GUM法和MCM法評(píng)定測量不確定度對(duì)比分析

劉園園， 楊 健， 趙希勇， 趙士偉

(中國白城兵器試驗(yàn)中心， 吉林 白城 137001)

1 引 言

不確定度是一個(gè)合理表征測量結(jié)果的分散性參數(shù)，測量結(jié)果的可用性在很大程度上取決于其不確定度的大小。因此，在給出測量結(jié)果時(shí)，只有附加不確定度的說明才是完整和有意義的。同時(shí)，測量不確定度評(píng)定和表示方法的一致，是科技交流和國際貿(mào)易進(jìn)一步發(fā)展的要求，使得不同國家所得到的測量結(jié)果可以方便地進(jìn)行相互比較、相互承認(rèn)并達(dá)到共識(shí)。各國際組織和各國的計(jì)量部門均十分重視不確定度評(píng)定方法和表示方法。1993年，7個(gè)國際組織聯(lián)合發(fā)布《測量不確定度表示指南》(Guide to the expression of uncertainty in measurement)簡稱GUM；1995年，對(duì)GUM進(jìn)行了修訂；2008年計(jì)量學(xué)指南聯(lián)合委員會(huì)(JCGM)對(duì)GUM(95)做了修改，并發(fā)布了GUM的附件1《用蒙特卡洛法傳播概率分布》(Supplement 1: Propagation of distributions using a Monte Carlo method)；2009年發(fā)布ISO/IEC Guide 98-1:2009 對(duì)測量不確定度表示指南的介紹；2011年JCGM發(fā)布了GUM的補(bǔ)充條款2；2012年發(fā)布ISO/IEC Guide 98-4:2012 測量不確定度在合格評(píng)定中的作用。為取得國際市場中的平等地位和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的競爭優(yōu)勢，就必須走國際化、與世界接軌的道路，這就要求我國出具的各類測試報(bào)告、檢定證書、校準(zhǔn)證書、技術(shù)規(guī)范、產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)乃至合同或協(xié)議等文件中，都應(yīng)當(dāng)采用國際公認(rèn)的有關(guān)測量結(jié)果和測量不確定度的表述方法。為此，我國于1991年制定了JJG 1027—1991《測量誤差及數(shù)據(jù)處理》，1999年發(fā)布JJF 1059—1999《測量不確定度評(píng)定與表示》，代替了JJG 1027—1991中數(shù)據(jù)處理部分。2012年底發(fā)布了JJF 1059.1—2012《測量不確定度評(píng)定與表示》代替了JJF 1059—1999，發(fā)布了JJF 1059.2—2012《用蒙特卡洛法評(píng)定測量不確定度》，作為JJF 1059.1-2012的補(bǔ)充件[1～5]。在氣象計(jì)量檢定領(lǐng)域，主流的評(píng)定測量不確定度方法為GUM法和MCM法，本文先對(duì)GUM法和MCM法進(jìn)行了簡要介紹，然后以氣象檢定領(lǐng)域中的風(fēng)速不確定度評(píng)定為例，分別在輸入量正態(tài)分布以及其他分布兩種假設(shè)情況下，對(duì)比分析了GUM法與MCM法評(píng)定風(fēng)速簡化模型測量不確定度結(jié)果，并對(duì)簡化模型所忽略的水汽修正項(xiàng)帶來的測量不確定度進(jìn)行了量化，通過實(shí)例對(duì)比分析，綜合評(píng)定兩種方法在適用范圍、可操作性以及結(jié)果可信度等方面的表現(xiàn)。

2 GUM法

通過不確定度傳播率計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，從而得到被測量估計(jì)值的測量不確定度的方法稱為不確定度指南的方法，簡稱GUM法。GUM法評(píng)定測量不確定度的步驟：

(1)分析不確定度來源和建立測量模型Y=f(X1,X2,…,XN)；

(2)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度：計(jì)算靈敏系數(shù)ci，評(píng)定測量模型中的各輸入量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)，給出與各輸入量相對(duì)應(yīng)的輸出量y的不確定度分量ui；

(3)計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc；

(4)確定k或者kP， 計(jì)算擴(kuò)展不確定度U或UP。

GUM法主要適用條件為：(1)可以假設(shè)輸入量的概率分布呈對(duì)稱分布；(2)可以假設(shè)輸出量的概率分布近似為正態(tài)分布或t分布；(3)測量模型為線性模型、可以轉(zhuǎn)化為線性的模型或可用線性模型近似的模型。有關(guān)GUM法的詳細(xì)說明見2013-06-03起開始實(shí)施的JJF 1059.1—2012《測量不確定度評(píng)定與表示》。

3 MCM法

蒙特卡洛法(Monte Carlo method，簡稱MCM)，是采用概率分布傳播的方法，通過對(duì)輸入量Xi的概率密度函數(shù)PDF離散抽樣，由測量模型傳播輸入量的分布，計(jì)算獲得輸出量Y的PDF離散抽樣值，進(jìn)而由輸出量的離散分布數(shù)值直接獲取輸出量的最佳估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)不確定度和包含區(qū)間。該輸出量的最佳估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)不確定度和包含區(qū)間等特性的可信程度隨PDF抽樣數(shù)的增加可得到改善。MCM是通過如下步驟實(shí)現(xiàn)概率分布的傳播和不確定度的評(píng)定：

(1)建立Y和X1,X2,…,XN之間的測量模型Y=f(X1,X2,…,XN)；

(2)利用可獲得的信息，為Xi設(shè)定PDF，如正態(tài)分布、均勻分布、t分布、反正弦分布、三角分布、梯形分布等；

(3)選擇蒙特卡洛試驗(yàn)樣本量的大小M，從輸入量Xi的概率密度函數(shù)gXi(ξi)中抽取個(gè)M樣本值xir,i=1,2,…,N,r=1,2,…,M值。對(duì)每一個(gè)樣本值(x1r,x2r,…,xNr)，計(jì)算相應(yīng)輸出量Y的模型值yr=f(x1r,x2r,…,xNr),r=1,2,…,M；

(4)將這些M個(gè)模型值按嚴(yán)格遞增次序排序，由這些排序的模型值得到輸出量Y的分布函數(shù)的離散表示G。由G計(jì)算輸出量Y的估計(jì)值y、標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(y)以及在約定包含概率P時(shí)Y的包含區(qū)間[ylow,yhigh]。

用蒙特卡洛法評(píng)定測量不確定度時(shí)必須由相應(yīng)的計(jì)算軟件進(jìn)行計(jì)算，測量結(jié)果不用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度和擴(kuò)展不確定度表示，而是用被測量的估計(jì)值y、標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(y)以及包含區(qū)間[ylow,yhigh]表示，由于樣本是隨機(jī)抽取的，計(jì)算得到的包含區(qū)間不一定是完全對(duì)稱的。

有關(guān)MCM法的詳細(xì)說明見2013-06-21起開始實(shí)施的JJF 1059.2—2012《用蒙特卡洛法評(píng)定測量不確定度》。

4 GUM法與MCM法實(shí)例對(duì)比分析

為了分析比較GUM法與MCM法評(píng)定不確定度的優(yōu)劣，以氣象計(jì)量檢定領(lǐng)域中標(biāo)準(zhǔn)皮托管測量風(fēng)速的不確定度評(píng)定為例，分別用以上兩種方法進(jìn)行評(píng)定。風(fēng)速V/m·s-1的計(jì)算模型如下：

(1)

本文只研究在動(dòng)壓值為227.1 Pa、皮托管系數(shù)為1.001、溫度為24.2℃、氣壓為973.2 hPa和相對(duì)濕度φ為46.3%的情況下，對(duì)風(fēng)速計(jì)算結(jié)果進(jìn)行不確定度評(píng)定，不涉及重復(fù)性和風(fēng)洞均勻性等帶來的不確定度。由技術(shù)資料可知，該微差壓計(jì)為0.01級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，皮托管系數(shù)的測量誤差為±0.1%，氣壓、溫度、濕度測量儀器的最大允許誤差分別是±0.4 hPa、±0.3℃和±3%RH。

4.1 輸入量正態(tài)分布時(shí)GUM法與MCM法的比較

4.1.1 GUM法評(píng)定風(fēng)速簡化模型的測量不確定度

(1)因?yàn)樵谟肎UM法評(píng)定不確定度的過程中，涉及求取靈敏系數(shù)的偏導(dǎo)運(yùn)算，較之水汽修正項(xiàng)0.378e較小，在實(shí)際的評(píng)定過程中常簡化測量模型為:

(2)

(2)各個(gè)輸入量的靈敏系數(shù)分別為：

假設(shè)全部輸入量都服從正態(tài)分布，k=2，可得：

u(pd)=0.005%×pd=0.005%×227.1 Pa

=0.011 355 Pa;

u(J)=0.05%×J

=0.05%×1.001=0.000 500 5;

其中,T=273.15+t, K。

(3)風(fēng)速V的估計(jì)值v的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:

也可計(jì)算相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

=0.037%

(4)為了和MCM法相比較，計(jì)算對(duì)應(yīng)95%概率包含區(qū)間，此時(shí)k=1.96，區(qū)間為[19.954 6，19.983 6]。

4.1.2 MCM法評(píng)定風(fēng)速簡化模型的測量不確定度

(1)建立模型見式(2)。

(2)確定各輸入量密度分布函數(shù)分別為：pd～N(227.1, 227.1×0.005%)；J～N(1.001, 1.001×0.05%)；t～N(24.2, 0.15)；p～N(973.2, 0.2)。

(3)確定抽樣樣本M=106，編程隨機(jī)抽取M個(gè)pdr、Jr、tr、pr，并計(jì)算相應(yīng)風(fēng)速的值Vr，r=1,2,…,M。

(4)編程計(jì)算風(fēng)速V的估計(jì)值v、標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(v)以及在約定包含概率為95%時(shí)V的包含區(qū)間[vlow,vhigh]，結(jié)果見表1。

表1 GUM法與MCM法結(jié)果對(duì)比 m·s-1

(5)圖1給出了用GUM法獲得的風(fēng)速正態(tài)概率密度函數(shù)(弧線區(qū)域)，以及由MCM法提供的用M=106個(gè)模型值組成的離散概率分布(階梯線區(qū)域)，由圖可見，兩種方法得到的概率密度直觀上難以區(qū)分，驗(yàn)證了簡化模型時(shí)，兩種方法是一致的。此時(shí)，認(rèn)為GUM法是通過MCM法驗(yàn)證的。

圖1 簡化模型時(shí)GUM法正態(tài)概率分布圖 和MCM法離散概率分布圖

4.2 改變輸入量分布時(shí)GUM法和MCM法比較

簡化模型時(shí)，GUM法和MCM法結(jié)果基本吻合，但是并不能由此就得到兩種方法等同的結(jié)論，因?yàn)楹喕Ｐ涂梢赞D(zhuǎn)化為線性模型，并且所有輸入量分布都假設(shè)為正態(tài)分布，這正是GUM方法適用的場合。針對(duì)這種情況，改變輸入量分布，查看不滿足GUM方法適用條件時(shí)兩種方法的結(jié)果對(duì)比。

選擇如下3種方案，不具有實(shí)際意義，分別用兩種方法評(píng)定風(fēng)速不確定度，結(jié)果見表2和圖2～圖4。

方案1:改變皮托管系數(shù)分布為反正弦分布，其他不變。

方案2:改變皮托管系數(shù)分布為反正弦分布，溫度分布為反正弦分布，其他不變。

方案3:改變皮托管系數(shù)分布為反正弦分布，溫度分布為均勻分布，其他不變。

表2 不同方案GUM法與MCM法結(jié)果對(duì)比 m·s-1

圖2 方案1時(shí)GUM法正態(tài)概率分布圖 和MCM法離散概率分布圖

圖3 方案2時(shí)GUM法正態(tài)概率分布圖 和MCM法離散概率分布圖

圖4 方案3時(shí)GUM法正態(tài)概率分布圖 和MCM法離散概率分布圖

由圖表可知，3種方案中，GUM法和MCM法結(jié)果差異比較大。MCM法得到的離散概率分布明顯不是正態(tài)分布，與GUM法的正態(tài)概率分布有很大差異，同時(shí)MCM法得到95%概率對(duì)稱包含區(qū)間也較GUM法的要短一些。由GUM法的評(píng)定步驟可知，只有輸入量分布的標(biāo)準(zhǔn)差參與了計(jì)算，分布的其他各種信息都被忽視了，所以GUM得到的概率分布總是近似為正態(tài)分布或t分布。而MCM法是隨機(jī)抽取足夠多的輸入量分布的樣本，然后再計(jì)算出的輸出量分布，其中所抽取的輸入量樣本基本能代表輸入量分布的全部信息，所以這樣得到的輸出量的評(píng)定結(jié)果更為真實(shí)可信，這也體現(xiàn)了GUM法的局限性和MCM法的靈活性。但兩種方法得到的風(fēng)速標(biāo)準(zhǔn)不確定度幾乎一樣，主要是由于使用GUM法時(shí)不存在采用泰勒級(jí)數(shù)展開，并舍去高次項(xiàng)才得到近似線性模型這個(gè)步驟，所以在不確定度傳播中，沒有舍棄誤差。

4.3 MCM法評(píng)定考慮水汽修正項(xiàng)模型的風(fēng)速不確定度

以上都是對(duì)簡化模型來討論的，那么簡化模型舍棄的水汽修正項(xiàng)對(duì)測量結(jié)果有多大的影響，簡化是否合理呢？下面將評(píng)定考慮水汽修正項(xiàng)的風(fēng)速不確定度。由于水汽修正項(xiàng)形式復(fù)雜，導(dǎo)致溫度和濕度參數(shù)的靈敏系數(shù)不可操作，也就無法用GUM法進(jìn)行不確定度的評(píng)定，只能用MCM法。此時(shí)，仍假設(shè)全部輸入量都服從正態(tài)分布，增加濕度輸入量分布φ～N(46.3, 1.5)，其他基本同4.1.2節(jié)，評(píng)定結(jié)果見表1和圖5。

圖5 式(1)模型時(shí)MCM法離散概率分布直方圖

由圖5可以看出，即使式(1)模型不是線性模型，但在輸入量都是正態(tài)分布的假設(shè)下，MCM法得到的風(fēng)速離散概率分布和正態(tài)概率分布基本吻合。由表1可以看出，兩模型的風(fēng)速估計(jì)值相差為(20.023 5-19.969 1) m·s-1=0.054 4 m·s-1,考慮水汽修正項(xiàng)帶來的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為(0.008 0-0.007 4) m·s-1=0.000 6 m·s-1，這樣就將水汽修正項(xiàng)對(duì)測量結(jié)果的影響進(jìn)行了量化，可以根據(jù)實(shí)際需求來決定是否需要考慮水汽修正項(xiàng)。MCM法不需要繁瑣的求導(dǎo)過程，也就不需要為了簡化求導(dǎo)而舍棄一些小影響量的不確定度計(jì)算，可以將所有影響因素都考慮進(jìn)來，使不確定度評(píng)定結(jié)果更完整合理。這也體現(xiàn)了MCM法較GUM法更具有可操作性。

5 結(jié) 論

在氣象計(jì)量檢定領(lǐng)域，不確定度的評(píng)定是必不可少的，目前用來評(píng)定不確定度的方法主要有GUM法和MCM法，在實(shí)際工作中，需要根據(jù)不同條件選擇相應(yīng)的評(píng)定方法。從上面例子可以得出，在輸入量的概率分布為對(duì)稱分布、輸出量的概率分布近似為正態(tài)分布或t分布和測量模型為線性模型或可用線性模型近似表示的情況下，GUM法和MCM法均適合用來評(píng)定其測量不確定度，并且結(jié)果基本吻合；在其他情況下，例如模型非線性或者輸入量為均勻分布、反正弦分布等，應(yīng)當(dāng)慎重選擇評(píng)定方法，通常利用MCM法對(duì)GUM法評(píng)定結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，當(dāng)驗(yàn)證結(jié)果一致時(shí)，可以采用GUM法進(jìn)行不確定度評(píng)定，否則應(yīng)當(dāng)采用MCM法。綜合來看，MCM法較GUM法適用范圍廣，可操作性強(qiáng)，結(jié)果可信度高，特別是針對(duì)一些復(fù)雜模型MCM法不需要繁瑣的求導(dǎo)過程，也就不需要為了簡化求導(dǎo)而舍棄一些小影響量的不確定度計(jì)算，可以將所有影響因素都考慮進(jìn)來，使不確定度評(píng)定結(jié)果更完整合理。

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