水平儀測試豎直軸系傾角回轉(zhuǎn)誤差的數(shù)據(jù)處理

王子豪， 任順清(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 空間控制與慣性技術(shù)研究中心， 哈爾濱， 黑龍江 150080)

1 引 言

傾角回轉(zhuǎn)誤差是精密儀器的關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)，軸系回轉(zhuǎn)精度可以提高慣性儀表的測試精度，改進(jìn)工件的檢測精度，提高機床上零件的加工精度。文獻(xiàn)[1～3]介紹了多自由度模型并分析了主軸軸承的加工誤差，包括標(biāo)準(zhǔn)圓柱與軸的同心度誤差，并提出轉(zhuǎn)臺誤差檢測及分離的快捷方法;文獻(xiàn)[4～6]設(shè)計和驗證主軸運動誤差分離技術(shù)具有亞納米測量不確定度，利用誤差分離技術(shù)提高圓度儀測試的精度;文獻(xiàn)[7，8]針對數(shù)控機床，提出了基于混沌相空間重構(gòu)理論的運動精度演化分析方法;文獻(xiàn)[9，10]介紹了在主軸回轉(zhuǎn)誤差測試過程中，如何消除標(biāo)準(zhǔn)圓柱的安裝偏心誤差,實現(xiàn)了對高精度靜壓主軸回轉(zhuǎn)誤差和圓度的精確測量;文獻(xiàn)[11～13]分別采用光電檢測、反向法、小波變換等方法對回轉(zhuǎn)誤差進(jìn)行測試，但沒有考慮軸系的一次諧振運動對軸系傾角回轉(zhuǎn)誤差的影響;文獻(xiàn)[14]的直接消偏法消除了回轉(zhuǎn)誤差中的部分二次諧波項，也消除了回轉(zhuǎn)誤差中的部分一次諧振項;文獻(xiàn)[15]在精密計算豎直回轉(zhuǎn)軸線對水平面的鉛垂度后，加以消除，再扣除常數(shù)項，計算合成誤差時，有一次諧振沒有分離，產(chǎn)生一定的耦合。本文針對水平儀測量豎直軸系的回轉(zhuǎn)誤差的數(shù)據(jù)處理問題，基于文獻(xiàn)[15]，將鉛垂度誤差消除后進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，使得軸系回轉(zhuǎn)誤差的二次及以上諧波完全分離出來，使原來的臺面對軸線的垂直度誤差轉(zhuǎn)換為正交的一次諧波，分離出正交的一次諧波和軸系二維同相的一次諧振，解決了水平儀測量豎直軸系回轉(zhuǎn)誤差中的安裝誤差與回轉(zhuǎn)誤差的分離問題，可更準(zhǔn)確地測試與評估軸系的傾角回轉(zhuǎn)誤差。

2 水平儀測試軸系傾角回轉(zhuǎn)誤差的4種數(shù)據(jù)處理方法

2.1 測試數(shù)據(jù)中誤差的組成成份分析

由文獻(xiàn)[14]可得水平儀讀數(shù)的表達(dá)式為

fx(γ) =-Δαy2-[Δθy0+Δθy1(γ)] cosγ+

[Δθx0+Δθx1(γ)] sinγ

(1)

fy(γ) =Δαx2+[Δθy0+Δθy1(γ)] sinγ+

[Δθx0+Δθx1(γ)] cosγ

(2)

式中：fx(γ)和fy(γ)分別為x和y方向水平儀讀數(shù)，一周內(nèi)等間隔取點;γ=(2p i)/n,n為取點個數(shù)，i=0,1,2,…,n-1；Δθx0、Δθy0為主軸軸線對水平面的垂直度(也稱鉛垂度)；Δαx2和Δαy2為水平儀安裝平面相對主軸軸線的垂直度；Δθx1(γ)和Δθy1(γ)為主軸旋轉(zhuǎn)到γ角位置時的傾角回轉(zhuǎn)誤差， 可視為以2p 為周期的周期函數(shù)，Δθx1(γ)和Δθy1(γ)可展開成Fourier級數(shù)：

(3)

(4)

式中：Δθx1(γ)中第j次諧波余弦、正弦項幅值為Acj、Asj；Δθy1(γ)中第j次諧波余弦、正弦項幅值為Bcj、Bsj。根據(jù)文獻(xiàn)[16]，認(rèn)為軸系回轉(zhuǎn)誤差中的一次諧波主要由一次諧振引起，即Ac1∶As1=Bc1∶Bs1，是軸系回轉(zhuǎn)時結(jié)構(gòu)和元件的振動或不等剛度等引起的。

利用三角函數(shù)和差化積方法，將Fourier級數(shù)展開后的傾角回轉(zhuǎn)誤差式(3)、(4)代入式(1)、(2)，化簡之后得到測試數(shù)據(jù)的諧波成分，對測試數(shù)據(jù)的諧波成分與回轉(zhuǎn)誤差的諧波成分進(jìn)行分析比對，見表1。從表1可以看出水平儀讀數(shù)一次諧波中包含F(xiàn)ourier級數(shù)展開后的傾角回轉(zhuǎn)誤差二次諧波項Ac2、As2、Bc2、Bs2，水平儀讀數(shù)二次諧波中包含傾角回轉(zhuǎn)誤差一次諧波項Ac1、As1、Bc1、Bs1和傾角回轉(zhuǎn)誤差一次諧波項Ac3、As3、Bc3、Bs3，由此可證明水平儀測試數(shù)據(jù)中的諧波成分與回轉(zhuǎn)誤差中的諧波成分是不相同的。

表1 測試數(shù)據(jù)與回轉(zhuǎn)誤差的諧波成份比對

回轉(zhuǎn)誤差的評定，包括各次諧波成分，都是相對于軸套坐標(biāo)系的，所以固定坐標(biāo)系下的回轉(zhuǎn)誤差中的一次諧波經(jīng)過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到運動的軸坐標(biāo)系中，則表現(xiàn)為常數(shù)項和二次諧波項，其軸系回轉(zhuǎn)誤差中的一次諧波在二維測試數(shù)據(jù)中則也表現(xiàn)為常數(shù)項和二次諧波項：

x方向：-0.5Bc1+0.5As1， -0.5(Bc1+As1) cos 2γ+0.5(Ac1-Bs1) sin 2γ；

y方向： 0.5Bs1+0.5Ac1， 0.5(Bc1+As1) sin 2γ+0.5(Ac1-Bs1) cos 2γ。

回轉(zhuǎn)誤差二次諧波項在二維測試數(shù)據(jù)中表現(xiàn)為一次諧波和三次諧波項：

0.5(As2-Bc2) cosγ-0.5(Ac2+Bs2) sinγ， -0.5(Bc2+As2) cos 3γ+0.5(Ac2-Bs2) sin 3γ；

0.5(As2-Bc2) sinγ+0.5(Ac2+Bs2) cosγ， 0.5(Bc2+As2) sin 3γ+0.5(Ac2-Bs2) cos 3γ。

依此類推，回轉(zhuǎn)誤差的j次諧波在測試數(shù)據(jù)中表現(xiàn)為j-1次諧波與j+1次諧波的合成，若將鉛垂度誤差、臺面對軸線的垂直度誤差消除，是不能直接從測試數(shù)據(jù)中消除一次諧波和常數(shù)項的。針對式(1)、(2)，本文將對已有的兩種數(shù)據(jù)處理方法[14,15]進(jìn)行深入分析，并提出兩種新的數(shù)據(jù)處理方法，目的是徹底分離出式(1)、(2)中的各項誤差。

2.2 4種數(shù)據(jù)處理方法

2.2.1 直接消偏法

第1種方法是直接消偏法[14]。是從式(1)、(2)中直接扣除一次諧波和常數(shù)項，處理方法為：

(5)

(6)

2.2.2 間接消偏法

第2種方法是間接消偏法[15]。可以先根據(jù)式(7)和式(8)精確地將鉛垂度誤差Δθx0和Δθy0分離出來:

(7)

(8)

接著將主軸鉛垂度誤差Δθx0和Δθy0從式(1)、(2)中消除后，再將平均值從水平儀測試數(shù)據(jù)中的剔除，即：

(9)

(10)

2.2.3 轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系后的消偏法

轉(zhuǎn)換坐標(biāo)后的消偏方法,是將鉛垂度從測量數(shù)據(jù)fx(γ)、fy(γ)中消除，再轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系下消偏，即：

f(γ) =fx(γ)+Δθy0cosγ-Δθx0sinγ

=-Δαy2-Δθy1(γ) cosγ+Δθx1(γ) sinγ

(11)

g(γ) =fy(γ)-Δθy0sinγ-Δθx0cosγ

=Δαx2+Δθy1(γ) sinγ+Δθx1(γ) cosγ

(12)

再將式(11)、(12)轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系下，

wx(γ) =-f(γ) cosγ+g(γ) sinγ

=Δαy2cosγ+Δαx2sinγ+Δθy1(γ)

(13)

wy(γ) =f(γ) sinγ+g(γ) cosγ

=-Δαy2sinγ+Δαx2cosγ+Δθx1(γ)

(14)

式(13)、(14)中一次諧波系數(shù)為

消除一次諧波后,

Ex3(γ)=wx(γ)-Δθx1c3cosγ-Δθx1s3sinγ

(15)

Ey3(γ)=wy(γ)-Δθy1c3cosγ-Δθy1s3sinγ

(16)

2.2.4 轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系后的一次諧波分離法

從式(13)、(14)可以看出臺面對軸線的垂直度Δαx2和Δαy2在水平儀的讀數(shù)中表現(xiàn)為常數(shù)項，在wx(γ)、wy(γ)中產(chǎn)生的一次諧波是相位正交的，幅值是相等的，而與回轉(zhuǎn)誤差Δθx1(γ)、Δθy1(γ)中一次諧波為As1、Ac1、Bs1、Bc1，其一次諧振分別為Bc1cosγ+Bs1sinγ、Ac1cosγ+As1sinγ且滿足As1Bc1=Ac1Bs1，即兩個方向的一次諧振相關(guān)的，即完全相關(guān)的一次諧振，因此Δαx2、Δαy2產(chǎn)生的一次諧波與回轉(zhuǎn)誤差中的一次諧波的分離是可以實現(xiàn)的。

假設(shè)回轉(zhuǎn)誤差中一次諧振運動的參數(shù)方程表示為

lx(γ)=(excosγ+eysinγ) cosλ

(17)

ly(γ)=(excosγ+eysinγ) sinλ

(18)

式中ex、ey將在下面的推導(dǎo)式(21,22)中給出。

將式(13)、(14)中的一次諧波寫成:

gx(γ)=(Δαy2+excosλ) cosγ+(Δαx2+

eycosλ) sinγ=Δθx1c4cosγ+Δθx1s4sinγ

(19)

gy(γ)=(-Δαy2+eysinλ) sinγ+(Δαx2+

exsinλ) cosγ=Δθy1c4cosγ+Δθy1s4sinγ

(20)

相關(guān)的一次諧振與正交的一次諧波疊加為gx1(γ)、gy1(γ)所形成Lissajous圖為一橢圓，軸系一次諧振運動的分解如圖1所示。而一次諧振的方向為橢圓的長軸方向，即MN方向，點M、N到原點O的距離最大。

圖1 軸系一次諧振運動的分解

經(jīng)過詳細(xì)推導(dǎo)與計算，得

ex=(Δθy1c4-Δθx1s4) sinλ+(Δθx1c4+Δθy1s4) cosλ

(21)

ey=(Δθx1c4+Δθy1s4) sinλ+(Δθx1s4-Δθy1c4) cosλ

(22)

Δαy2=Δθx1c4-excosλ=-(Δθy1s4-eysinλ)

=(1- cos2λ)Δθx1c4+Δθy1s4cos2λ-

(Δθy1c4+Δθx1s4) sinλcosλ

(23)

Δαx2=Δθx1s4-eycosλ=Δθy1c4-exsinλ

=(1- cos2λ)Δθx1s4+Δθy1c4cos2λ-

(-Δθx1c4+Δθy1s4) sinλcosλ

(24)

剔除水平儀平面的安裝誤差Δαx2、Δαy2，最后回轉(zhuǎn)誤差數(shù)據(jù)處理為

Ex4(γ)=gx(γ)-Δαy2cosγ-Δαx2sinγ

(25)

Ey4(γ)=gy(γ)+Δαy2sinγ-Δαx2cosγ

(26)

3 4種數(shù)據(jù)處理方法分析及比較

(1) 采用直接消偏法，將表1數(shù)據(jù)代入式(5)、(6)可得：

Ex1(γ) =-0.5Bc1cos 2γ-0.5Bs1sin 2γ+0.5Ac1sin 2γ-

0.5As1cos 2γ-0.5Bc2cos 3γ-0.5Bs2sin 3γ+

0.5Ac2sin 3γ-0.5As2cos 3γ-0.5Bc3cos 4γ-

0.5Bs3sin 2γ-0.5Bs3sin 4γ-0.5Bs3sin 2γ+

0.5Ac3sin 4γ-0.5Ac3sin 2γ+0.5As3cos 2γ-

0.5As3cos 4γ+…

(27)

Ey1(γ) =0.5Bc1sin 2γ-0.5Bs1cos 2γ+0.5Ac1cos 2γ+

0.5As1sin 2γ+0.5Bc2sin 3γ-0.5Bs2cos 3γ+

0.5Ac2cos 3γ+0.5As2sin 3γ+0.5Bc3sin 4γ-

0.5Bs3sin 2γ+0.5Bs3cos 2γ-0.5Bs3cos 4γ+

0.5Ac3cos 4γ+0.5Ac3cos 2γ+0.5As3sin 2γ-

0.5As3sin 2γ+…

(28)

從Ex1(γ)、Ey1(γ)中可以看出，回轉(zhuǎn)誤差中的3，4，…次諧波成分得以保留，而回轉(zhuǎn)誤差中的二次諧波及一次諧振量只能部分保留，如果Ac1=Bs1、Bc1=-As1，則回轉(zhuǎn)誤差中不能反映出一次諧振量。當(dāng)Bc2=-As2、Ac2=Bs2時，則Ex1(γ)、Ey1(γ)中完全不反映回轉(zhuǎn)誤差中的二次諧波，然而回轉(zhuǎn)誤差的二次諧波往往是其主要成分。

(2) 采用間接消偏法，將式(13)、(14)代入式(15)和式(16)得：

Ex2(γ) =-0.5Bc1cos 2γ-0.5Bs1sin 2γ+0.5Ac1sin 2γ-

0.5As1cos 2γ+0.5Ac2sin 3γ-0.5Ac2sinγ+

0.5As2cosγ-0.5As2cos 3γ-0.5Bc2cos 3γ-

0.5Bc2cosγ-0.5Bs2sin 3γ-0.5Bs2sinγ+…

(29)

Ey2(γ) =0.5Bc1sin 2γ-0.5Bs1cos 2γ+0.5Ac1cos 2γ+

0.5As1sin 2γ+0.5Ac2cos 3γ+0.5Ac2cosγ+

0.5As2sin 3γ+0.5As2sinγ+0.5Bc2sin 3γ-

0.5Bc2sinγ+0.5Bs2cosγ-0.5Bs2cos 3γ+…

(30)

從Ex2(γ)、Ey2(γ)中可以看出，它們保留了回轉(zhuǎn)誤差2，3，4，…次諧波。當(dāng)極端情況Ac1=Bs1或Bc1=-As1出現(xiàn)時，一次諧振部分消失，而回轉(zhuǎn)誤差中的二次及以上諧波成分均反映出來，但回轉(zhuǎn)誤差是在動坐標(biāo)系下表示的，Ex2(γ)、Ey2(γ)中不反映軸系的一次諧振量，所以這種方法只能反映出部分一次諧振量。

(3) 采用轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系后的消偏法，從式(13)、(14)可以看出，這種方法最大的優(yōu)點是將軸系回轉(zhuǎn)誤差轉(zhuǎn)換到了靜坐標(biāo)系下，大大減少了軸系回轉(zhuǎn)誤差與Δθx0、Δθy0和Δαx2、Δαy2之間的相互耦合，而前兩種方法軸系回轉(zhuǎn)誤差是在動坐標(biāo)系下表示的，水平儀測試數(shù)據(jù)中的諧波成分與回轉(zhuǎn)誤差中的諧波成分是不一樣的，誤差角之間耦合現(xiàn)象較為嚴(yán)重。

wx(γ)、wy(γ)中一次諧波系數(shù)代入式(15)和式(16)得：

Ex3(γ) =Δθy1(γ)-Bc1cosγ-Bs1sinγ

=Bc2cos 2γ+Bs2sin 2γ+…

(31)

Ey3(γ) =Δθx1(γ)-Ac1cosγ-As1sinγ

=Ac2cos 2γ+As2sin 2γ+…

(32)

文中的消偏包括剔除鉛垂度和剔除臺面對軸線的垂直度(包括水平儀零位誤差)。將鉛垂度剔除的條件是兩維水平儀測試數(shù)據(jù)經(jīng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，鉛垂度不與其他誤差耦合。從理論上可以完全剔除鉛垂度，但安裝面與軸線垂直度以及水平儀自身的零位則又要經(jīng)過一次轉(zhuǎn)換進(jìn)行消偏。雖然轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系后的消偏，大大減少了誤差角之間耦合，但是直接剔除一次諧波項，則回轉(zhuǎn)誤差中的一次諧振項也隨之剔除了，處理的結(jié)果僅含有回轉(zhuǎn)誤差中的2次及2次以上諧波成分，但是卻完全不包含回轉(zhuǎn)誤差中的一次諧波。

(4)采用轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系后的一次諧波分離法，由于Δαx2和Δαy2成功分離出來，在式(13)、(14)的基礎(chǔ)上剔除，得:

Ex4(γ) =gx(γ)-Δαy2cosγ-Δαx2sinγ=

(33)

Ey4(γ) =gy(γ)+Δαy2sinγ-Δαx2cosγ

(34)

處理結(jié)果包含了回轉(zhuǎn)誤差中的所有諧波成分，而且是在動坐標(biāo)系下表示較為完善的數(shù)據(jù)處理方法。下面將以實驗測試數(shù)據(jù)對4種方法進(jìn)行對比，驗證第4種方法轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系后的一次諧波分離法的正確性。

4 測試實例分析

利用2臺高精度水平儀對某軸系傾角回轉(zhuǎn)誤差進(jìn)行二維測試。在改變了主軸的垂直度誤差的情況下進(jìn)行8次實驗，結(jié)果如表2所示。

表2 不同主軸垂直度誤差下的傾角回轉(zhuǎn)誤差 (″)

從表2中可以看出，在8次實驗中直接消偏法計算的回轉(zhuǎn)誤差均值為1.09″，雖然算出的回轉(zhuǎn)誤差最小，但回轉(zhuǎn)誤差中的二次諧波及一次諧振量只能部分保留；間接消偏法為1.19″，轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系后的消偏法為1.12″，這是由于前者只能將回轉(zhuǎn)誤差中一次諧振量部分保留，而后者將一次諧振量全部剔除了，所以間接驗證了推導(dǎo)的正確性。轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系后的一次諧波分離法計算的回轉(zhuǎn)誤差的結(jié)果最大，為1.43″，它將回轉(zhuǎn)誤差所有諧波成分完整的保留下來，包括完整的一次諧振。實驗次數(shù)2～8是在改變了主軸的垂直度誤差的情況下進(jìn)行的，8次實驗回轉(zhuǎn)誤差參數(shù)進(jìn)行比較，見表3。

表3 8次實驗回轉(zhuǎn)誤差參數(shù)對比 (＂)

從表3中可以看到8次實驗在改變主軸的垂直度誤差之后，主軸偏差Δθx0和Δθy0形成的圓周半徑是不一樣的，安裝平面對于主軸軸線的垂直度Δαx2和Δαy2基本不發(fā)生改變，8次實驗中一次諧振運動擺幅lxy均值為-0.49″～+0.49″，一次諧振直線方位角λ在+49.2°～+52.4°范圍內(nèi)，均值為+50.6°，標(biāo)準(zhǔn)差為+1.0°，可認(rèn)為一次諧振運動的方位角基本相同，軸系的一次諧振運動具有較高的重復(fù)性。采用改進(jìn)后的數(shù)據(jù)處理算法，分離出的回轉(zhuǎn)誤差標(biāo)準(zhǔn)差僅相差0.031″，同時回轉(zhuǎn)誤差其一次諧波的系數(shù)也幾乎完全相同，進(jìn)一步驗證了本文所給出的改進(jìn)方法的正確性。而實驗中一次諧振運動所占整體軸系傾角回轉(zhuǎn)誤差約為35%，也說明了對于回轉(zhuǎn)精度高的軸系，其一次諧振運動是不能被忽略的，在對軸系回轉(zhuǎn)誤差的評定過程中應(yīng)加以考慮。

5 結(jié) 論

通過分析回轉(zhuǎn)誤差中的諧波成分與水平儀測試數(shù)據(jù)中的諧波成分的關(guān)系，在現(xiàn)有兩種數(shù)據(jù)處理方法的基礎(chǔ)上提出了新的2種數(shù)據(jù)處理方法，通過分析對比，得出如下結(jié)論：

(1)回轉(zhuǎn)誤差的j次諧波在測試數(shù)據(jù)中表現(xiàn)為j-1 次諧波與j+1次諧波的合成，若將鉛垂度誤差、臺面對軸線的垂直度誤差剔除，是不能直接從測試數(shù)據(jù)中消除一次諧波和常數(shù)項的。

(2)直接消偏法只保留了回轉(zhuǎn)誤差中部分一次諧振與二次諧波，極限情況不能反映一次諧振和二次諧波，因此算出的回轉(zhuǎn)誤差值最小但不夠準(zhǔn)確。間接消偏法出現(xiàn)了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題，同時只能反映部分一次諧振誤差，極限情況不能反映一次諧振誤差。而轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系后的消偏方法因為臺面對軸線的垂直度轉(zhuǎn)換到靜坐標(biāo)下為正交的一次諧波，且與回轉(zhuǎn)誤差中相關(guān)的一次諧波相混疊，直接剔除一次諧波項，則回轉(zhuǎn)誤差中的一次諧振項也隨之消去了，處理的結(jié)果僅含有回轉(zhuǎn)誤差中的2次及2次以上諧波成分，完全沒有回轉(zhuǎn)誤差中的一次諧振項。

(3)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系后的一次諧波分離方法，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后，分離出了工作臺面與軸線垂直度誤差引起的正交一次諧波與軸系的一次諧振誤差，完全保留回轉(zhuǎn)誤差的一次諧振、2次及2次以上諧波，使軸系傾角回轉(zhuǎn)誤差的數(shù)據(jù)處理方法更加合理和精確，是一種較理想的數(shù)據(jù)處理方法，當(dāng)然處理出的回轉(zhuǎn)誤差也最大。

(4)通過實測8組數(shù)據(jù)的處理結(jié)果的對比，顯示了分離出的軸系一次諧振運動的一致性，回轉(zhuǎn)誤差及其一次諧波的系數(shù)也基本相同，從而驗證了轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系后的一次諧波分離方法的正確性。

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