàn)證卻是一樣的，無論從形分類還是從數(shù)分類，兩種情況下都必須進(jìn)行.

2.簡析

利用分類討論解決問題，有時(shí)會因?yàn)榉诸惖臉?biāo)準(zhǔn)不同，而帶來解題模型和解題路徑上的差異.正是這樣的差異，才給學(xué)生的分析與解決問題提供了多種選擇的機(jī)會.例題的分類標(biāo)準(zhǔn)原來可以唯一，也就是生3和生4描述的兩種MD的可能引出的MN的兩種可能，進(jìn)而生成了基于不同點(diǎn)的位置的四種組合，這是從形的角度展開的分類，標(biāo)準(zhǔn)很清晰，也很直觀，對于有一定的空間想象能力的學(xué)生來說，看出這四種情形還是大有可能的.所以，當(dāng)學(xué)生給出這四種情形后，教師立即引導(dǎo)他們進(jìn)行了十分詳細(xì)的分析，在形、數(shù)的每一個(gè)拐點(diǎn)處駐足觀察與交流，這樣的分析交流，對學(xué)生理解分類標(biāo)準(zhǔn)，把握分類實(shí)質(zhì)，建構(gòu)與解答數(shù)學(xué)解題模型是十分有利的.只不過，作為這樣一道例題，每個(gè)人都能分得如此精致到位，筆者以為還是不易的，所以，當(dāng)生15給出“添加絕對值再分類”的方法后，無疑讓所有人眼前一亮，這是基于數(shù)的不同取值下的分類，最終的兩個(gè)方程，既有數(shù)的絕對值含義的深度應(yīng)用，又有對方程這一等式所存在的性質(zhì)的強(qiáng)化體驗(yàn)，這種“數(shù)”的維度上產(chǎn)生的分類，強(qiáng)化了形的作用，對那些直觀想象能力偏弱的學(xué)生是很有用的.教師最后組織的小結(jié)交流，無疑是“錦上添花”的壯舉，因?yàn)橛辛藘蓚€(gè)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，對學(xué)生來說還是蠻新鮮的，所以他們都有話可說.說得如他們的分類那么“自然得體”，而其積淀下的分類經(jīng)驗(yàn)，無論是形還是數(shù)，不同角度，自有不同的風(fēng)采，無所謂對錯、煩簡，只要適用，一切皆好.

三、三點(diǎn)感悟

1.精心選擇原題，改編凸顯價(jià)值

命題是教學(xué)的核心工具，現(xiàn)成的例題是很少的，必要的改編是為了突出課時(shí)核心所需，筆者認(rèn)為，在改編上花點(diǎn)時(shí)間，耗點(diǎn)精力是值得的.以本文中的這道例題為例，為了凸顯課時(shí)教學(xué)核心——分類討論思想，筆者在2017年的眾多中考壓軸題中找出了山東威海市中考卷的壓軸題作為原型，將原題第（1）問中的求二次函數(shù)的解析式刪去直接給出二次函數(shù)的解析式，雖然原題第（2）問也有分類討論，而且其設(shè)計(jì)應(yīng)是為原題第（3）問的解答服務(wù)鋪墊的，但作為教學(xué)例題，有了原題第（3）問，第（2）問存在的意義并不大，在反復(fù)斟酌后，筆者刪去了這里的第（2）問直接將第（3）問作為本題的唯一求解要求并入題目，這樣一來，題目簡潔了，干擾因素少了，自然探索的重點(diǎn)也就凸顯出來了，這在教學(xué)中也得到了很好的驗(yàn)證，學(xué)生的交流完全圍繞著“為什么要分類”，“如何分類”等話題展開，例題設(shè)計(jì)的成效就此突顯出來.這樣的教學(xué)效果，無疑也為我們的例題設(shè)計(jì)指引了一個(gè)方向，在課時(shí)核心上多花工夫.

2.強(qiáng)化解題交流，感悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是隱形的數(shù)學(xué)知識，它們一般都默默地儲存于學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)之中，是靜態(tài)的.我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要幫助學(xué)生獲得顯性數(shù)學(xué)知識，諸如數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能，還要幫助學(xué)生充分感悟數(shù)學(xué)的“終極財(cái)富”——數(shù)學(xué)思想，那么，對數(shù)學(xué)思想的感悟依托何在？解題與交流，解題是學(xué)生自主喚醒數(shù)學(xué)思想和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的過程，同樣也是學(xué)生將數(shù)學(xué)思想自主建構(gòu)與完善的過程，要知道，沒有個(gè)體的主動建構(gòu)，再有價(jià)值的思想也是無力的，我們要加強(qiáng)與數(shù)學(xué)思想相關(guān)的解題訓(xùn)練，通過適量的同類型試題的解答，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思想建構(gòu)應(yīng)用的能力和水平.此外，我們還應(yīng)讓學(xué)生交流.通過師生、生生反復(fù)互動交流對話，以喚醒和矯正解題中用到的數(shù)學(xué)思想，畢竟學(xué)生的思維力、想象力、應(yīng)用力都是有限的.在問題解決中，難免會出現(xiàn)疏漏或不足，所以交流的價(jià)值在此就凸顯出來了.尤其是在我們學(xué)生解題后立即展開的交流活動，對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的感悟是十分有效的.

3.適度適量訓(xùn)練，培養(yǎng)應(yīng)用意識

數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用意識養(yǎng)成非朝夕之功，需要長期堅(jiān)持，應(yīng)有適量的訓(xùn)練、適時(shí)的交流和反思.任何一個(gè)數(shù)學(xué)思想的萌芽、成長、成熟、知識網(wǎng)絡(luò)的融入，都是要經(jīng)歷一個(gè)長期的、漸進(jìn)的養(yǎng)成過程.因而，伴隨此過程的必然是豐富的數(shù)學(xué)思想的提取與應(yīng)用，經(jīng)歷，只有反復(fù)錘煉后，這些數(shù)學(xué)思想檢查真正融入到學(xué)生的“數(shù)學(xué)血液”中去.以本文中重點(diǎn)交流的分類討論思想為例，小學(xué)階段學(xué)生接觸并不多，進(jìn)入初中后，由數(shù)軸認(rèn)知開始，數(shù)與形均出現(xiàn)了“兩面性”，而絕對值的“單面性”則真正讓分類討論進(jìn)入到學(xué)生視野，此后，數(shù)與形的不斷發(fā)展壯大，到初三時(shí)，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了近三年的分類磨煉，對這一思想的感悟與應(yīng)用均已有了一定的深度，要知道，在此過程中，學(xué)生經(jīng)歷了大量的與之相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問題的解答與交流，長期的積淀之下，才形成了本文案例中的娓娓道來，甚至是別樣的分類，當(dāng)然，訓(xùn)練是必需的，但這個(gè)量和度還是要各位一線教師根據(jù)學(xué)情把握，總之，一切應(yīng)以適宜為前提，不可為了思想而讓學(xué)生深陷題海，好的初衷，卻害苦了學(xué)生，得不償失之事，不做也罷.H