基于可能性理論的測試信息融合及 不確定性處理方法與分析

余學(xué)鋒， 于 杰， 張紅清

(63870部隊(duì)， 陜西 華陰 714200)

1 引 言

常規(guī)武器鑒定試驗(yàn)過程可分為鑒定試驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取和鑒定試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理兩大部分，其中在鑒定試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理環(huán)節(jié)存在大量的先驗(yàn)信息(被試品設(shè)計(jì)信息、仿真數(shù)據(jù)信息、子系統(tǒng)信息、相似型號(hào)信息、專家信息等)和后驗(yàn)信息(靶場試驗(yàn)測試信息)。同時(shí)，無論是先驗(yàn)信息還是后驗(yàn)信息都存在不確定性問題，包括隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性。因此，在鑒定試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理環(huán)節(jié)有兩大關(guān)鍵問題：一是先驗(yàn)信息和后驗(yàn)信息的有效融合；二是多源信息不確定性處理。長期以來，Bayes理論以其能夠充分利用多源信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)驗(yàn)證推斷而被廣泛用于處理精確化測量的先驗(yàn)信息[1,2]和靶場試驗(yàn)信息。但由于Bayes理論是基于概率論基礎(chǔ)，在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)一般要進(jìn)行先驗(yàn)分布假設(shè)，含有一定的主觀性。因此，在處理數(shù)據(jù)不確定性方面，只適于處理隨機(jī)不確定性(外延清晰的信息)，而對(duì)于實(shí)際中存在的認(rèn)知不確定性(外延模糊的信息)則很難處理。文獻(xiàn)[3,4]提出了最大熵原理方法，但仍然是在概率論基礎(chǔ)上用樣本數(shù)據(jù)確定概率分布，且不具有多源信息處理能力;文獻(xiàn)[5]提出了隨機(jī)和認(rèn)知不確定性量化的置信區(qū)域法，但同樣只能分析當(dāng)前隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性對(duì)測量結(jié)果的影響，不能對(duì)多源信息進(jìn)行融合處理;文獻(xiàn)[6]雖然提出了用可能性理論處理不確定性問題，但主要從理論層面探討了基于可能性理論的測量誤差、測量不確定度的表達(dá)處理等，不涉及先驗(yàn)和后驗(yàn)信息融合問題。為此，本文提出了采用可能性理論來處理先驗(yàn)信息和靶場試驗(yàn)信息融合及不確定性問題，從而更有效地提高鑒定效率以及試驗(yàn)結(jié)果的可信度。

2 基本原理

2.1 原理和思路

基于可能性理論的先驗(yàn)信息和后驗(yàn)信息不確定性融合處理的基本原理是將被處理信息用隨機(jī)模糊變量的可能性分布來描述，通過其先驗(yàn)信息分布和樣本信息分布綜合，根據(jù)可能性理論得出后驗(yàn)信息分布，最后根據(jù)后驗(yàn)信息分布去推斷被處理信息的不確定分布。也就是說“先驗(yàn)分布+樣本→后驗(yàn)分布”?？赡苄苑植际强赡苄岳碚撝械囊粋€(gè)支撐性概念，其重要性類似于概率論中的概率分布。利用可能性理論處理不確定性，往往只需要較少的信息和較低的時(shí)間復(fù)雜度。

因此，本文提出的基本思路是用隨機(jī)模糊變量代替隨機(jī)變量，以近似精度更高且具有統(tǒng)一形式的可能性分布密度函數(shù)替代任意獨(dú)立隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，并在此基礎(chǔ)上，通過對(duì)應(yīng)的可能性分布計(jì)算方法進(jìn)行先驗(yàn)信息和靶場試驗(yàn)測試信息的有機(jī)融合。

由可能性理論可知[7,8]，隨機(jī)模糊變量(random fuzzy variables，RFV)以及對(duì)應(yīng)的可能性分布(possibility distributions，PD)，在表達(dá)測量結(jié)果以及相應(yīng)的測量結(jié)果不確定度時(shí)，隨機(jī)模糊變量定義了一個(gè)函數(shù)，該函數(shù)將隨機(jī)試驗(yàn)的每種可能結(jié)果映射成模糊集，來模擬模糊與隨機(jī)相耦合的不確定性。隨機(jī)模糊變量的可能性分布由兩部分構(gòu)成，如圖1所示。

圖1 隨機(jī)模糊變量及其可能性分布

PDrint稱為內(nèi)部PD，代表所有非隨機(jī)分量對(duì)測量結(jié)果不確定性的貢獻(xiàn)，包括沒有補(bǔ)償?shù)南到y(tǒng)誤差。PDrran稱為隨機(jī)PD，代表所有隨機(jī)分量對(duì)測量結(jié)果不確定性的貢獻(xiàn)，而PDrext稱為外部PD，是由PDrint和PDrran組合而成，代表所有分量對(duì)測量結(jié)果不確定性的貢獻(xiàn)。PDrint和PDrran都可以通過有效的測量信息獲得。

采用可能性理論對(duì)測試信息的不確定性進(jìn)行表征后，還需對(duì)先驗(yàn)和后驗(yàn)信息進(jìn)行融合，參照貝葉斯方法在處理測試信息融合方面的思路，通過建立條件可能性分布的方法，并使用條件可能性分布獲得測量結(jié)果最終信息。

2.2 條件可能性分布

從概率論角度來看，武器裝備的先驗(yàn)信息和靶場試驗(yàn)測試信息的有機(jī)融合可以看作是兩個(gè)隨機(jī)變量相依性關(guān)系，而描述這種相依性最有力的工具就是條件分布與條件期望。只要構(gòu)造出它們的聯(lián)合分布就可獲得最終測量結(jié)果以及測量不確定度。

由此可以構(gòu)造它們的聯(lián)合分布，如果能夠得到隨機(jī)變量X的密度函數(shù)pX(x)及在X給定條件下Y的條件密度函數(shù)p(y|x)，則由其乘積的積分可得Y的邊緣分布：

(1)

也就是說，如果能夠得到先驗(yàn)信息所代表的隨機(jī)變量X的分布pX(x)，以及在給定條件下現(xiàn)場測試信息(后驗(yàn)信息)所代表的隨機(jī)變量Y的條件分布p(y|x)，則通過一系列數(shù)學(xué)運(yùn)算，可以獲得最終實(shí)際結(jié)果的分布(Y的邊緣分布)。

同樣，當(dāng)采用可能性理論處理先驗(yàn)和后驗(yàn)信息融合時(shí)，則用可能性分布取代概率分布，先驗(yàn)信息和后驗(yàn)信息融合則采用可能性條件分布與可能性隸屬函數(shù)。在可能性理論框架下，概率論下的隨機(jī)變量X和Y就變?yōu)镽FV。由可能性相關(guān)理論可以得到條件可能性分布數(shù)學(xué)表達(dá)式[9]：

T[rX(x),rY(y,x)] =T[rY(y),rX(x|y)]

=rX,Y(x,y)

(2)

式中：rX(x)和rY(y)分別是其可能性分布邊緣密度函數(shù);rY(y|x)和rX(x|y)分別為可能性分布的條件密度函數(shù);rX,Y(x,y)為可能性分布聯(lián)合密度函數(shù)。而T為可能性分布下的算子，稱為t模，或稱T為[0,1]上的三角范數(shù)。

由式(2)可以看出，概率分布下的算術(shù)乘積運(yùn)算，在可能性分布中變成了取T算子(t模)運(yùn)算。也就是說在不確定性分布表達(dá)上，概率分布與可能性分布的主要不同是在可能性分布中引用了T算子(t模)。或者說，可以通過T算子實(shí)現(xiàn)由概率分布到可能性分布的變換。

現(xiàn)在從一般T算子中選擇一個(gè)專用的T*算子(t模)，式(2)可以寫為[10]：

T*[rX(x),rY(y|x)] =T*[rY(y),yX(x|y)]

=rX,Y(x,y)

(3)

rX(x|y)=F*[rX,Y(x,y),rY(y)]

(4)

式中：F*是T*算子的逆運(yùn)算。

可以看出，只要知道被測試對(duì)象(參數(shù))先驗(yàn)信息X(rX(x))的可能性分布，以及在給定條件下后驗(yàn)信息Y(rY(y|x))的條件可能性條件分布，選擇合適的T*算子(t模)，就可獲得被測試對(duì)象(參數(shù))的聯(lián)合可能性分布rX,Y(x,y)。按照最大熵原則，測試得到的數(shù)據(jù)可用來導(dǎo)出對(duì)所估計(jì)的可能性分布的約束集，而所估計(jì)分布的熵在約束集的約束下達(dá)到最大，就可得到被測試對(duì)象(參數(shù))的邊緣可能性分布結(jié)果[11]。

最大熵法的基礎(chǔ)是Jaynes原理，最優(yōu)的可能性分布是使熵在根據(jù)已知的信息附加的約束條件下最大。后驗(yàn)信息的可能性邊緣分布rY(y)表達(dá)式為：

(5)

式中：sup表示在可能性理論中的邊緣分布在給定約束條件下的上確界運(yùn)算。

顯然，如何選擇最合適的T*算子(t模)完全取決于表達(dá)不確定性信息的隨機(jī)模糊變量r(不確定分量)的可能性分布情況，因此，隨機(jī)模糊變量r的內(nèi)部和外部可能性分布將直接關(guān)系到T*算子(t模)的選擇。

3 可能性分布的建立

3.1 內(nèi)部可能性分布的建立

當(dāng)把先驗(yàn)和后驗(yàn)信息看做是隨機(jī)模糊變量時(shí)，其可能性分布的獲取和構(gòu)造是一個(gè)至關(guān)重要的問題。由圖1可知，隨機(jī)模糊變量的可能性分布由兩部分組成，即內(nèi)部可能性分布和隨機(jī)可能性分布。隨機(jī)模糊變量的內(nèi)部可能性分布描述了所有非隨機(jī)分量對(duì)測量結(jié)果不確定性的貢獻(xiàn)，包括沒有補(bǔ)償?shù)南到y(tǒng)誤差。這類信息集合的數(shù)學(xué)運(yùn)算采用相應(yīng)的T*算子(最小t模)以及最大熵原則，使得在只掌握部分信息的情況下對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行推斷時(shí)，在所有滿足給定約束條件的眾多可能性隸屬函數(shù)中，信息熵最大的可能性隸屬函數(shù)為最佳(即偏差最小)。這是可做出的唯一不偏不倚的選擇，任何其它選擇都意味著添加了額外約束或改變了原有假設(shè)條件，而這些約束和假設(shè)條件根據(jù)所掌握的既有信息是無法得到的[12]。

最大熵原理或最小特異性原則所對(duì)應(yīng)的T*算子(最小t模)，適宜用于表征這類信息集合的數(shù)學(xué)運(yùn)算。因此式(2)就變?yōu)閇13]：

(6)

用隨機(jī)模糊變量X的可能性分布代表被測試量值的先驗(yàn)信息分布，Y隨機(jī)模糊變量的可能性分布代表被測試量值的后驗(yàn)信息分布，ym是當(dāng)前測量值，如圖2、圖3所示。

圖2 先驗(yàn)信息隨機(jī)模糊變量可能性分布

圖3 后驗(yàn)信息隨機(jī)模糊變量可能性分布

(7)

(8)

這意味著，如果后驗(yàn)測試結(jié)果不能對(duì)先驗(yàn)分布提供任何信息，沒有交集，那么先驗(yàn)分布就仍然表示對(duì)總體分布的未知。

3.2 隨機(jī)可能性分布建立

隨機(jī)可能性分布描述了由于隨機(jī)不確定分量導(dǎo)致的對(duì)測量結(jié)果不確定性的貢獻(xiàn)，根據(jù)文獻(xiàn)[12]的有關(guān)分析，當(dāng)熵值達(dá)到最小時(shí)，對(duì)可能性分布的限制最少，可能性分布的邊界點(diǎn)為所包含在矩約束中的最大信息量。也就是說，在測量信息的隨機(jī)分量分布區(qū)域內(nèi)(近平衡態(tài))，當(dāng)測量信息熵產(chǎn)生取極小值時(shí)，可能性分布一定處于與外界約束條件相適應(yīng)的確定狀態(tài)。

因此，將采用最大特異性準(zhǔn)則(最小熵原則)處理這類信息集合的數(shù)學(xué)運(yùn)算以及確定相應(yīng)的T*算子(Frankt模)[14]。參照概率論方法中隨機(jī)分量的置信概率取值為0.95，對(duì)應(yīng)可能性分布的α截集為α=0.05，因此得到T*算子(Frankt模)為[15]：

(9)

式中：γ=0.05。

此時(shí)式(2)就變?yōu)椋?/p>

(10)

式(4)就變?yōu)椋?/p>

(11)

也就是說，與內(nèi)部(系統(tǒng)分量)可能性分布類似，如果分別知道先驗(yàn)信息隨機(jī)分量可能性分布和后驗(yàn)信息的隨機(jī)分量條件可能性分布，就可通過式(10)獲得它們的隨機(jī)分量聯(lián)合可能性分布。盡管整個(gè)數(shù)學(xué)原理推導(dǎo)過程復(fù)雜，但基于可能性分布的先驗(yàn)信息和靶場試驗(yàn)測試信息的融合處理實(shí)際操作過程卻比較簡單。

4 實(shí)際應(yīng)用

彈藥保溫車驗(yàn)收項(xiàng)目，主要檢測保溫車內(nèi)控制溫度不確定度。先驗(yàn)信息為保溫車技術(shù)指標(biāo)及廠家出廠測試結(jié)果，溫度控制精度為Δθ=±0.01×θset℃，其中θset是設(shè)置溫度值。溫度穩(wěn)定性為σθ=0.03℃。從可能性理論可以把Δθ看作是先驗(yàn)信息隨機(jī)模糊變量分布中的內(nèi)部PD即PDrint，而把σθ看作是先驗(yàn)信息隨機(jī)模糊變量分布中的隨機(jī)PD即PDrran。在靶場測試時(shí)選擇測試點(diǎn)溫度為θset=50 ℃，因此可以得到先驗(yàn)信息隨機(jī)模糊變量分布見圖4(點(diǎn)畫線)所示。

在靶場驗(yàn)收測試中采用的是Hart 1560堆棧式測溫儀和標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度傳感器，其技術(shù)指標(biāo)為：Δθ=±(0.15+0.002θ)℃，溫度和電阻變換模型為：R=R0[1+aθ+bθ2]。實(shí)際測量值為θm=49.62℃，測量重復(fù)性為σm=0.01℃，同理可以得到測試信息隨機(jī)模糊變量的可能性條件分布PDrθ|θm見圖4(實(shí)線)所示。

按照可能性分布運(yùn)算法則，可得到保溫車內(nèi)控制溫度誤差在當(dāng)前測量條件下的可能性分布如圖5所示。從圖5可以看出，最終評(píng)估結(jié)果的隨機(jī)模糊變量可能性分布由先驗(yàn)信息構(gòu)成的隨機(jī)模糊變量可能性分布(點(diǎn)畫線)與測試信息構(gòu)成的隨機(jī)模糊變量可能性分布(實(shí)線)通過求所有數(shù)據(jù)集合的最小融合區(qū)間得到?？梢钥闯?，一方面，通過靶場測試，精確了先驗(yàn)信息(技術(shù)指標(biāo)及廠家出廠測試結(jié)果)中的不確定部分；另一方面，借助先驗(yàn)信息，排除了不可能出現(xiàn)的溫度測量范圍，減少了現(xiàn)場測試工作量。

圖4 先驗(yàn)信息分布和后驗(yàn)信息分布

圖5 融合后的可能性分布和測量點(diǎn)

由圖5可以得到測量結(jié)果的可能性間隔以及相應(yīng)的可能性置信水平(1-α)，為了與以往基于概率論的測試報(bào)告估計(jì)結(jié)果一致，其95%置信概率對(duì)應(yīng)隨機(jī)模糊變量可能性分布的α截集為α=0.05，對(duì)應(yīng)的可能性區(qū)間為θ=(49.68±0.19)℃。對(duì)應(yīng)不同的溫度測試點(diǎn)，采用可能性條件分布均可獲得其相應(yīng)的不確定度范圍。

在實(shí)際應(yīng)用過程中，還存在2種情況：一是測量值沒有落在最終評(píng)估結(jié)果的隨機(jī)模糊變量可能性分布中，這往往是因?yàn)楫?dāng)前測量所用設(shè)備不滿足測量設(shè)備與被測量的不確定度比為1/3的要求；二是先驗(yàn)可能性分布與后驗(yàn)可能性分布沒有重疊，這說明一定有信息集合存在較大的隨機(jī)或認(rèn)知不確定性。對(duì)于這2種情況的出現(xiàn)都要對(duì)先驗(yàn)和后驗(yàn)信息進(jìn)行重新分析挖掘，對(duì)現(xiàn)場測試設(shè)備進(jìn)行更換，以滿足測試要求。

5 結(jié) 論

通過實(shí)例分析證實(shí)，基于可能性理論的測試信息融合及不確定性處理方法符合靶場鑒定試驗(yàn)測試信息需求，既發(fā)揮了先驗(yàn)信息的主觀能動(dòng)性，又充分尊重試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)的不確定信息，求解方法直觀、簡單，物理意義明確。特別是在多源數(shù)據(jù)集中、當(dāng)非隨機(jī)分量相對(duì)于隨機(jī)分量而言對(duì)測量結(jié)果不確定度的貢獻(xiàn)占有主導(dǎo)地位時(shí)，本文提供的測后信息的條件可能性分布確定方法是一種簡單有效的方法。

以可能性理論為基礎(chǔ)的先驗(yàn)信息和試驗(yàn)測試信息的有機(jī)融合及不確定性處理方法，是以隨機(jī)模糊變量以及相應(yīng)的條件可能性分布為核心的測試數(shù)據(jù)處理分析方法。它摒棄了傳統(tǒng)的測量數(shù)學(xué)模型(如真值、誤差等)，代之以集合、分布、信息摘、信息傳遞等現(xiàn)代信息論模型。在獲取被估計(jì)量的先驗(yàn)信息可能性分布的基礎(chǔ)上，結(jié)合當(dāng)前實(shí)際測試結(jié)果以及條件可能性分布算法和最大熵原理，獲得被估計(jì)量的最終可能性分布及測量結(jié)果的不確定度范圍，具有良好的實(shí)用性和有效性。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 劉樂平,袁衛(wèi).現(xiàn)代貝葉斯分析與現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)推斷[J].經(jīng)濟(jì)理論與經(jīng)濟(jì)管理,2004,5(6):64-69.

[2] 姜瑞，陳曉懷，王漢斌，等. 基于貝葉斯信息融合的測量不確定度評(píng)定與實(shí)時(shí)更新[J]. 計(jì)量學(xué)報(bào),2017, 38(1): 123-126.

[3] 程亮,童玲.最大熵原理在測量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用[J].電子測量與儀器學(xué)報(bào),2009,23(1):47-50.

[4] 朱堅(jiān)民,郭冰菁,王中宇,等.基于最大熵方法的測量結(jié)果估計(jì)及測量不確定度評(píng)定[J].電測與儀表,2005,42(8):5-8.

[5] 孫東陽,陳國平,張保強(qiáng).隨機(jī)和認(rèn)知不確定性量化的置信區(qū)域法[J].振動(dòng)測試與診斷,2015,35(5):908-912.

[6] 肖明珠,陳光楀.基于可能性理論的測量數(shù)據(jù)處理[J].信息與電子工程,2006,4(2):98-102.

[7] 嚴(yán)巍,趙川.可能性理論研究[J].數(shù)字通信,2014,41(5):24-27.

[8] 余學(xué)鋒，于杰，王柯，等. 基于證據(jù)理論的測量不確定度評(píng)定與分析[J]. 計(jì)量學(xué)報(bào),2017, 38(2): 252-256.

[9] 武彩萍,劉雪琴,王麗明.模糊選擇函數(shù)合理性指標(biāo)與正規(guī)性指標(biāo)的研究[J].太原理工大學(xué)學(xué)報(bào),2015,46(1):119-123.

[10] Klement E P，Mesiar R, Pap E.Triangular norms. Position paper II: General constructions and parameterized families[J].FuzzySets&Systems, 2004,145(3):411-438.

[11] 賴雄鳴,王成,張勇,等.最大熵法在可靠度計(jì)算中的應(yīng)用[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),2015,32(1):41-47.

[12] 程亮.最大熵原理與最小熵方法在測量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用[D]. 西安：西安電子科技大學(xué),2008.

[13] Ferrero A,Prioli M,Salicone S. Processing dependent systematic contributions to measurement uncertainty[J].IEEETransInstrumMeas, 2013,62(4):720-731.

[14] 樊東紅,曾彥.關(guān)于t-范數(shù)的構(gòu)造方法[J]. 湖南科技學(xué)院學(xué)報(bào),2011,32(8):32-35.

[15] Ferrero A,Prioli M,Salicone S. The construction of joint possibility distributions of random contributions to uncertainty[J].IEEETransInstrumMeas,2014,63(1): 80-88.